巧用根的判別式

一元二次方程根的判別式是初中數學的重點，是重要的基礎知識，也是解數學題的重要工具，其應用主要包括以下幾個方面：①不解一元二次方程，判斷（證明）根的情況；②根據方程根的情況，確定待定系數的取值范圍；③判斷二次三項式是完全平方式時的待定系數；④判斷拋物線與直線（含x軸）的公共點個數。下面，我們列舉幾種常見的題型和解法供同學們參考。

【教材原題】（蘇科版《數學》九下第117頁）k取什么值時，關于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個相等的實數根？

【思路分析】因為方程有兩個相等的實數根，所以Δ=0，將方程的系數代入根的判別式中，得到關于k的方程，進而求得k的值。

【解答】∵關于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個相等的實數根，

∴Δ=b2-4ac=（-k）2-4×1×4=0，

解得：k=±4。

∴當k=±4時方程x2-kx+4=0有兩個相等的實數根。

【演變過程】本題是在不解一元二次方程判斷方程根的基礎上演變而來的。

【考題在線】

變式1如果關于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有實數根，則k的取值范圍是（ ）。

A.k≥1 B.k＞1 C.k＜1 D.k≤1

【思路分析】可由方程根的情況判斷判別式的取值，進而分析得出k的取值范圍。

【解答】∵關于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有實數根，

∴Δ=b2-4ac=4（k-1）2-4（k2-1）=-8k+8≥0，

解得：k≤1。

故選：D。

【解后反思】本題應注意，有實數根包含有兩個不相等的實數根和有兩個相等的實數根兩種情況，解題時要注意題目的不同說法。

變式2關于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。

【思路分析】根據一元二次方程kx2-x+1=0有兩個不相等的實數根，知Δ=b2-4ac＞0且k≠0，然后據此列出關于k的不等式，解不等式即可。

【解答】∵kx2-x+1=0有兩個不相等的實數根，∴Δ=1-4k＞0，且k≠0，

【解后反思】本題主要考查根據方程根的情況求方程待定系數的取值范圍。解題時，注意一元二次方程的“二次項系數不為0”這一條件。

變式3 求證：無論k取何值，方程x2-（k+3）x+2k-1=0都有兩個不相等的實數根。

【思路分析】先用含k的代數式表示出根的判別式，再通過配方說明其不小于0。

【解答】Δ=（k+3）2-4（2k-1）=k2+6k+9-8k+4=k2-2k+13=（k-1）2+12，

∵（k-1）2≥0，

∴（k-1）2+12＞0，

則無論k取何實數，原方程總有兩個不相等的實數根。

【解后反思】此題考查了根的判別式在證明方程根的情況這類問題中的應用，這類問題需要先對根的判別式進行配方，再對配方結果的取值進行分析，最終得出結論。

變式4 已知關于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個實數根，m為正整數，且該方程的根都是整數，則符合條件的所有正整數m的和為（ ）。

A.6 B.5 C.4 D.3

【思路分析】根據方程的系數，結合根的判別式Δ≥0，即可得出m≤3，由m為正整數，結合該方程的根都是整數，即可求出m的值，將其相加即可得出結論。

【解答】∵a=1，b=2，c=m-2，關于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個實數根，

∴Δ=b2-4ac=22-4（m-2）=12-4m≥0，

∴m≤3。

∵m為正整數，且該方程的根都是整數，

∴m=2或3。

∴2+3=5。

故選：B。

【解后反思】先由根的情況求出字母系數取值范圍，再根據題中條件分析，最終確定m的值。

變式5 若關于a的二次三項式16a2+ka+25是一個完全平方式，則k=________。

【思路分析】可以令二次三項式等于0，若二次三項式是完全平方式，則方程有兩個相等的實數根，即Δ=0。

【解答】令16a2+ka+25=0，因為方程有兩個相等的實數根，所以Δ=k2-4×16×25=0，所以k=40或者-40。

答案：40或者-40。

【解后反思】當Δ=0時，二次三項式是一個完全平方式，把滿足題目的所有條件列成一個方程求解。

變式6 已知函數y=mx2-6x+1（m是常數），若該函數的圖像與x軸只有一個交點，求m的值。

【思路分析】應分兩種情況討論：①當函數為一次函數時，與x軸有一個交點；②當函數為二次函數時，利用根的判別式解答。

【解答】①當m=0時，函數y=-6x+1的圖像與x軸只有一個交點。

②當m≠0時，若函數y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個交點，則方程mx2-6x+1=0有兩個相等的實數根，所以Δ=（-6）2-4m=0，m=9。

綜上，若函數y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個交點，則m的值為0或9。

【解后反思】拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式有著密切的關系，由交點個數可以得到根的判別式取值范圍，由根的判別式取值范圍也可判斷交點個數。

在中考復習中，我們要善于分析和思考，及時總結，做到舉一反三，才能有效提高我們解決問題的能力。