關于中學二次函數的解題策略

田 星 趙院娥

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

函數的思想與方法的學習貫穿于整個中學數學教與學，其中，二次函數有著基礎性的地位和作用，是學習其他函數知識的基石。并且以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，在高中函數學習中也有重要的基礎作用。本文就中學中有關二次函數的解題方法提幾點有效策略。

一、中學生解決二次函數問題時的困難分析

(一)對于初中生來說，二次函數是初中學習中的重點與難點，初中生的思維發展水平限制了其對函數抽象性的理解，學生對于函數的概念并不理解，對于自變量與因變量之間的關系還處于疑惑階段，只會死記硬背公式，定義也并不理解a，b，c的真實含義與三者之間的聯系，因此在做題時便會遇到以下幾個困難：

第一，學生很難準確找到自變量的取值范圍，特別是隱含在題目中的限制條件；第二，在解決有關實際問題時，學生往往找不到題中等量關系不會建立數學模型；第三，對于數形結合，分類討論等解題方法掌握不到位，找不到做題的最優解法。

(二)對于高中生來說，二次函數在高中函數學習中有著基礎性的地位，是其他函數學習的基石，在考察中知識點的考查也越來越靈活，出題形式主要以綜合試題為主。難度提升較為明顯，對學生數學思維以及函數思想的要求也更高。二次函數在高中教學中要求學生通過觀察、類比、歸納、分析、綜合來建立嚴密的數學概念，掌握數學思想及方法，從而解決綜合性問題。

二、中學解二次函數相關題型的幾種方法

(一)數形結合法

數學本就是研究空間幾何與數量關系的一門學科，在學習時數與形本就不可分。在解題時將待解決問題轉化為與之等價的圖形問題，不僅使問題直觀化從而變得簡單明了，而且可以加深學生對問題實質的理解。運用適當的數學思想及方法解決相關題型可消除學生解題障礙，提高學生解題興趣。例如，二次函數中最值問題、單調性問題、求不等式解集等問題。

例1關于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍。

分析：由圖像觀察可知 令f(x)=x2+2kx+3k，

對應二次函數圖像與橫軸交點的坐標即f(x)=0的解，

要使符合已知條件，即需

(二)轉化法

應用轉化法解二次函數題型時主要是將實際問題建立數學模型尋找等量關系，從而利用數學知識解答。不僅有利于解題，也有利于消除各學段學生對于二次函數學習時的障礙。

(三)分類討論

分類討論，解決問題時有關邏輯思維的數學思想，也是一種數學解題方法。其基本步驟“化整為零，各個擊破，再積零為整”。是函數與其它知識點的綜合考察時解題常用的一種方法。

例2解關于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0。

解：原不等式可化為(x-a)(x-a2)>0。

(1)a1或a<0)時，原二次不等式的解集為：{x│xa2}；

(2)當a>a2(0a或x

(3)當a=a2(a=0，a=1)時，原二次不等式的解集為：{x│x∈R且x≠a}.

注：因為a與a2大小不確定，所以需要討論aa2，a=a2三種情況。

三、小結

二次函數知識的學習在初中或者高中都占據重要地位，因此探究二次函數的教學與解題是很有必要的，本文就常見幾種解二次函數相關題型的方法做以闡述，希望可以幫助學生在解題時消除障礙，輕松作答。