一種新的行進間初始對準誤差模型及其應用

王律化，石志勇，宋金龍，王海亮

(陸軍工程大學石家莊校區，河北 石家莊 050003)

慣性導航初始對準是確定初始導航參數的過程，分為粗對準和精對準兩個階段。精對準是對于粗對準建立的姿態矩陣進行進一步修正的過程，精對準的研究主要集中在誤差方程和濾波算法方面。靜基座條件下，系統誤差模型主要有兩種：一種是表示計算坐標系和導航坐標系之間失準角ψ誤差模型；另一種是表示真坐標系和導航坐標系之間誤差角Φ的誤差模型，利用誤差角為小角度的特點，可將誤差方程進行線性化，滿足線性卡爾曼濾波的要求，完成初始對準。隨著對載體機動性要求的提高，初始對準由原來的靜基座初始對準逐漸向行進間初始對準轉化，小角度的誤差模型和線性的濾波理論已經不能再滿足初始對準的要求。

針對載體行進間初始對準精度問題，在里程計輔助慣性系行進間精對準的情況下，推導了精對準誤差模型。通過降維處理和狀態方程參量的自相關函數的正交化相結合，在降低濾波計算量的基礎上，保證了濾波器在非白噪聲情況下的濾波器的穩定性。由于在濾波過程中需要對于參量的后驗概率密度進行數值解算，為提高解算精度，運用5階球面-徑向準則進行計算。仿真實驗表明，在方位角為大失準角的條件下，該算法可以有效地保證較高的濾波精度，并且在噪聲未知的情況下，濾波器保證很好的魯棒性。

1 行進間捷聯慣導系統初始對準誤差模型

捷聯慣導系統完成行進間粗對準后，根據姿態矩陣的解算，其水平失準角是小角度，而方位失準角為大角度。因此，進行行進間初始對準精對準的過程中，其誤差模型應當使用大方位角誤差模型。根據文獻[1]和[10]，行進間捷聯慣導大方位角誤差模型表示為

(1)

捷聯慣導實測位置和里程計的實測位置的差值作為量測值

(2)

綜上所述，行進間大方位失準角誤差方程為

(3)

式中:f(x)的表達式為式(1);噪聲向量w和v是零均值，方差為Q和R的高斯白噪聲;量測矩陣表示為：H=[03×303×3I3×3-I3×303×303×4]T.

因此，式(3)可以改寫為：

(4)

式中：F(α)為狀態矩陣；H為量測矩陣；g(α)和h(α)為非線性函數。

2 貝葉斯濾波過程及其改進方法

2.1 貝葉斯濾波過程

將式(4)進行離散化處理，可表示成：

(5)

貝葉斯估計的預測和更新過程中，都涉及到如下形式的多維微積分：

(6)

2.2 強跟蹤貝葉斯濾波過程

上述貝葉斯估計，要求系統的噪聲是高斯白噪聲，但是在實際的工作狀態下，系統噪聲的統計學特性式未知的，這種條件下，單純的使用貝葉斯濾波過程，會使得系統的濾波效果變差甚至造成濾波器的發散。為了提高濾波器的魯棒性，使其在噪聲條件未知的情況下，依舊有著很好的濾波性能和估計精度，并且在濾波過程中，在噪聲發生突變的條件下，依舊使得濾波器的性能穩定。為滿足上述要求，將強跟蹤濾波(STF)和高階容積濾波將結合，在保證濾波精度的情況下，使得濾波器的魯棒性得到很好的提升。

將貝葉斯濾波過程寫成如下形式：

Pk|k-1=Fk,k-1Pk-1Fk,k-1+Qk，

(7)

Pk|k=(I-KkHk)Pk|k-1，

(8)

(9)

式中，Fk,k-1表示從k-1時刻到k時刻的狀態一步轉移矩陣。

將次優漸消因子ηk代入到式(7)中得：

Pk|k-1=ηkFk,k-1Pk-1Fk,k-1+Qk，

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:tr[·]表示矩陣跡的計算；ρ的取值為0<ρ≤1，一般情況下取為ρ=0.95，在系統的噪聲未確定的情況下，運用式(14)解算系統噪聲， 使得系統噪聲類似于高斯白噪聲，從而便于進行解算。

3 5階容積濾波解算方法

前文中關于強跟蹤高階容積濾波中參數的數值解算涉及到高維積分，因此，對于式(6)變形得：

(15)

式中：ri和wr,i是徑向積分的采樣點和采樣點對應的權值；sj和ws,j是球面積分的采樣點和采樣點對應的權值；I(g)的總采樣地點為NrNs個，當ri中有一個采樣點為0時，I(g)的總采樣點數為(Nr-1)(Ns+1)個。

3.1 5階球面積分方法

(16)

式(16)為2m+1階球面積分數值解算方法，式中IUn表示被解算的函數。式中的權值函數和采樣點的函數值之和分別為

(17)

(18)

對于高維積分的數值解算，有如下公式：

(19)

當所要近似的積分階數是5階的時候，2m+1=5，則m=2，將結果帶入到式(18)中得：

ws2=wp(2,0,…,0)=

(20)

(21)

ωs1所對應的采樣點為

ws2所對應的采樣點為：ej和-ej，其中j=1,2,…,n。

將式(20)和(21)以及采樣點代入到式(16)中,則有

(22)

3.2 徑向積分法則

對于5階及5階以下的高維徑向積分，可以使用高斯-拉格朗日積分方法，但是，這個方法不能運用于5維以上的數值解算，為提高徑向高維積分解算方法的適用性，采用時矩匹配法解算徑向積分。時矩匹配法具體表示為：

(23)

式中:gr(r)=rl，rl∈[0,r2,…,r2(Nr-1)]，l是一個非負偶數;并且，當gr(r)=rl時，

因此，當運用時矩匹配法解算5階徑向高維積分時，得到如下方程：

(24)

式中,Γ(z+1)=zΓ(z)，由于式(24)式中有4個未知數，只有3個方程，同時為了保證采用時矩匹配法數值解算徑向積分的采樣點數最少，可以令r1=0，于是求得式(24)的解為

(25)

將式(22)、(25)代入式(15)中，運用5階容積規則(Nr=2,Ns=2n2)解算得：

(26)

(27)

(28)

式(27)中，

Φk-1(αk-1)=Fk-1(αk-1)·

(29)

式(28)中，

(30)

式(29)和(30)中的Sk-1為對應變量的Cholesky分解,即Pαk-1=Sαk-1(Sαk-1)T.

4 仿真實驗

載體在完成行進間精對準的過程中，為了驗證強跟蹤5階CKF算法對于載體狀體的估計精度和估計時間，以及在噪聲未知條件下的魯棒性，通過和3階CKF算法在系統誤差模型確定的條件下，3個方向失準角的對比以及在噪聲條件未知的情況下，以航向失準角為例，對比強跟蹤5階CKF和3階CKF的估計效果，說明強跟蹤5階CKF算法的估計精度和魯棒性。

載體總的精對準仿真時間為600 s，假設載體的初始位置為45.235 1°N/85.238 4°E，高度0 m，陀螺為激光陀螺，其常值漂移為0.015(°)/h，隨機漂移為0.001(°)/h，加速度計常值零偏為450 μg，隨機漂移為10 μg，里程計的刻度系數誤差為2‰，載體在完成粗對準后的失準角為(3°，3°，10°) 仿真結果如圖1～3所示。

從圖1～3可以看出，當失準角是小角度的時候，3階CKF濾波和強跟蹤5階CKF濾波的濾波效果相近。圖3中表明，當失準角為大角度的時候，強跟蹤5階CKF濾波相較于3階CKF濾波方式，其對于失準角的估計精度有所提高，就估計時間而言，3階CKF收斂的時間為345 s，而強跟蹤5階CKF中徑向積分由于采用時矩匹配法解算，相較于采用拉格朗日方程解算的3階CKF算法，其結構復雜，因此，強跟蹤5階CKF濾波在461 s以后開始收斂，有著明顯的滯后。

當系統噪聲信號的統計學特性變為E[wk]=0.2vb,E[vk]=0.3vb，即系統噪聲的統計學特性和速度相關。系統的濾波結果如圖4所示。

從圖4中看出，當系統的噪聲不能看成高斯白噪聲的情況下，由于不符合3階CKF濾波的噪聲假設，使得對于航向失準角的估計不能隨著時間的推移而有所收斂。但是強跟蹤5階CKF濾波，由于引進了將次優漸消因子ηk，從而使得有色噪聲白化，使得最終的濾波效果可以收斂，從而實現最終的對準。

5 結論

針對載體行進間初始對準精度問題，在里程計輔助慣性系行進間精對準的情況下，推導了精對準誤差模型。通過對于強跟蹤5階CKF濾波和3階CKF的結果對比，得出以下結論：

載體采用強跟蹤5階CKF濾波方式估計載體行進間精對準的參數，并且在濾波過程中，針對狀態方程維數高的問題，進行了降維處理。對比3階CKF算法，強跟蹤5階CKF濾波在處理時間上延長了33.4%，但是計算精度上提高了25.2%；并且在非白噪聲的條件下，濾波器保持良好的魯棒性。