數學教學中學中重視數學概念

續玉玲

【摘要】通過學習與實踐，根據數學概念的教學要求，本文分析了數學概念是什么，為什么要加強概念教學，理清概念間的關系，了解概念的內涵和外延，真正地提高學生的數學素質.

【關鍵詞】數學；概念學習；內涵與外延

通過多年來數學教學工作，我體會到概念教學在數學教學中的重要性.因為每一段數學內容都是由概念、命題及命題的推理而組成.只有正確地理解數學的每一個概念，才能系統地學好數學，但由于升學的壓力，學生在學習過程中，容易出現重實用，輕視概念的傾向.我們只有運用認知理論，根據數學學習的客觀規律，循序漸進，才能真正地學好數學概念，掌握好數學的精髓.

一、數學概念的認識

認知心理學認為概念學習是辨別一類事物或概念的共同特征.事物所固有的，具有規律性的性質稱為事物的本質屬性，根據該性質可以將此事物和其他事物區分開.人們是在實踐中認識周圍的事物（對象），通過實踐，運用比較分析、綜合、抽象等一系列邏輯方法，抓住客觀對象最主要的本質屬性而產生概念.因此，概念是客觀的對象及其本質屬性在人們思維中的反映.而數學是研究現實世界形式和數量關系的科學，數學概念是現實世界中空間形式的反映.一個數學概念通常用一個詞（名稱）或符號來表示.例如，用Q，N，Z，R分別表示有理數集、自然數集、整數集和實數集.數學概念的產生與發展有各種不同的途徑.有些是直接從事物的空間形式和數量關系中反映出來，如自然數概念是從事物排列的空間形式和數量關系反映出.幾何中的點、線、面、體、平行、垂直、圓柱、錐、臺、球等概念是從形狀及大小位置關系抽象出來的.有些概念是在抽象的數學概念的基礎上經過多次復雜的抽象概括過程才產生和發展而成，如“復數”的概念是在實數的概念的基礎上產生的，而實數的概念又是在有理數的基礎上產生的.有些概念是經過思維加工把事物的屬性理想化、純粹化得來的，如群、環的概念.數學概念的形成不論如何復雜、抽象，它們總是在一定的感性認識的基礎上，不斷上升到理性認識的層次上而逐步發展起來的.

為了正確地進行思維、判斷和推理，概念必須明確.要做到概念明確，就必須弄清楚概念的內涵和外延.任何一個概念都具有明確的內涵和外延這兩方面，它們是最基本的邏輯特征.學習一個概念就是要明確概念所指的對象是什么，其所反映的對象有哪些本質屬性，只有對概念的內涵和外延兩方面都有了準確的了解，才能說對概念的理解是明確的.

二、概念間的關系

概念間的關系主要是指概念的外延間的關系，因為概念的具體的對象，它的整體實為集合，所以探討外延的關系就歸之為討論集合之間的關系，并可用圖形直觀表示出來，根據兩個概念的外延有無共同之處，概念間的關系分為相容關系和不相容關系.相容概念又可分為完全重合和部分重合，故相容關系又分為同一關系、屬種關系和交叉關系三種.

（1）同一關系（又稱全同關系）：如果兩個概念的外延完全重合，則兩個概念的關系是同一關系（全同關系）.例如，“等邊矩形”和“等對角線矩形”這兩個概念的外延相等，是同一關系.了解更多的同一概念可以對反映同一事物的概念的內涵做全方位的揭示.有利于認識對象，在同一論證過程中，具有同一關系的兩個概念可以互相代替，有利于論證，例如，等邊三角形的“外心”“內心”“垂心”“重心”均指同一個點，四心是合一的，論證時常常互相代替.

（2）屬種關系（從屬關系、真包含關系）：如果兩個概念之間，一個概念的外延完全包含在另一個概念的外延之中，而且僅僅成為另一個概念的外延的一部分，則這兩個概念之間的關系是屬種關系，外延大的且包含另一個概念的那個概念叫作屬概念（有時稱上位概念），外延小的概念叫作種概念.例如，四邊形和平行四邊形、實數和有理數分別是具有屬種關系的概念.

（3）交叉關系：例如，“等腰三角形”和“直角三角形”是交叉概念，交集是“等腰直角三角形”.

概念間的不相容關系（也稱全異關系）：所謂概念間的不相容關系是指屬于同一個屬概念中的兩個在外延上沒有任何重合部分的種概念之間的關系，不相容關系又分為反對關系和矛盾關系.

三、內涵和外延的反變關系，限定和擴大

具有屬種關系的兩個概念，它的外延和內涵具有反變關系，即指一個概念的外延愈大則它的內涵愈少；反之，一個概念的外延愈小，則它的內涵愈多.例如，“平行四邊形”這個概念的內涵增加“鄰邊相等”就成為“菱形”，后者比前者的外延小.

應當注意的是，這種反變關系只能對一個概念可列入另一個概念的外延中的那些概念而言，即屬種關系的那些概念.概念的外延和內涵變化方式有兩種，概念的限定（又稱為概念的收縮）和概念的擴大（又稱為概念的概括），概念的限定（收縮）就是由外延豐富的內涵貧乏的概念出發，不斷豐富概念的內涵，同時也相應地縮小其外延.這個逐次形成新概念的過程，是使概念從一般愈來愈趨向特殊化的過程.例如，平行四邊形要是加鄰邊相等就會變成菱形，如果再加其中有一個角為直角，就變成了正方形.

總之，概念的學習中要注重概念的本質、概念產生的基礎；善于解剖概念，把握好概念的內涵和外延.對數學概念的學習，要充分發揮學生的主動性，培養學生自主學習的能力.要學會讀書，并且能通過概念的認識，歸納字面上的信息，抓住數學概念的本質，并通過練習來鞏固，真正地學好數學，提高自身的數學素質.

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