考慮兩種失效競爭的多狀態冷貯備系統可靠性模型

陳童，謝經偉，狄鵬，尹東亮

海軍工程大學 管理工程與裝備經濟系，武漢 430033

在航空航天、艦船以及核電等高風險領域，通常會采取冗余結構[1-3]以保證系統可靠性，例如動力系統中的備用泵組和電力系統中的備用配電板等。這些設備往往會由于磨損、疲勞、腐蝕等因素出現性能的不斷退化，直至系統退化失效；此外，溫度、電壓、壓力、振動等外部環境因素帶來的沖擊也可能導致系統突發失效。由于這2類失效的存在使得系統表現出多狀態的特性，若簡單的在可靠性建模過程中將系統狀態分為工作與故障2類，顯然難以滿足對系統可靠性計算、評估等工作的實際需求，因此多狀態系統可靠性理論[4-5]自20世紀80年代提出以來，已經成為了可靠性領域的主要研究方向之一。

顯然，設備在使用過程中不僅會受性能退化的影響，同時也會受到外部沖擊的影響，設備的失效是退化失效與突發失效相互競爭的結果[6]。An和Sun[7]認為高可靠性產品具有抵抗小型沖擊的能力，假設在一定閾值內沖擊會使得性能退化，當超過某一閾值時系統故障，在此基礎上建立了微型發動機的可靠性模型；Yuan等[8]分別考慮退化過程與沖擊過程獨立與相關2種情況，對概率失效閾值不確定下的k/n系統進行了研究；王浩偉等[9]假設沖擊流為Gamma過程，故障時間則采用Weibull分布進行描述，建立了競爭失效模式下的導彈可靠性模型；Levitinab和Finkelsteincd[10]則基于競爭失效理論對不可修并聯系統可靠性問題進行了研究。

除了設計冗余結構提升系統可靠性外，往往還會通過維修活動來保證系統可靠性。常見的維修活動包括預防性維修與修復性維修。而在競爭失效系統中，退化與沖擊可能對系統的不同部位造成不同程度的損傷，所以在對系統進行維修時，針對不同類型的損傷或者故障，往往需要不同的維修人員或維修工具進行修理，因此其維修時間分布也不盡相同。Riascos-Ochoa等[11]針對單部件競爭失效系統，根據部件的內部性能水平與外部沖擊損傷等級設計了3種預防性維修方式，當故障時則進行換件維修；陳童和尹東亮[12-13]考慮維修優先權，采用保養與維修2種方式，分別對多狀態冷貯備與多狀態溫貯備系統進行了研究。

針對競爭失效系統，許多研究采用定時維修策略與計劃維修策略[14-15]，但往往可能會造成維修不及時或過度維修。而在航空航天、艦船等領域，大量的隱蔽性故障需要通過檢測手段才能發現，而基于狀態的維修恰恰能夠通過檢測手段探查系統狀態，使得維修人員可視情采用不同的維修方式。通過這種維修策略，可有效保證系統可靠性水平并降低維修成本[16-17]。文獻[17]采用年齡更換與定期檢測策略，獲得了競爭失效下單部件系統的最佳預防性維修間隔、檢測間隔以及檢測次數；Zhang等[18]采用雙Wiener過程描述退化過程，外部沖擊則采用齊次Poisson過程進行描述，對定期檢測下的三態機械系統預防性維修策略進行了研究；Yue和Gao[19]則分別采用定期檢測與隨機檢測策略，對退化系統進行了研究。

以往的這些研究通常考慮故障時間、維修時間等服從一些典型分布，如指數分布、Weibull分布、Erlang分布等，這樣雖然能夠降低模型的解析難度，但是卻使得模型僅能夠適用于一些特定情況，適用性受到很大限制。而Neuts和Meier[20]提出的PHase-type(PH)分布不僅保留了指數分布易于解析的特性，還能夠擬合正數軸上任意分布，因此在復雜系統可靠性建模中能夠描述各類復雜的隨機分布，顯示出良好的應用前景。例如，Kima和Kimb[21]采用PH分布描述不可修部件的工作時間，建立了冗余系統可靠性模型；王威等[22]研究了具有修理工多重休假的多部件系統，假設系統部件壽命、維修時間以及修理工休假時間均服從連續PH分布，得到了一系列可靠性指標；Ruiz-Oastro[23]假設沖擊到達過程為離散PH更新過程，研究得到了累積沖擊下的系統可靠性參數；Montoro和Pérezo[24]假設故障時間、檢測時間以及維修時間均服從PH分布，研究了包含n個相同部件的溫貯備系統，并分析了不同預防性維修閾值對系統可靠性指標的影響。

綜上，本文以包含多個相同部件的冷貯備系統為研究對象，考慮隨機檢測策略，假設系統的3個不同類型的維修臺能夠根據系統狀態分別提供預防性維修、退化失效的修復性維修以及突發失效的修復性維修服務，工作部件在各性能水平停留時間、各類維修時間等隨機時間變量均采用PH分布進行描述，而外部的沖擊到達過程則采用PH更新過程進行描述，建立了多狀態冷貯備系統可靠性模型，得到了系統可靠性主要參數的解析表達式，并通過算例驗證了模型的適用性，演示了3類維修速率及預防性維修閾值對系統可靠性指標的影響。

1 問題描述與假設

某冷貯備系統包含1個工作部件和k-1個相同的冷貯備部件，在時間t=0時，所有部件均完好。系統采用隨機檢測策略，維修臺根據工作部件狀態提供不同類型的維修服務：

1) 當部件性能退化到一定程度時進行預防性維修。

2) 當部件由于性能嚴重退化導致失效時進行退化失效修復性維修，稱為Ⅰ類修復性維修。

3) 當部件由于致命突發沖擊導致失效時進行突發失效修復性維修，稱為Ⅱ類修復性維修。

針對不同類型維修需求，系統中有3個不同類型的維修臺，分別提供預防性維修、Ⅰ類修復性維修與Ⅱ類修復性維修服務。

下面對該問題做進一步假設：

1) 令i表示工作部件所處性能水平，其中i∈{1,…,m1,m1+1,…,m2,m2+1}，m1和m2表示工作部件性能水平，將部件的性能水平劃分為完好、一般和故障3類，其中1≤i≤m1時，部件性能處于完好狀態；當m1+1≤i≤m2時，部件性能處于一般狀態，即部件可以正常運行，但是性能較差；當i=m2+1時，部件處于故障失效狀態，該部件需要用冷貯備部件替換下來。

2) 工作部件在各性能水平的停留時間具有fi階PH表示(αi,Ti),αi為連續時間馬爾科夫鏈的初始概率；Ti為瞬間狀態之間的轉移矩陣。

令piy(1≤i,y≤m2+1)表示部件性能從水平i下降到y的概率。

3) 當檢測到工作部件性能水平位于一般狀態時，工作部件需要接受預防性維修，其中檢測時間分布具有ε階PH表示(η,G)，預防性維修時間分布具有z1階PH表示(β1,S1)。

4) 當工作部件性能退化直至故障時，則進入Ⅰ類修復性維修臺，Ⅰ類修復性維修時間分布具有z2階PH表示(β2,S2)。

5) 當發生致命的外部沖擊時，工作部件即刻進入故障狀態，該部件進入Ⅱ類修復性維修臺，外部致命沖擊的到達服從PH更新過程，具有t階PH表示(γ,L)；Ⅱ類修復性維修時間分布具有z3階PH表示(β3,S3)。

6) Ⅰ類修復性維修與Ⅱ類修復性維修具有優先權。當3個維修臺分別對系統內部的k-1個部件進行維修時，若工作部件退化失效或突發失效，預防性維修臺內正在進行維修的部件即刻轉入工作狀態，預防性維修臺繼續對下一個部件進行預防性維修，直至所有部件均進入Ⅰ類修復性維修臺與Ⅱ類修復性維修臺。

7) 當正進行預防性維修的部件中止維修進入工作狀態時，部件返回至預防性維修閾值對應的性能水平m1。

在此基礎上建立了如圖1所示的2種失效競爭下多狀態冷貯備系統可靠性模型。

圖1 模型示意圖Fig.1 Diagram for model

2 模型構建

2.1 系統狀態空間

假設在時刻t，工作部件性能處于水平i的x相位，檢測和沖擊的相位分別為h、l，維修臺進行預防性維修、Ⅰ類修復性維修、Ⅱ類修復性維修的相位分別表示為r1、r2、r3；預防性維修臺內正在維修的部件與待維修部件數量之和為l1,l1=0,1,…,k-1；Ⅰ類修復性維修臺內正在維修的部件與待維修部件數量之和為l2,l2=0,1,…,k；Ⅱ類修復性維修臺內正在維修的部件與待維修部件數量之和為l3,l3=0,1,…,k；M表示所有維修臺內正在維修的部件與待維修部件數量之和(M=0,1,…,k)。考慮到3個維修臺分別提供不同類型的維修活動，可將M表示為

當M=0,1,…,k-1時，有

M={(l1,l2,l3):0≤l1,l2,l3≤k-1,l1+l2+l3=M}

當M=k時，有

k={(0,l2,l3):l2+l3=k}

根據M可將系統的狀態空間表示為Ω={M,M=0,1,…,k}

M=M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M6∪M7

M1={(M,0,0)},M2={(l1,l2,0)}，

M3={(0,M,0)},M4={(0,l2,l3)}，

M5={(0,0,M)},M6={(l1,0,l3)}，

M7={(l1,l2,l3)}。

具體含義為

1) 3個維修臺均處于空閑狀態，此時無部件需維修，系統正常運行：(0,0,0)={i,x,h,l}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t。

2) 僅預防性維修臺處于工作狀態，此時預防性維修臺內最多有k-1個部件，系統正常運行：(l1,0,0)={i,x,h,l,r1}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1。

3) 僅Ⅰ類修復性維修臺處于工作狀態，若Ⅰ類修復性維修臺內部件數量l2≤k-1，此時系統正常運行：(0,l2,0)={i,x,h,l,r2}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r2≤z2；若所有部件均處于Ⅰ類修復性維修臺，此時系統故障：(0,k,0)={r2}，其中1≤r2≤z2。

4) 僅Ⅱ類修復性維修臺處于工作狀態，若Ⅱ類修復性維修臺內部件數量l3≤k-1，此時系統正常運行：(0,0,l3)={i,x,h,l,r3},其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r3≤z3；若所有部件均處于Ⅱ類修復性維修臺，此時系統故障：(0,0,k)={r3}，1≤r3≤z3。

5) 僅預防性維修臺處于空閑狀態，若Ⅰ類修復性維修臺與Ⅱ類修復性維修臺內部件數量l2+l3≤k-1，此時系統正常運行：(0,l2,l3)={i,x,h,l,r2,r3}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r2≤z2,1≤r3≤z3,l2=1,2,…,k-2,l3=M-l2；若所有部件均故障，此時系統故障：(0,l2,l3)={i,x,h,l,r2,r3}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r2≤z2,1≤r3≤z3,l2=1,2,…,k-1,l3=k-l2。

6) 僅Ⅰ類修復性維修臺處于空閑狀態，由于Ⅱ類修復性維修較預防性維修具有優先權，當預防性維修臺工作時，至少有一工作部件，此時系統運行：(l1,0,l3)={i,x,h,l,r1,r3}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1,1≤r3≤z3,l1=1,2,…,k-2,l3=M-l1。

7) 僅Ⅱ類修復性維修臺處于空閑狀態，由于Ⅰ類修復性維修較預防性維修具有優先權，當預防性維修臺工作時，至少有一工作部件，此時系統運行：(l1,l2,0)={i,x,h,l,r1,r2}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1,1≤r2≤z2,l1=1,2,…,k-2,l2=M-l1。

8) 3個維修臺均處于工作狀態，由于Ⅰ類修復性維修與Ⅱ類修復性維修較預防性維修具有優先權，當預防性維修臺工作時，至少有一工作部件，此時系統運行：(l1,l2,l3)={i,x,h,l,r1,r2,r3}，其中:1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1,1≤r2≤z2,1≤r3≤z3,l1=1,2,…,k-3,l2=1,2,…,k-3,l3=M-l1-l2。

2.2 無窮小生成元

根據系統狀態空間的劃分，可得系統在整個狀態空間的轉移速率矩陣，即該馬爾科夫鏈的無窮小生成元Q。

Q=

式中:B00表示系統在狀態空間M=0的內部轉移;B01、B10、C(1)、C(2)、D(1)、D(2)、E(2)、B(k-1)(k-1)、B(k-1)k、Bk(k-1)、Bkk均表示狀態之間的轉移矩陣。

系統各狀態之間的轉移關系如圖2所示。

當檢測到工作部件性能水平時，性能水平通過矩陣U1、U2引入。

圖2 系統狀態轉移示意圖Fig.2 Diagram for system state transition

為表述方便，令

1) 狀態空間M=0的內部轉移

B00表示系統在狀態空間M=0的內部轉移，T?Itε表示工作部件性能水平i之間轉移，沖擊與檢測的相位未發生改變；Io?L?Iε表示沖擊未發生，工作部件性能水平與檢測相位未發生改變；U1?It?G0η表示檢測設備檢測到工作部件處于完好狀態，沖擊的相位未發生改變；Iot?G表示檢測未發生，工作部件性能水平與沖擊相位未發生改變。

B00=T?Itε+Io?L?Iε+U1?It?

G0η+Iot?G

2) 狀態空間M=0與M=1之間的轉移

① 檢測到工作部件處于一般狀態，該部件進入預防性維修臺，冷貯備部件進入工作狀態，轉移速率矩陣為B01(1):

式中:en為元素為1的n×1列向量。

② 工作部件退化失效，該部件進入Ⅰ類修復性維修臺，冷貯備部件進入工作狀態，轉移速率矩陣為B01(2):

③ 工作部件突發失效，該部件進入Ⅱ類修復性維修臺，冷貯備部件進入工作狀態，轉移速率矩陣為B01(3):

3) 狀態空間M=1,2,…,k-2的內部轉移

C(M)表示系統在狀態空間M=1,2,…,k-2的內部轉移，此時系統內無新的部件需要進入維修臺進行維修。

C(M)=

M=3,4,…,k-2

C(2)=

G0η?Iz1+Iot?G?Iz1+Iotε?S1

U1?It?G0η?Iz1z2+Iot?G?Iz1z2+

Iotε?S1?Iz2+Iotεz1?S2}

G0η?Iz2+Iot?G?Iz2+Iotε?S2

U1?It?G0η?Iz2z3+Iot?G?Iz2z3+

Iotε?S2?Iz3+Iotεz2?S3}

G0η?Iz3+Iot?G?Iz3+Iotε?S3

U1?It?G0η?Iz1z3+Iot?G?Iz1z3+

Iotε?S1?Iz3+Iotεz1?S3}

U1?It?G0η?Iz1z2z3+Iot?G?Iz1z2z3+

Iotε?S1?Iz2z3+Iotεz1?S2?Iz3+

Iotεz1z2?S3}

4) 狀態空間M向M+1的轉移(M=1,2,…,k-2)

D(M)表示系統從狀態空間M轉移到M+1，此時工作部件需要進入維修臺進行維修活動，冷貯備部件進入工作狀態。

① 檢測到工作部件性能處于一般狀態，該部件進入預防性維修臺。

② 工作部件退化失效，該部件進入Ⅰ類修復性維修臺。

③ 工作部件突發失效，該部件進入Ⅱ類修復性維修臺。

D(M)=

M=3,4,…,k-2

D(2)=

D(1)=

① 檢測到工作部件性能處于一般狀態，該部件轉入預防性維修臺，冷貯備部件進入工作狀態，即(l1,l2,0)→(l1+1,l2,0)。

② 工作部件退化失效，該部件進入Ⅰ類修復性維修臺，冷貯備部件進入工作狀態，即(l1,l2,0)→(l1,l2+1,0)。

式中：

j=1,2,…,M-1

j=1,2,…,M-1

① 檢測到工作部件處于一般狀態，該部件進入預防性維修臺，即(l1,l2,l3)→(l1+1,l2,l3)。

② 工作部件退化失效，該部件進入Ⅰ類修復性維修臺，即(l1,l2,l3)→(l1,l2+1,l3)。

③ 工作部件突發失效，該部件進入Ⅱ類修復性維修臺，即(l1,l2,l3)→(l1,l2,l3+1)。

式中：

j=1,2,…,M-2

j=1,2,…,M-2

j=1,2,…,M-2

同理可知：

[00[U2eoα1?It?G0η?β3?Iz2z30]]

式中：

j=1,2,…,M-1

j=1,2,…,M-1

式中：

j=1,2,…,M-1

j=1,2,…,M-1

5) 狀態空間M向M-1的轉移(M=2,3,…,k-1)

E(M)表示系統從狀態空間M轉移到M-1,M=2,3,…,k-1，此時維修臺內減少1個待修部件。

① 預防性維修臺內減少1個待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1-1,l2,l3)。

② Ⅰ類修復性維修臺內減少1個待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2-1,l3)。

③ Ⅱ類修復性維修臺內減少1個待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2,l3-1)。

E(M)=

M=4,5,…,k-1

① 預防性維修臺內減少一個待修部件，即(l1,l2,0)→(l1-1,l2,0)。

② Ⅰ類修復性維修臺內減少一個待修部件，即(l1,l2,0)→(l1,l2-1,0)。

式中：

j=2,3,…,M-1

① 預防性維修臺內減少1個待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1-1,l2,l3)。

② Ⅰ類修復性維修臺內減少1個待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2-1,l3)。

③ Ⅱ類修復性維修臺內減少1個待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2,l3-1)。

式中：

j=1,2,…,M-3

j=2,3,…,M-2

j=3,4,…,M-1

同理可知：

式中：

其中：

6) 狀態空間M=k-1的內部轉移

B(k-1)(k-1)表示系統在狀態空間M=k-1的內部轉移，由于兩類修復性維修具有較高的優先等級，因此轉移速率矩陣B(k-1)(k-1)內包含了預防性維修臺向其他維修臺的轉移。

B(k-1)(k-1)=

① 3個維修臺均處于工作狀態，工作部件未進入故障狀態。

② 3個維修臺均處于工作狀態，工作部件退化失效，正在進行預防性維修的部件停止維修進入工作狀態，待修部件進入預防性維修臺。

③ 3個維修臺均處于工作狀態，工作部件突發失效，正在進行預防性維修的部件停止維修進入工作狀態，待修部件進入預防性維修臺。

式中：

j=1,2,…,k-3

j=2,3,…,k-3

j=3,4,…,k-3

同理可知：

[[eoαm1?L0γ?Iε?ez1β1?β30]0]

[0[eoαm1?L0γ?Iε?ez1β1?Iz2?β30]]

[0[T0αm1?Itε?ez1β1?β2?Iz30]]

式中：

j=1,2,…,k-2

j=2,3,…,k-2

其中：

j=1,2,…,k-2

j=2,3,…,k-2。

7) 狀態空間M=k-1與M=k之間的轉移

B(k-1)k表示系統從狀態空間M=k-1轉移到狀態空間M=k，Ⅰ類修復性維修臺與Ⅱ類修復性維修臺對k-1個故障部件進行修復性維修，此時工作部件退化失效或突發失效，系統完全故障。

式中：

Bk(k-1)表示系統從狀態空間M=k轉移到狀態空間M=k-1，修復性維修臺對其中一個故障部件修理完成，該部件進入工作狀態，系統正常運行。

式中：

j=1,2,…,k-2

j=2,3,…,k-1

8) 狀態空間M=k的內部轉移

Bkk表示系統在狀態空間M=k的內部轉移，此時系統內部有k個故障部件，Ⅰ類修復性維修臺與Ⅱ類修復性維修臺對故障部件進行修理。

2.3 穩態概率向量

當系統進入穩態時，無窮小生成元中各個狀態對應的概率組成了穩態概率向量π=(π0,π1,…,πM,…,πk-1,πk)，且滿足以下方程：

(1)

式中:Q為連續時間馬爾科夫鏈無窮小生成元。

將式(1)展開可得

π0B00+π1B10=0

(2)

π0B01+π1C(1)+π2E(2)=0

(3)

πj-1C(j-1)+πjD(j)+πj+1E(j+1)=0

j=2,3,…,k-2

(4)

πk-1B(k-1)k+πkBkk=0

(5)

解上述方程組式(1)，可得到各狀態空間對應的穩態概率向量。

3 系統可靠性指標

3.1 系統穩態可用度

系統穩態可用度表示系統經過長期運行，處于運行狀態的概率。即系統處于狀態空間Ω*={M,M=0,1,…,k-1}的概率，可得系統穩態可用度A。

(6)

3.2 系統可靠度函數

系統可靠度函數表示系統在時刻t之前不發生故障的概率。對于本文模型，系統可靠度是指系統在時刻t之前處于狀態空間Ω*={M,M=0,1,…,k-1}的概率，將系統故障狀態M=k合并為吸收狀態，對應的狀態轉移矩陣Q*為

狀態轉移矩陣Q*表示系統不處于故障狀態時，系統在其余狀態空間之間的轉移情況。令Wi(t)表示系統處于狀態空間Ω*={M,M=0,1,…,k-1}的概率向量；且Wi(t)、Q*滿足下列微分方程：

(7)

解微分方程組，可得系統可靠度函數R(t)。

R(t)=φexp(Q*t)e

(8)

3.3 系統平均故障間隔時間

系統平均故障間隔時間是指系統從故障狀態離開又重新回到故障狀態的間隔時間。當系統離開故障狀態M=k時，系統正常運行，當系統重新進入狀態M=k時，系統故障。由PH分布定義可知，系統平均故障間隔時間服從PH分布，有otε[(1+(k-1)(z1+z2+z3)+(k-2)(z1z2+z1z3+z2z3)+(k-3)z1z2z3)]階不可約表示(φ,Q*)。

MTBF=-φQ*-1e

(9)

3.4 系統故障率

系統故障率是指系統在單位時間內進入故障狀態的次數，記為r，根據系統狀態轉移矩陣Q有

r=πk-1B(k-1)ke

(10)

4 算 例

4.1 模型適用性驗證與預防性維修閾值變化對系統可靠性指標影響

1)模型適用性驗證

已知某冷貯備系統由5個相同部件組成，工作部件共存在7個性能水平，假設m1=1，即將性能水平{1}劃分為完好狀態，{2,3,4,5,6}歸為一般狀態，{7}為系統退化失效狀態。

對該系統長期的運行與維修記錄數據進行分析，利用文獻[25]中方法將可靠性數據以及其他分布擬合為PH分布形式，可得工作部件在各性能水平的停留時間分布，如表1所示。

表1工作部件在各性能水平停留時間分布

Table1Residencetimesindifferentperformancelevelsoftheoperationalunit

i停留時間分布1α1=[0.1990.2270.574]T1=-0.1470.0160.0174.976-10.3281.8720.1360.048-0.946é?êêù?úú2α2=[010]T2=-5.753000-5.7535.7535.7530-5.753é?êêù?úú3α3=[0.6560.30.044]T3=-1.2341.0110.1790-1.2341.23400-1.234é?êêù?úú4α4=[010]T4=-5.999000-5.9995.9995.9990-5.999é?êêù?úú5α5=[0.0230.9590.018]T5=-4.37400.0152.574-4.3881.7580.0920-4.392é?êêù?úú6α6=[100]T6=-6.430.4300.65-5.7400.0920-4.392é?êêù?úú

該馬爾科夫鏈的無窮小生成元Q為

將數據代入模型，計算可得穩態可用度A=0.944 0，故障率r=0.019 8次/單位時間，平均故障間隔時間MTBF=52.708 7單位時間，系統可靠度函數如圖3所示。

該算例說明當部件在各性能水平的停留時間、檢測時間、維修時間等服從不同類型的分布時，將其擬合為PH分布形式進行可靠性解析建模，能夠有效降低模型的解析難度，模型的適用性顯著提升。

2) 預防性維修閾值對系統可靠性指標的影響

當改變預防性維修閾值時，系統可靠性指標變化如表2所示。

圖3 時間與可靠度關系Fig.3 Variation of system reliability with time

表2預防性維修閾值對系統可靠性指標的影響

Table2Variationofpreventivemaintenancethresholdwithsystemreliabilityindex

m1AMTBF/單位時間r/(次·單位時間-1)10.944052.70870.019820.943952.89090.019830.943453.28470.020040.943353.31950.020150.943153.33190.0201

由表2可知，提高預防性維修閾值雖然能夠提升系統平均故障間隔時間，延長部件的工作時間，但是系統的穩態可用度會隨之降低，系統故障率也隨之增加。

4.2 預防性維修臺工作速率對系統可靠性影響

為直觀展示預防性維修速率對系統可靠性指標的影響，在m1=1時，令β1=1,S1=(-λ)，改變指數分布參數。計算結果如圖4～圖6所示。

由圖4～圖6可知，在本算例中，隨著預防性維修速率的增加，系統穩態可用度呈現出先增后減的趨勢，系統故障率呈現出先減后增的趨勢，而系統平均故障間隔時間則隨著預防性維修速率的增加而增加并趨于平穩。這是因為預防性維修速率的改變不僅影響著系統工作時間與預防性維修時間，還會在一定程度上影響修復性維修時間以及系統故障頻度，在修復性維修速率一定的情況下，隨著預防性維修速率的增加，系統在工作狀態的時間較修復性維修時間變化較快，而后較慢，這就導致了系統穩態可用度與系統故障頻率呈現出由圖4～圖5的趨勢，與此同時，預防性維修改變了工作部件處于完好狀態與一般狀態的停留時間，故系統平均故障間隔時間呈現出圖6的趨勢。

圖4 預防性維修速率對穩態可用度的影響Fig.4 Effect of preventive maintenance rate on system stationary availability

圖5 預防性維修速率對系統故障率的影響Fig.5 Effect of preventive maintenance rate on system failure rate

圖6 預防性維修速率對系統平均故障間隔時間的影響Fig.6 Effect of preventive maintenance rate on mean time between system failure

4.3 兩類修復性維修速率對系統可靠性影響

同樣，令S2=(-μ),S3=(-ρ)，研究2類修復性維修速率同時變化對系統可靠性指標的影響。計算所得結果如圖7～圖9所示。

圖7～圖9可知，在一定的Ⅰ類修復性維修速率下，Ⅱ類修復性維修速率改變的同時，系統處于工作狀態的時間與Ⅰ類修復性維修的時間也在改變，因此系統穩態可用度會呈現出先增后減或一直增加趨于平穩的態勢；當兩類修復性維修速率改變，系統穩態概率向量πk-1與轉移速率矩陣B(k-1)k的變化程度不一，因此系統故障率會呈現出先增后減的趨勢；而修復性維修能夠直接影響系統的工作時間，因此系統平均故障間隔時間與修復性維修幾乎呈現出線性關系。

圖7 兩類修復性維修速率對穩態可用度的影響Fig.7 Effect of corrective maintenance rate on system stationary availability

圖8 兩類修復性維修速率對系統故障率的影響Fig.8 Effect of corrective maintenance rate on system failure rate

圖9 兩類修復性維修速率對系統平均故障間隔時間的影響Fig.9 Effect of corrective maintenance rate on mean time between system failure

由上述結果分析可知，隨著維修速率的增加，系統可靠性指標能夠得到一定程度的提升，而當維修速率增加到一定程度時，其對系統可靠性指標的影響程度會減少。因此，可以通過合理選擇預防性維修閾值、預防性維修與修復性維修的維修速率，在有效保證可靠性的基礎上，節約維修資源。

5 結 論

本文采用PH分布與PH更新過程研究了退化失效與突發失效競爭的多狀態冷貯備系統可靠性規律。通過數值算例分析了預防性維修閾值以及3類維修速率對系統可靠性指標的影響，結論如下：

1) 預防性維修閾值增加會使得系統穩態可用度降低，而故障率與平均故障間隔時間會隨之增加。

2) 通過分析3類維修速率變化對系統可靠性指標的影響，便于在保證系統可靠性的基礎上，節約維修資源。

3) 采用PH分布等工具研究多狀態復雜系統，能夠在保證良好解析特性的同時大幅提升模型的適用性。