淺談數(shù)學(xué)分析與概率論的相互關(guān)系

彭勁

【摘要】數(shù)學(xué)分析、概率論問題是近年來大多數(shù)學(xué)研究的焦點(diǎn)，二者是相互滲透、促進(jìn)的關(guān)系，可被用于解決許多相對復(fù)雜困難問題.本次研究將對概率論中的數(shù)學(xué)分析作用表現(xiàn)以及數(shù)學(xué)分析中概率方法的應(yīng)用進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；概率論；相互關(guān)系

作為數(shù)學(xué)知識的兩個重要分支，數(shù)學(xué)分析、概率論分別屬于確定性數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)類型，在研究方向上有一定差異.值得注意的是，盡管二者在研究方向上不同，但卻存在一定的相互關(guān)系，表現(xiàn)為概率論以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，同時又被運(yùn)用于數(shù)學(xué)分析中，若能有效將二者結(jié)合，對部分復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解決可提供有效思路.因此，本文對數(shù)學(xué)分析與概率論關(guān)系的研究，具有十分重要的意義.

一、概率論中的數(shù)學(xué)分析作用表現(xiàn)

（一）特征函數(shù)與傅立葉變換

數(shù)學(xué)分析中，傅立葉變換是主要工具，與之相關(guān)的有其他如傅立葉積分、傅立葉級數(shù)等，若在密度函數(shù)、分布函數(shù)中將傅立葉變換引入，則有“特征函數(shù)”產(chǎn)生.此時，對隨機(jī)變量、隨機(jī)變量序列相關(guān)問題解決，借助“特征函數(shù)”將極為容易.而問題解決中涉及的定理為若以F1、F2表示有界變差函數(shù)，F(xiàn)為其卷積，通過傅立葉-斯蒂爾吉斯變換，則對應(yīng)有g(shù)1、g2、g，g（λ）=g1（λ）·g2（λ）.若在概率論知識中將定理引入，可明確特征函數(shù)性質(zhì)，即ФX+Y=ФX（t）·ФY（t），其中X與Y保持獨(dú)立，這樣便能直接做隨機(jī)變量和的處理.

（二）公理化體系形成

公理化體系在構(gòu)成上包括概率論與集合論，其中集合論可理解為數(shù)學(xué)研究對象均有各自的特征、結(jié)構(gòu)，這種特征或結(jié)構(gòu)所構(gòu)成的集合便被稱之為集合論.之所以有公理化體系形成，很大原因歸結(jié)于最初的數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)處理可通過黎曼積分處理實(shí)現(xiàn)，但若涉及其他包括極限交換次序、積分、函數(shù)等，處理相對較為困難，后因勒貝格積分逐漸引入，發(fā)現(xiàn)在事件概率、集合測度上有一定相似性.直至1993年，柯爾莫哥洛夫以測度論為基礎(chǔ)，進(jìn)行概率論公理化體系構(gòu)建.由此可發(fā)現(xiàn)，概率論將公理化作為基礎(chǔ)，屬于演繹科學(xué)，同各數(shù)學(xué)分支均有密切聯(lián)系[1].

（三）函數(shù)與分布函數(shù)、隨機(jī)變量

作為數(shù)學(xué)分析基本概念，函數(shù)應(yīng)用于概率論中簡化極多的問題，其中涉及的兩個函數(shù)概念為分布函數(shù)、隨機(jī)變量，分別為實(shí)函數(shù)、集函數(shù).若函數(shù)關(guān)系對應(yīng)，將隨機(jī)事件將按照集合、實(shí)數(shù)的順序轉(zhuǎn)化，最后實(shí)函數(shù)取代集函數(shù).同時，對分布函數(shù)，從函數(shù)角度進(jìn)行衡量，分布函數(shù)則有可積、可導(dǎo)、單調(diào)有界等性質(zhì).事實(shí)上，在許多數(shù)學(xué)知識中，如關(guān)于分布函數(shù)與概率密度、隨機(jī)變量概率計(jì)算以及隨機(jī)變量數(shù)字特征等，分析與計(jì)算均有微積分內(nèi)容參與其中.

（四）其他

除以上數(shù)學(xué)分析作用表現(xiàn)，如隨機(jī)變量函數(shù)、雅可比行列式也涉及概率論中的數(shù)學(xué)分析作用.從常見的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容看，一般以顯函數(shù)為主，但也有其他隱含數(shù)組存在，如偏微分方程研究中，利用雅可比行列式可將許多問題解決，如隨機(jī)變量函數(shù)概率分布，其中隨機(jī)變量（X，Y），需解決其函數(shù)z（X，Y）概率分布問題.另外，其他如中心極限定理、大數(shù)定律等也是概率論相關(guān)問題，主要用于隨機(jī)變量序列極限分析，解決問題中可借助同階數(shù)量級方法實(shí)現(xiàn).

二、數(shù)學(xué)分析中概率方法的具體應(yīng)用

（一）不等式問題中的數(shù)學(xué)期望應(yīng)用

（二）數(shù)學(xué)分析中的中心極限定理

（三）其他應(yīng)用

除上述應(yīng)用外，數(shù)學(xué)分析中也有其他概率論應(yīng)用，如數(shù)學(xué)分析積分，可借助隨機(jī)變量函數(shù)進(jìn)行求解.再如，部分積分問題存在“積不出來”情況，通過概率密度函數(shù)，在轉(zhuǎn)換原積分下，能夠完成求解過程[2].

三、結(jié) 論

數(shù)學(xué)分析與概率論保持密切關(guān)系，其中數(shù)學(xué)分析發(fā)展下使概率論的研究有了基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)分析問題中概率論逐漸滲透，很大程度上使數(shù)學(xué)分析進(jìn)一步發(fā)展.從研究中可發(fā)現(xiàn)，在概率論中數(shù)學(xué)分析作用主要表現(xiàn)在傅立葉變換與特征函數(shù)、公理化體系以及函數(shù)與分布函數(shù)等，而數(shù)學(xué)分析中概率論的應(yīng)用表現(xiàn)在數(shù)學(xué)期望與中心極限定理等，二者結(jié)合對解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題發(fā)揮積極作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]何天榮，吳湘云.關(guān)于極限算法的探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（17）：81.

[2]竇本旺.波利亞與《怎樣解題》——一本值得中學(xué)生閱讀的數(shù)學(xué)名著[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（13）：120.