不同條件下土壤壓力沉陷關系有限元分析

馮文選，馬吉勝，吳大林，何 健

(陸軍工程大學石家莊校區，河北 石家莊 050003)

車輛行駛過程中，對地面產生垂直作用力，使土壤產生沉陷作用，影響車輛的行駛性能。因此研究土壤在垂直載荷的作用下，沉陷量與載荷的關系至關重要。土壤的壓力沉陷特性最早應用于拖拉機在田間行駛性能的研究。經典的土壤所受壓力和沉陷量之間的關系以指數函數形式為代表。貝克在貝恩斯坦提出的壓力沉陷公式基礎上，結合土木工程領域的地基承載力理論，提出了考慮土壤參數和載荷板寬度的土壤壓力沉陷特性方程，并且得到了廣泛的應用[1-3]。經過幾十年的發展，土壤的壓力沉陷特性模型陸續出現了英國科學家利斯[4]的冪函數模型、俄國科學家庫茲可夫的雙曲正切模型和日本科學家的雙曲線模型[5-6]。上述經典土壤壓力沉陷理論模型對研究車輛越野性能具有重要的指導意義，但是后人在此基礎上的研究以靜態和準靜態加載條件為研究基礎[7-9]，針對載荷加載速率對土壤壓力沉陷特性的影響考慮較少。

近年來，有限元理論在土壤力學分析中的應用日趨廣泛，土木工程領域對有限元理論的應用相對更加系統和完善[10～12]。地基極限承載力的有限元分析是土木工程中非常重要的一方面，結合太沙基的極限承載力理論并借鑒土木工程中運用有限元理論分析地基極限承載力的技巧，研究車輛地面力學領域土壤壓力沉陷特性是可行的[13]。筆者基于有限元理論研究了不同載荷板尺寸和加載速率對土壤壓力沉陷關系的影響。

1 有限元分析中的土壤本構模型

ABAQUS是一款大型有限元分析軟件，特別是在土力學的分析中具有獨特的優勢[14]。ABAQUS軟件內置了多種土壤本構模型，包括以廣義胡克定律為基礎的各向同性彈性模型、正交各向異性彈性模型和各向異性彈性模型，以及以Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型和臨界狀態塑性模型為代表的塑性模型[15]。

1.1 土壤的彈性模型

材料的彈性本構模型描述材料在彈性變形范圍內應力應變的關系，包括兩個最基本的參數楊氏模量E和泊松比μ。土壤常用的彈性本構模型包括線彈性模型、多孔介質彈性模型和線粘彈性模型。筆者采用適用最廣泛的各向同性彈性模型描述土壤的彈性行為。

1.2 土壤的塑性模型

土壤的塑性模型描述了土壤的屈服、硬化、流動準則、剪脹等塑性行為[16]。經典的Mohr-Coulomb模型和Drucker-Prager模型無法解決由于等向壓縮導致的土壤永遠不會屈服的現象。為此，筆者將采用修正Drucker-Prager蓋帽模型來描述土壤的塑性行為。修正Drucker-Prager蓋帽模型在線性Drucker-Prager模型的基礎上引入材料的壓縮屈服，并控制剪脹的擴展。

修正Drucker-Prager蓋帽模型的屈服面如圖1所示。屈服面由3部分組成，包括剪切破壞面、蓋帽曲面和過渡面。

蓋帽屈服面方程為

R(d+patanβ)=0,

(1)

式中：Fc為屈服面;p為主應力;pa為屈服面與過渡面交點值;R為控制蓋帽幾何形狀的參數;t為偏應力;α為控制過渡曲面形狀的參數;β為p-t平面上的摩擦角;d為p-t上的粘聚力。

修正Drucker-Prager蓋帽模型的剪切破壞準則使用Mohr-Coulomb準則，Mohr-Coulomb準則被認為最符合土壤的剪切破壞條件[17]，其在p-t平面上表示為一條直線，如圖1所示。修正Drucker-Prager蓋帽模型的剪切破壞面方程為

Fs=t-ptanβ-d=0.

(2)

此外，修正Drucker-Prager蓋帽模型采用非相關聯的流動準則。

1.3 土壤本構參數的確定

土壤本構參數可以通過土工試驗來確定。土體抗剪強度試驗是測定土體剪切特性試驗其中的一種，分為室內試驗和現場試驗。室內試驗包括直剪試驗和三軸剪切試驗，直剪試驗儀器設備簡單、操作方便、試驗用土少，可以測量土壤的抗剪強度參數粘聚力c和內摩擦角φ。三軸壓縮試驗作為另一種常見的室內土工試驗，與直剪試驗相比，除了可以測定抗剪強度指標粘聚力c和內摩擦角φ，還可以測定土壤的彈性模量E、泊松比μ和壓縮系數等參數。

文獻[18]采用上述兩種土工試驗對起伏路面松軟土壤進行參數測定，在含水率5%的情況下，測得土壤內摩擦角φ=27.33°，粘聚力c=6.38 kPa.通過三軸壓縮試驗測得土壤彈性模量E=20.2 MPa，泊松比μ=0.32，總密度為1 813 kg/m3.利用三維問題中Mohr-Coulomb模型與Drucker-Prager模型參數之間的轉換關系可以將上述測得的內摩擦角φ和粘聚力c轉換為Drucker-Prager模型中的內摩擦角β和粘聚力d，轉換關系如下：

(3)

(4)

(5)

式中：k為流應力比;σc為單軸抗壓強度。

利用上述Mohr-Coulomb模型與Drucker-Prager模型參數之間的轉換公式，得到修正Drucker- Prager蓋帽模型中的參數分別為：彈性模量E=20.2 MPa,泊松比μ=0.32,內摩擦角β=47.31°,粘聚力d=40.15 kPa.

2 土壤平板沉陷試驗有限元建模

2.1 有限元模型前處理

三維建模中，采用三維實體可變性模型，建立4個半徑r分別為0.05、0.10、0.15、0.20 m的載荷板。考慮到土體模型邊界對仿真結果的影響和模型計算效率，土體模型采用2 m×2 m×1.5 m的長方體。建立材料屬性分別為鋼和土壤的截面屬性，鋼的材料參數為：密度7 800 kg/m3、彈性模量E=207 GPa、泊松比μ=0.3；土壤本構模型采用各向同性線彈性模型和修正Drucker-Prager蓋帽塑性模型，參數如1.3所述。

裝配體及邊界條件為：載荷板裝配與土體上表面正中央，采用剛體約束并設置參考點；約束參考點水平方向位移自由度和3個方向轉動自由度，約束土體四周表面的水平位移自由度和底部3個方向位移自由度。土體和載荷板網格劃分均采用八節點線性六面體單元，設置減縮積分和沙漏控制。土體網格拓撲結構采用中間致密四周相對稀疏的方法。采用顯式動態分析。每種尺寸的載荷板分別以1 592.4、796.2、318.5、159.2、106.2 kPa/s的加載速率沉陷7～15 cm。裝配體及網格劃分如圖2所示。

2.2 仿真結果分析

取半徑為0.10 m的載荷板在318.5 kPa/s的加載速率下得到的位移增量云圖和壓力-沉陷量關系曲線，分別如圖3、4所示。

從圖3可以看出，土體在壓力的作用下產生下陷，并且具有明顯的應力核。從圖4可以看出，土壤在豎直載荷作用下產生的變形主要分為3個階段。第1階段，土壤隨著載荷從0逐漸增大，產生彈性變形，載荷與沉陷量為線性關系，這一階段土壤所受壓力與沉陷量的關系如圖中直線部分所示；第2階段，隨著載荷的進一步增大，土壤進入從彈性變形到塑性變形的過渡階段，這一階段在圖3中表現不明顯，土壤彈塑性變形區分較容易，極限承載力位置明顯，說明土壤發生整體剪切破壞；第3階段，土壤達到極限承載力，進入完全塑性變形階段，土壤在較小載荷增量的作用下發生失穩變形是這一階段的主要特征。曲線整體特征符合車輛實際行駛過程中壓力沉陷關系[19]。

2.3 考慮加載速率的土壤壓力沉陷關系

車輛在實際行駛中，車輪或履帶板對地面的作用是動態的，隨著車速的提高，載荷作用的時間越短，動態效應越明顯。特別是高速行駛的越野車輛，其行駛機構對地面的加載過程與傳統的土壤壓力沉陷模型適用的加載條件存在明顯差別。筆者采用4種不同尺寸的平板分別以不同加載速率進行有限元仿真分析，研究加載速率對土壤壓力沉陷關系的影響。以r=0.10 m載荷板為例，加載速率對壓力沉陷關系曲線的影響如圖5所示。

從圖5中可以看出，在r=0.1 m的載荷板作用下，土壤的極限承載力隨加載速率的增大而增大，并且隨著加載速率的增大，極限承載力增大效應越明顯。4種尺寸載荷板壓力沉陷曲線隨加載速率的變化趨勢基本相同。

2.4 考慮平板尺寸的土壤壓力沉陷關系

載荷板尺寸是影響土壤壓力沉陷關系的一個重要因素。Bekker公式在貝恩斯坦公式的基礎上，考慮土壤粘聚系數、土壤摩擦系數和載荷板尺寸對土壤壓力沉陷關系的影響，認為系數k與平板尺寸的倒數成線性關系。實際試驗過程中，有學者發現兩者之間并非線性關系[20]。土壤壓力沉陷關系與載荷板幾何形狀、尺寸、加載條件等因素有關。

筆者以圓形載荷板為例，研究不同載荷板半徑對土壤壓力沉陷關系的影響。分別設置載荷板半徑分別為0.05、0.10、0.15、0.20 m，以318.5 kPa/s的加載速率加載，得到壓力沉陷關系曲線如圖6所示。

從圖6可以看出，在相同加載速率的情況下，同一沉陷量處的載荷隨平板半徑的增大而減小，極限承載力隨著載荷板半徑的減小而增大。這說明載荷板尺寸對土壤壓力沉陷關系會產生一定影響，并且二者之間存在的負相關關系與Bekker公式中載荷板寬度b對壓力p的影響是一致的。

3 加載條件對模型參數的影響

傳統土壤壓力沉陷模型參數被認為是與載荷板形狀、尺寸、加載條件無關的常量，例如Bekker公式中的kc、kφ、n；Bernstein方程中的k、n等模型參數。但是，俄羅斯學者[19]利用實測數據對各種土壤壓力沉陷解析模型[21-22]參數進行了解算，并與實測數據進行對比，發現模型參數不同的試驗條件和載荷板形狀尺寸得出的模型參數并非常數。

筆者以Bernstein方程為例，分析加載速率和載荷板尺寸對模型參數的影響。

3.1 加載速率對模型參數的影響

Bernstein方程為

p=kzn,

(6)

式中：p為土壤單位面積所受壓力;z為土壤沉陷量;n為土壤變形指數;k為土壤體積壓縮系數。

對Bernstein方程兩邊對數化得到：

lnp=nlnz+lnk.

(7)

理想條件下，式(7)在直角坐標系中為一條直線。取加載速率為318.5 kPa/s，載荷板半徑為0.10 m時的壓力和沉陷量數據，得到其在對數坐標系中的關系如圖7所示。

從圖7可以看出，仿真得出的土壤壓力沉陷關系在對數坐標系中并非理想的線性關系，這一結果與文獻[19]的研究結論是一致的。其余4種加載速率下，各尺寸載荷板的壓力沉陷關系在對數坐標系中也存在類似特征。采用最小二乘法對lnz-lnp關系進行線性擬合，在加載速率分別為1 592.4、796.2、318.5、159.2、106.2 kPa/s的條件下，解算出不同半徑載荷板采用p=kzn擬合時的參數n和k的值，如圖8所示。

從圖8(a)中可以看出，同一載荷板在不同加載速率下的n值并非常數，而是隨著加載速率的不同成一定趨勢的變化。載荷板半徑為分別0.05、0.10、0.20 m時，n值隨著加載速率的增大總體成減小趨勢，并且減小速率隨著加載速率的增大逐漸趨于平緩。載荷板半徑為0.15 m時，n值隨加載速率的變化趨勢與其他3條曲線的變化趨勢相反。對比圖8中(a)、(b)兩圖，可以看出加載速率對參數k的影響規律與對參數n的影響規律一致。

3.2 載荷板尺寸對模型參數的影響

設置載荷板半徑分別為0.05、0.10、0.15、0.20 m，并設置相同的加載速率進行仿真分析。利用最小二乘法求解出一定加載速率下不同載荷板半徑對應的參數k、n的值。得到載荷板尺寸與參數k、n的關系如圖9所示。

從圖9(a)中可以看出，參數n的值隨著載荷板半徑的增大呈現整體增大的趨勢，5種加載速率下得到的關系曲線均是如此。不同加載速率之間參數n與載荷板半徑的關系出現差異。加載速率分別為796.2、318.5、159.2 kPa/s時，參數n與載荷板半徑的關系近似為線性關系；加載速率分別為1 592.4、106.2 kPa/s時參數n隨載荷板半徑的增大跳動性較明顯，但整體呈現越來越大的趨勢。

從圖9(b)中可以看出，不同加載速率下參數k與載荷板半徑的關系差異性比圖9(a)更明顯。加載速率分別為796.2、318.5、159.2 kPa/s時，參數k隨載荷板半徑增大的趨勢較圖9(a)緩慢一些；加載速率分別為1 592.4、106.2 kPa/s時，參數k隨載荷板半徑的變化跳動幅度更大。比較圖9中(a)、(b)兩圖曲線的變化趨勢，發現載荷板半徑對參數n、k的影響具有相似性，不同點是載荷板半徑對參數k的影響更敏感。

結合3.1節對加載速率與模型p=kzn參數影響的分析可以發現，土壤壓力沉陷關系模型p=kzn參數并非是與加載速率和載荷板尺寸無關的常數。對比圖8和圖9可以看出加載速率和載荷板尺寸對模型參數的影響規律也不相同，并且加載速率和載荷板尺寸對模型參數的影響不是相互獨立的，考慮單一條件對模型參數的影響時，另外一個參數的變化也會影響模型參數的變化趨勢。

4 結論

筆者利用有限元仿真，分析了加載速率和載荷板尺寸對土壤壓力沉陷關系的影響，發現加載速率和載荷板尺寸的不同會影響土壤壓力沉陷關系。采用p=kzn方程對仿真數據進行擬合時，不同加載速率和載荷板尺寸會得出不同的模型參數。具體結論如下：

1)不同試驗條件會對土壤壓力沉陷關系產生影響，載荷板尺寸相同時，加載速率越大，同一沉陷深度的壓力越大，隨著載荷板尺寸的增大，加載速率對壓力沉陷關系的影響有減小的趨勢。加載速率相同時，隨著載荷板尺寸的增加，相同沉陷深度的壓力減小。

2)不同試驗條件會對土壤壓力沉陷模型參數產生影響。p=kzn方程參數在不同加載速率和載荷板尺寸的條件下并非常數，參數n、k受單一條件影響的規律較為類似，不同條件對參數n、k的影響規律差別較大，參數與加載條件之間的關系需要進一步研究。