偏對稱正態分布的若干性質

□陳超 田芫 宗序平

統計分布的性質是學者們研究的熱點，國內外有許多學者研究過偏正態分布，并應用于統計實踐。在此基礎上，定義了偏對稱正態分布，并研究了其性質。此類分布包括偏均勻正態分布，偏t 正態分布，偏拉普拉斯正態分布，偏Logistics 正態分布和偏三角正態分布等，并探討了它們的一些性質。

引言

國內外有許多學者研究了偏正態分布，如Azzalini[1](1985）定義了偏正態分布的概念；Henze[2](1986)研究了偏正態分布的一些性質；Xie[3](2010)等研究了偏正態非線性回歸模型方差參數的齊性檢驗。這類分布已經得到了廣泛的應用，為工程領域中一些分布不對稱的數據，提供了更加合理的擬合模型。除此之外，它們還有助于研究模型的魯棒性，以及作為貝葉斯分布的先驗分布。這種模型的構建可參見Azzalini(1985）。對偏正態分布的擴展也已經有了很多研究，如Gupta[4](2002)等構造了偏對稱模型；Ferreira[5](2010)等研究了偏尺度混合正態分布的一些性質，以及Labra[6](2012)等研究了混合尺度偏正態分布的參數估計和模型診斷，都得到一些很好的應用。在此基礎上，定義了偏對稱正態分布，并舉出了一些例子，探討了它們的一些性質。

定義1.1 設隨機變量Y 的概率密度函數為f (y)，f (y)為偶函數，Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 為偏度系數(可取任意實數)，μ 是位置參 數，σ 是 尺 度參數，則稱X 服從偏對稱正態分布。

（i）μ=0,σ=1 時，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，稱X 服從標準偏對稱正態分布；

（ii） μ=0,σ=1,λ →+∞ 時 ，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)趨向于 ||Y 的概率密度函數；

（iii）μ=0,σ=1,λ →-∞ 時 ，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx) 趨 向 于-|Y|的概率密度函數；

（iv） μ=0,σ=1,λ=0 時 ，g(x;λ)=f (x) 是Y 的 概 率 密 度函數。

性質1.1 設X，Y 是上述定義中的隨機變量，則

（i）X 的偶階距和Y 的偶階距相同，且于λ 無關。

（ii）X2與Y2有 相 同 的 分 布函數。

證明： 令φX(t)是X 的特征函數，φY(t)是Y 的特征函數，則

令x=-x，則

因此，就得到了

設n 為任意的正整數，(2)式兩邊對t 求2n 階導數，有

所以，

因為，

所以，上式與λ 無關所以，第（i）條結論得證。

由(3)式可知，X2與Y2的n 階距是相同的，所以X2與Y2有相同的分布函數，即性質（ii）成立。

本文將討論f 取不同的對稱概率分布函數的情況。首先取f 為標準正態分布函數，得到了偏正態分布的密度函數，并總結了偏正態分布的若干性質，然后分別取f 為均勻分布，t 分布，Laplace 分布，Logistics 分布，推導出了偏均勻正態分布，偏t 正態分布，偏Laplace 正態分布，偏Logistics 正態分布，并研究了它們的一些性質，最后列舉了若干類似的分布，有待進一步的討論。

若干偏對稱正態分布

(1) 偏正態分布

定義2.1 設φ(x)和Φ(x)是標準正態分布的概率密度函數和分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是位 置參數，σ 是尺 度參數，則稱X 服從偏正態分布。特別的 ， μ=0,σ=1 時 ， g(x;λ)=2φ(x)Φ(λx)，則稱X 服從標準偏正態對稱分布。圖1 給出了λ 取不同值的標準偏正態對稱分布的概率密度函數圖像。

性質2.1 如果隨機變量X 服從標準偏正態對稱分布，則X2服從自由度為1 的卡方分布。

性質2.2 如果隨機變量X 服從標準偏正態分布，M(t)是X 的距母函數[4]，則

由上述性質，可以求出

進一步，可以求出

其中，γ1和γ2分別是X 的偏度系數和峰度系數。

圖1 λ 取不同值的標準偏正態對稱分布的概率密度函數圖

（2）偏均勻正態分布

定義2.2 設均勻分布的密度函數

Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是 位置參數，σ 是 尺度參數，則稱X 服從偏均勻正態分布。特 別 的，μ=0,σ=1 時，g(x;λ)=Φ(λx)I(-1≤x ≤1)，則稱X 服從標準偏均勻正態分布。圖2 給出了λ取不同值的標準偏均勻正態分布的概率密度函數圖像。

性質2.3 如果隨機變量X 服從標準偏均勻正態分布，M(t)是X 的距母函數，則

圖2 λ 取不同值的標準偏均勻正態分布的概率密度函數圖

證明：

由上述性質，可以求出

（3）偏t 正態分布

定義2.3 設t 分布的密度函數

Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，n 是自由度，μ 是位置參數，σ 是尺度參數，則稱X 服從偏t 正態分 布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時，g(x;λ,n)=2f (x;n)Φ(λx)，則稱X服從標準偏t 正態分布。圖3 給出了n=1 時，λ 取不同值的標準偏t正態分布的概率密度函數圖像。

性質2.4 如果隨機變量X 服從標準偏t 正態分布，M(t)是X 的距母函數，則

由(11)式可以求出

（4）偏Laplace 正態分布

定義2.4 設Laplace 分布的密度函數

圖3 λ 取不同值的標準偏t 正態分布的概率密度函數圖

Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是 位置參數，σ 是尺度 參數，則稱X 服從偏Laplace 正態分布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時，g ( x;λ)=e-|x|Φ(λx)時，稱X 服從標準偏Laplace 正態分布。圖4 給出了λ 取不同值的標準偏Laplace 正態分布的概率密度函數圖像。

性質2.5 若隨機變量X 服從標準偏Laplace 正態分布，且偏度系數λ ＞0，M(t)是X 的距母函數，則當-1＜t ＜1 時，

圖4 λ 取不同值的標準偏Laplace正態分布的概率密度函數圖

由上述性質，可以求出

（5）偏Logistic 正態分布

定義2.5 設Logistic 分布的密度函數

Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是位置參數，σ 是尺度 參數，則稱X 服從偏Logistic 正態分布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則稱X 服從標準偏Logistic 正態分布。圖5 給出了λ 取不同值的標準偏Logistic正態分布的概率密度函數圖像。

性質2.6 如果隨機變量X 服從標準偏Logistic 正態分布，X2概率密度函數為fX2(t) 則

由(19)式可以求出

圖5 λ 取不同值的標準偏Logistic正態分布的概率密度函數圖

（6）偏三角正態分布

定義2.6 設三角(Triangular)分布的密度函數

Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是位置參 數，σ 是 尺 度參數，則稱X 服從偏三角正態分布。特 別 的，μ=0,σ=1 時，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則稱X 服從標準偏三角正態分布。圖6 給出了λ 取不同值的標準偏三角正態分布的概率密度函數圖像。

圖6 λ 取不同值的標準偏三角正態分布的概率密度函數圖

性質2.7 如果隨機變量X 服從標準偏三角正態分布，E(X) 和Var(X)是X 的數學期望和方差，則

其他相關分布

Φ(x)是標準正態分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是位置參 數，σ 是 尺 度參數，則稱X 服從偏Cauchy 正態分布。 特 別 的，μ=0,σ=1 時，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則稱X 服從標準偏Cauchy 正態分布。

定義3.2 設Slash分布的密度函數

φ(x)和Φ(x)是標準正態分布的概率密度函數和分布函數，隨機變量X 的概率密度函數為

其中λ 是偏度系數(可取任意實數)，μ 是位置參 數，σ 是 尺 度參數，則稱X 服從偏Slash 正態分布。特 別 的，μ=0,σ=1 時，g(x;λ)=2f (x)Φ(λx)，則 稱X 服 從 標 準 偏Slash 正態分布。

本文在偏正態分布的基礎上進行了擴展，研究了一類帶有偏度系數的概率密度函數，定義了偏對稱正態分布，并舉出了一些例子，為分布不對稱的數據提供了一種新型的擬合模型。這對于回歸分析方面的應用是有意義的。進一步，可以通過EM，ECM[7]，ECME[8]等算法研究偏對稱正態分布模型參數估計方面的問題，也可以通過Score 檢驗、Ward 檢驗對模型參數的齊性進行診斷，也可以對模型參數的顯著性進行研究，這方面的工作會在以后的研究中繼續進行。