“分 式 方 程”中典型錯解舉例分析
2019-03-28 01:45:16李青
初中生世界 2019年11期
李 青
分式方程是初中階段重要的知識點之一，它是整式方程的拓展與延伸，但是分式方程的相關運算與整式方程相比較，運算步驟繁復，解題方法靈活多樣，在學習和運用的過程中更容易出錯。下面就分式方程中易混、易錯的地方加以舉例剖析，希望對同學們的學習能夠有所幫助。
一、對分式方程的概念理解不透
例1下列各式是分式方程的是 。
【錯解】②③。
【剖析】這一題出現錯誤主要是因為對分式方程的概念理解不透。分式方程要滿足兩個條件：（1）必須是一個方程；（2）分母中要含有未知數。而③式只是一個代數式，并不是一個方程，所以③不是分式方程；對于1，由于約分后的結果是一個整式方程，所以許多同學認為它不是分式方程，其實判斷一個方程是不是分式方程，一定要看它約分前的特征，所以④是分式方程。
【正解】②④。
二、解分式方程時，忘記驗根
例2解方程：
【錯解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得（x-2）2-（x+2）2=16。解這個方程，得x=-2。所以x=-2是原方程的解。
【剖析】方程兩邊同乘值為0的代數式，便產生增根。這一題錯解的原因是忘記驗根。當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，所以x=-2是增根，原方程無解。
【正解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得（x-2）2-（x+2）2=16。
解這個方程，得x=-2。
檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，原方程無解。
三、分式方程去分母時，整式部分易漏乘公分母
例3解方程
【錯解】方程兩邊同乘（x-3），得：
x-2=-1-2。
解這個一元一次方程，得x=-1。
檢驗：當x=-1時，x-3≠0，所以x=-1是原方程的解。
【剖析】這一題去分母時，違反了等式的基本性質，常數項-2漏乘了公分母（x-3）。
【正解】方程兩邊同乘（x-3），得：
x-2=-1-2（x-3）。
四、去分母，分子是多項式時漏加括號
例4解方程
【錯解】方程兩邊同乘3（x-3），得2x+9=12x-7+6（x-3）。
【剖析】去分母時，若分式的分子是一個多項式，應將多項式用括號括起來。這一題的錯誤在于未把分子上的4x-7用括號括起來。
【正解】方程兩邊同乘3（x-3），得：
2x+9=3（4x-7）+6（x-3），
解這個一元一次方程，得x=3。
檢驗：當x=3時，3（x-3）=0，x=3是增根，原方程無解。
五、分式方程化簡時，錯用分式的基本性質
例5解方程
【錯解】化簡，得
方程兩邊同乘（x-9），得x+4=2（x-9）。
解這個一元一次方程，得x=22。
檢驗：當x=22時，x-9≠0，x=22是原方程的解。
【剖析】此題化簡時用到分式的基本性質。分式的基本性質是分式的分子和分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。這一題是分子乘2，而分母乘3，所以分式的值發生了改變。
【正解】化簡，得
方程兩邊同乘（2x-18），得3x+12=2（2x-18）。
解這個一元一次方程，得x=48。
檢驗：當x=48時，2x-18≠0，x=48是原方程的解。
六、分式方程“有增根”和“無解”易混為一談
例6當m為何值時，分式方程=0無解。
【錯解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：
2（x+2）+mx=0。
解得m1=-4，m2=0。
【剖析】“分式方程有增根”是指去分母后的整式方程的解使得分式方程的最簡公分母為0。而“分式方程無解”的原因有兩個：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程的解使得分式方程的最簡公分母為0。分式方程“有增根”是“無解”的一種情況。這一題錯把分式方程無解默認為是分式方程有增根了。
【正解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：
2（x+2）+mx=0。
①當x=2或x=-2時，
解得m1=-4，m2=0。
即：m=-2時，分式方程無解。
所以當m1=-4，m2=0，m3=-2時，分式方程無解。
七、求分式方程中字母的取值時，易忽略分母不為0
例7已知關于x的方程的解為正數，求m的取值范圍。
【錯解】方程兩邊同乘（x-3），得：
x=2（x-3）+m。
解這個一元一次方程，得x=6-m。
由原方程的解為正數，得x＞0，即6-m＞0。
解得m＜6。
所以當m＜6時，原方程的解為正數。
【剖析】解決這種問題時，不僅要考慮“方程的解為正數”這個條件，還要考慮x-3≠0這個隱含的條件。這一題的錯解就忽略了x-3≠0這個隱含的條件。
【正解】方程兩邊同乘（x-3），得：
x=2（x-3）+m。
解這個一元一次方程，得x=6-m。
由原方程的解為正數，得x＞0，即6-m＞0。
解得m＜6。
又因為x-3≠0，得x≠3，即6-m≠3。
解得m≠3。
所以當m＜6且m≠3時，原方程的解為正數。
小試牛刀
【參考答案】
1.原方程無解。
