變量形式不變性在一元微積分學中的應用

林偉奇

（福建信息職業技術學院，福建 福州 350003）

人們常說要發現數學的美，那數學的美到底在哪里呢？筆者覺得數學的美，其中會有很多高度概括、形式簡潔的符號化的表達式，［1］變量的形式不變性實際上就體現了微積分學中的符號的簡潔、統一。因此，要理解并掌握變量形式不變性思想。

1.變量形式不變性在求極限中的應用

大家都知道兩個重要極限對于求一些未定式的極限是非常有用的。

說明：在此例要求極限的函數的指數中先給個--x是為了保持變量形式不變，再乘以是為了“平衡”，即-x·，再乘以2x，那是題目的要求。

說明：熟練之后，極限符號下的-2x→0也可以寫為x→0.

2.變量形式不變性在微分中的應用

一階微分形式不變性是微分學中一個重要的性質，它實際上也是體現了變量形式不變性的思想。

若函數y=f(u)可微，那么不管u為自變量還是可微函數（中間變量）u=φ(x)，其一階微分的形式dy=f′(u)du不變［2］。這里，出現的是：dy=f′()d()的形式。它只要保持f′()d()的形式不變，不管括號內放的是什么變量，同樣結果都等于dy。在y=f(x)中，有dy=f′(x)dx，這時括號內放的是最終變量（也稱自變量）；在y=f(u)中，也有dy=f′(u)du，這時，括號內放的是中間變量。所以，這個性質還是體現了“變量形式不變性”的思想。

例5：y=sin(x3+1)，求dy。

解 ：設y=sinu，u=x3+1，則dy=d(sinu)=cosudu=cos(x3+1)d(x3+1)=3x2cos(x3+1)dx

說明：熟練之后，求復合函數的微分時，可不用寫出中間變量，直接用一階微分形式不變性來求函數的微分。

例6：y=etan2x，求dy。

解：dy=etan2xd(tan2x)=2tanxetan2xd(tanx)=2tanx·sec2x·etan2xd。

3.變量形式不變性在第一類換元積分法中的應用

說明：第一類換元法的解題思路：一般是從被積函數入“手”，將它拆成兩部分讓其中一部分湊到微分中去然后，再利用變量形式不變性結合基本積分公式求解。因此，第一類換元法，通常又稱為湊微分法。該方法熟練后，可不必設u。

綜上所述，變量形式不變性在一元微積分學中有很大的用處，它體現了數學符號的簡潔、統一，并且傳遞著深刻的數學關系。［3］