你若不離不棄 我必生死相依

周 斌

“你若不離不棄，我必生死相依”表明兩人關系親密或對愛情忠貞。而我們的初中數學中，也有這樣一對小伙伴——方程和不等式，它們是生死相依的關系。今天我們就來說說它們的親密關系。

考點一：方程和不等式的基礎知識

例1（2018·江蘇揚州）關于x的方程mx2-2x+3=0有兩個不相等的實數根，那么m的取值范圍是_______。

【分析】本題主要考查兩點：1.既然題目中提出方程“有兩個不相等的實數根”，暗示了這個方程必須是一元二次方程，即二次項系數不為0；2.要會判斷一元二次方程的根的情況。

解：關于x的方程mx2-2x+3=0有兩個不相等的實數根，

∴m≠0，且Δ=（-2）2-4×m×3=4-12m＞0，

【點評】解決此題的關鍵是理解題目中的“關于x的方程mx2-2x+3=0有兩個不相等的實數根”的本質：首先二次項的系數不為0；其次根的判別式要大于0。

例2（2017·江蘇宿遷14題變式）若關于x的分式方程-3解是非負數，則實數m的取值范圍是_______。

【分析】本題主要考查分式方程的解法、分式方程增根的意義等知識，要求同學們能用不等式（組）來刻畫分式方程解的情況。

解：原關于x的分式方程可變形為

方程兩邊同乘最簡公分母（x-2），得m=-（1-x）-3（x-2），

∴x≥0，且x-2≠0，

解得m的取值范圍是m≤5且m≠1。

【點評】解決此題的關鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，以及對分式方程解的意義的理解。

例3（2017·江蘇興化）已知關于x、y的方程組給出下列說法：

①當a=1時，方程組的解也是方程x+y=2的一個解。

③無論a取什么數，2x+y的值始終不變。

④若y=x2+5，則a=-4。

其中正確的是（ ）。

A.②③④ B.①②④

C.③④ D.②③

【分析】本題主要考查二元一次方程的解法，而解法的核心是消元，要會用含a的代數式分別表示x和y。

解：把a=1帶入x+y=1-a，得x+y=0，故①是錯誤的；將x+y=1-a與x-y=3a+5相加，得：2x=2a+6，x=a+3，將x+y=1-a與x-y=3a+5相減，得：2y=-4a-4，y=-2a-2，x-2y≥8就轉化為（a+3）-（-4a-4）≥8，解得：a≥，故②是正確的。

把2x+y轉化為（2a+6）+（-2a-2），合并同類項，得2x+y=4，故③是正確的。

把方程y=x2+5轉化為-2a-2=（a+3）2+5，即-2a-2=a2+6a+9+5，a2+8a+16=0，解得：a=-4，故④是正確的。

所以正確答案是A。

【點評】解決此題的關鍵是用含a的代數式分別表示x和y，并將題目中所涉及的不等式和方程轉化為關于a的一元一次不等式和一元二次方程。

考點二：方程和不等式（組）的實際運用

例4（2016·山東濟寧）某地2014年為做好“精準扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規定投入資金逐年增加，2016年在2014年的基礎上增加投入資金1600萬元。

（1）從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長率為多少？

（2）在2016年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優先搬遷租房獎勵，規定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎勵8元，1000戶以后每戶每天補助5元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優先搬遷租房獎勵。

【分析】對第一問，設從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長率為x。要注意2016年的投入資金是1280+1600=2880（萬元），從而可列方程求解；第二問注意找到題目中數量之間的不等關系，即每戶每天獎勵8元的搬遷戶的租房獎勵總額+每戶每天獎勵5元的搬遷戶的租房獎勵總額≥500萬。注意每戶每天獎勵8元的搬遷戶有1000戶，設每戶每天獎勵5元的搬遷戶有y戶，即可列出不等式求解，進而得到題目的答案。

解：（1）設從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長率為x。

根據題意，得1280（1+x）2=1280+1600，

解這個方程，得x1=0.5，x2=-2.5（不合題意，舍去）。

答：從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長率是50%。

（2）設今年該地有y戶享受到優先搬遷租房獎勵。

根據題意，得0.0008×1000×400+0.0005×400（y-1000）≥500，

解這個不等式，得y≥1900，

y≥1900的最小值是1900。

答：今年該地至少有1900戶享受到優先搬遷租房獎勵。

【點評】本題主要考查了一元二次方程及一元一次不等式的應用。我們要找出題目中能夠反應數量關系的語句，并能正確列出方程和不等式。

考點三：方程、不等式（組）和函數知識的應用

例5（2013·江蘇宿遷）在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+2與反比例函數y=（x＞0）的圖像交點的橫坐標為x0。若k＜x0＜k+1，則整數k的值是_______。

【分析】先求反比例函數與一次函數的交點，聯立兩函數解析式，求出交點橫坐標x0，將x0代入k＜x0＜k+1中，估算即可確定出k的值。

解：聯立兩函數解析式得：

配方得：x2+6x+9=24，即（x+3）2=24，

解得：x1=2-3或x2=-2-3（舍去），

∴一次函數與反比例函數交點的橫坐標為x0=2-3，

∴整數k的值是1。

【點評】此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題。確定兩函數交點的橫坐標是解本題的關鍵。對用消元法解方程組的核心知識的理解及尋求不等式的整數解也是解決此題的關鍵要素。

例6（2018·江蘇南京）已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m 為常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點。

（2）當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

【分析】本題是二次函數與一元二次方程、一元一次不等式的結合，二次函數的圖像與x軸的交點個數是由相應的一元二次方程解的個數確定的。二次函數圖像與y軸的交點的橫坐標為0，此時對應的縱坐標大于0，即為問題要求的答案。

（1）證明：當y=0時，2（x-1）（x-m-3）=0。

解得x1=1，x2=m+3。

當m+3=1，即m=-2時，方程有兩個相等的實數根；當m+3≠1，即m≠-2時，方程有兩個不相等的實數根。

所以不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點。

（2）解：當x=0時，y=2m+6，即該函數的圖像與y軸交點的縱坐標是2m+6。

當2m+6＞0，即m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

【點評】正確解答此題的關鍵是明確函數圖像與坐標軸交點的意義，進而將函數問題轉化為方程和不等式問題。