例談比 較數(shù)或式大小的方法

眭亞燕

我們在分析、解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個實數(shù)或代數(shù)式的大小，在實際操作時，需要根據(jù)實數(shù)或代數(shù)式的特點來選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行比較，才能方便快捷地獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。

一、法則法

比較實數(shù)大小的法則有：①在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；②正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；③兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的正數(shù)大；④兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的負(fù)數(shù)小。這些方法常用于比較有理數(shù)的大小。

例1實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，這4個數(shù)中最大的是（ ）。

A.a B.b C.c D.d

【解析】由數(shù)軸可知，a＜b＜c＜d，故選D。

二、平方法

對任意正實數(shù) a、b，若 a2＞b2，則 a＞b；對任意負(fù)實數(shù)a、b，若a2＞b2，則a＜b。這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。

例2比較大小：（1）23；（2）

【解析】（1）首先分別求出2、3的平方，然后判斷出2、3的平方的大小關(guān)系，即可判斷出2、3的大小關(guān)系。易得2＞3。

三、估算法

對任意正實數(shù)a、b，先估算出a、b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進行比較。這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。

例3若a=，b=，則實數(shù)a、b的大小關(guān)系為（ ）。

A.a＞b B.a＜b C.a=b D.a≥b

【解析】解決此題的關(guān)鍵是正確估算出、中被開方數(shù)26和11分別在哪兩個相鄰整數(shù)的立方、平方之間。

四、賦值法

賦值法也稱特殊值法，即在解決含有字母的選擇題或填空題時，常常可以在字母給定的范圍內(nèi)取特殊值，從而比較快地得出答案。

例4已知-1＜b＜0，0＜a＜1，則代數(shù)式a-b、a+b、a+b2、a2+b中值最大的是_______。

【解析】根據(jù)條件，不妨設(shè)b=-0.5，a=0.5，則a-b=1，a+b=0，a+b2=0.75，a2+b=-0.25。故ab的值最大。

五、求差法

對任意實數(shù)a、b，若a-b＞0，則a＞b；若ab=0，則 a=b；若 a-b＜0，則 a＜b。反之也成立。這種方法常用于比較兩個較復(fù)雜的無理數(shù)或分式的大小。

例5已知a、b、c分別是△ABC的3條邊長，試比較分式的大小。

∵a、b、c分別是△ABC的3條邊長，

六、求商法

例6比較218×310與210×315的大小。

【解析】本題若先計算出結(jié)果，再進行比較，相當(dāng)困難。觀察可發(fā)現(xiàn)，它們有相同底數(shù)的因數(shù)，我們采用求商法解決此題。

七、倒數(shù)法

設(shè)a、b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)“當(dāng)時，a＜b”來比較a與b的大小。

例7比較的大小。

【解析】當(dāng)幾個式子中的被開方數(shù)的差相等，如2017-2016=2018-2017，且式子中的運算符號相同（都是減號）時，可選用倒數(shù)法。

八、放縮法

如果a＜c，c＜b，那么a＜b。若通過放縮能夠確定兩個實數(shù)中的一個數(shù)比某個數(shù)小，而另一個數(shù)恰好比該數(shù)大時，可選用此法。

例8比較245與511的大小。

【解析】注意到前者的底數(shù)24接近52，采用放縮法，可知 245＜255=（52）5=510＜511，所以245＜511。

九、參數(shù)法

例8 比較下面兩個數(shù)的大小：

【解析】題目中是比較兩個根式之間的大小，因為根號內(nèi)均為正整數(shù)，所以只要比較根號內(nèi)兩式大小即可。

設(shè)參數(shù)x=54322，則54321=x-1，54323=x+1，54324=x+2，則只需比較（x-1）（x+2）與x（x+1）的大小即可。

十、穿越法

穿越法亦稱移動因式法。當(dāng)a＞0，b＞0，若要比較形如a b與c d的大小時，可先把根號外的因數(shù)a與c平方后，移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。

例10比較大小：4____5。（填“＜”“=”“＞”）

【解析】因為兩數(shù)均為正無理數(shù)，所以把它們化為二次根式的形式，然后比較被開方數(shù)的大小即可解決問題。

十一、相“同”法

已知a、b、c都為正整數(shù)，對于同指數(shù)且不同底數(shù)的兩個冪 ab與 cb，當(dāng) a＞c時，ab＞cb；對于同底數(shù)且不同指數(shù)的兩個冪ab與ac，當(dāng)b＞c時，ab＞ac。

例11（1）比較大小：210310。

（2）試比較722與266的大小。

【解析】（1）根據(jù)同指數(shù)的“冪底數(shù)越大冪越大”，可得答案為210＜310；（2）根據(jù)冪的乘方，可得指數(shù)相同的冪，根據(jù)底數(shù)越大冪越大，可得答案。

∵266=822，∵7＜8，∴722＜822，即722＜266。

十二、規(guī)律法

例12 你能比較兩個數(shù)20092010和20102009的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nn+1和（n+1）n的大小（n為自然數(shù)），然后我們從簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論。

（1）通過計算，比較下列各組數(shù)的大小：

①1221；②2332；③3443；

④4554；⑤5665…

（2）從（1）的結(jié)果歸納，可以猜想出nn+1__（n+1）n（n≥3）。

（3）根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小：

①2009201020102009。

②-20092010-20102009。

【解析】解決本題的關(guān)鍵是計算正確，并猜想得出nn+1＞（n+1）n（n≥3），從而根據(jù)這個一般結(jié)論，得到①20092010＞20102009；②-20092010＜-20102009。