臺階路面對車輛力學性能的影響研究

胡善超，李 河，王玉雅，張 偉

(商丘工學院 土木工程學院，河南 商丘 476100)

引言

在車輛行駛過程中，路面條件對車輪及車輛性能具有較大的影響.通常在對輪胎強度、壽命等分析中，把路面看成一個平面.實際上，一些人為設置的臺階路面具有一定的不平整性.當車輛行駛在上面時，輪胎會與臺階發生碰撞，產生碰撞力，不僅會影響乘車人的舒適性，而且磨損車輛輪胎.因此，研究車輛行駛過程中輪胎與臺階之間的動力響應具有重要的意義.

對于路面不平整度引起的動力響應問題，國內外學者進行了大量的研究工作.如Chiu Liu[1]基于黏彈性地基梁模型，分析剛性路面不平整度引起的路面動力響應.Alaswadko N[2]把路面不平整度分解成若干頻帶，通過分析頻帶與車輛對路面動荷載的相關關系，得到了與車輛對路面動荷載最相關的不平整度頻率范圍. Lee D, Chatti K[3]通過車輛對路面動荷載的分析，提出了新的動荷載評價指標.鐘陽[4]、孫璐[5]、陶向華[6]等人利用隨機過程理論得到了路面不平整度的功率譜密度，并以此作為輸入，把車輛簡化為兩自由度體系，分析了行駛車輛作用于路面的隨機動壓力.徐建平[7]把路面不平整度視為正弦函數并建立了一個四自由度的車輛模型，同時考慮了汽車側傾因素，據此計算了車輛對路面的動荷載.

本文通過對路面臺階的幾何分析，考慮車輪在行駛時與臺階發生碰撞，得到碰撞力表達式.利用傅立葉函數，將碰撞過程的瞬時力轉化為連續力.結果不僅清晰地展示了臺階路面角度一定時碰撞力與車速的關系，而且得出不同臺階路面的夾角應采取不同的行駛速度，以減少路面對車輪的傷害，同時也可以減少車輛的能量損失，具有良好的應用前景.

1 車輛與路面的幾何關系

車輛通過臺階路面時受力是一個復雜的過程，為了簡單直接地分析車輪在臺階路面行駛時情況，將車輛行駛過程進行簡化.如圖1所示，車輛在通過臺階路面時，可簡化成輪胎、彈簧、頂板組成的簡易系統.

圖1 車輪在臺階路面運動圖

由于臺階的長度、高低及坡度的不同，導致車輛行駛的運動規律有所差異.因此，在分析其集合關系時需要考慮多種情況.正常的臺階路面導致車輪的運動軌跡如圖2示.

圖2 不同情況下的運動軌跡圖

從圖2中可以看出，當車輪的半徑R為定值，臺階的長度L和高度H不同時，車輪從一個臺階運動到另一個臺階路面會出現不同的結果： 1)2R小于臺階的長度L時，臺階高度H與其長度L為任意比例時車輪運動軌跡為圖2的第二情況； 2)2R大于臺階的長度L時，車輪運動軌跡會出現圖2中兩種運動軌跡.

生活中，為了避免車輛的顛簸，設計的臺階多數使得車輪在其上運動軌跡為圖2中第二種情況.因此本文重點研究圖2中第二種車輪運動軌跡下的車輛受力情況.

2 車輪行駛過程力學分析

2.1 車輪行駛過程接觸分析

車輛勻速通過每一個臺階為一個周期，車輛在和臺階碰撞時，忽略水平摩擦力.碰撞的時間非常短暫(若△t3→0，則根據沖量定理F→∞)，為了所求力的合理性，令△t3=T/10.

車輛通過臺階的過程，事實上在每個周期內并不是勻速的，車輛行駛過程十分復雜，臺階的變化導致車輛外力和內力作用也是變化的.本文為了更好地借助數學模型描述車輛在臺階上的運動狀態，在此將車輛在臺階上的運動狀態簡化.

車輛在臺階上運動可以簡化成如圖3所示的三個過程： 1)t0→t1，△t1.勻加速運動.車輛從碰撞點時刻t0到頂點t1，速度由u1→v1； 2)t1→t2，△t2.定軸轉動.t1時車輪以臺階的頂點為軸作定軸轉動，直到接觸到下一個臺階發生碰撞； 3)t2→t3，△t3.碰撞回彈.車速由v1→u1.

2.2 碰撞下的力學控制方程

車輛的總質量為m，剛性臺階的質量為M(M→∞)，v1為碰撞前速度，u1為碰撞后速度，θ為碰撞前速度與臺階的夾角.

由于碰撞角和臺階路面自身的夾角相關，可得夾角關系為：

(1)

式中：θ為碰撞時速度與臺階的夾角，α為相鄰臺階的夾角.

如圖4所示.

圖4 車輪在臺階上碰撞瞬時圖

臺階的質量M→∞，因此，在碰撞前速度v1與碰撞速度后u1未發生改變，二者皆為0.恢復系數k關系式為式(2).

(2)

因碰撞力沿n-n法線方向，故臺階斜面方向的動量不變，得

mv1cosθ=mu1cosβ

(3)

解聯立方程，求得：

(4)

由此可得車輛碰撞后的速度u1的大小和方向決定于k.

2.3 車輪碰撞力

由圖4可見，碰撞的過程中，水平方向摩擦會產生沖量，由于條件的限制，水平上的動量不發生變化，只有垂直臺階平面的動量發生變化，因此沿著斜面方向并沒有沖量的存在.

車輛碰撞力沿著法線n-n方向，而沿著切線方向的動量不變.根據沖量定理可得：

-FΔt3=mu1sinβ-mv1sinθ

(5)

于是可以求得碰撞力F的大小為：

(6)

3 碰撞力與車輛速度及臺階路面的關系

3.1 碰撞力的傅立葉轉換

車輛所受的力與車輛在臺階上的行駛相關，當車輛與臺階發生碰撞的時候，受到碰撞力的作用產生顛簸.碰撞的時間極其短暫，在一個周期內是可以忽略不計的.

而在實際問題中，系統是受一種非簡諧的周期函數激勵作用，然而只要滿足某些條件，任何周期函數都可以用簡諧的收斂級數來表示.這種由簡諧函數組成的級數稱為傅立葉(Fourier)級數，對應級數就是簡諧激勵作用的響應問題，利用疊加原理，周期激勵的響應則等于各簡諧分量引起響應的總和.

本文中，由于路面不平整導致車輪發生碰撞，從而產生碰撞力.車輛在運動過程中受碰撞力的作用產生振動.周期激勵函數滿足：

F(t)=F(t±jT) (j=1,2,3,…)

(7)

式中T為周期.

將F(t)展開為傅立葉級數：

(8)

式中頻率ω=2π/T為函數F(t)的基頻，基頻的整數倍稱為諧頻，其基本頻率作為第一頻率.上式表明一個復雜的周期激勵函數可以表示為一系列諧頻的多個簡諧函數的疊加.式(8)中的系數a0、aj、bj可由下式確定.

(9)

(10)

式(9)和(10)分別表示函數F(t)中簡諧分量cos(jωt)和sin(jωt)的參與程度，注意到a0/2代表F(t)的平均值.只要定義的aj和bj的積分存在，用傅立葉級數表示函數F(t)總是可能的.如果F(t)不能以函數表示，可以近似模擬計算.

當車輛在臺階上出現碰撞時，雖然碰撞產生的力是瞬時的，但是坐在車上的人所感受到的卻并不是瞬時力，這是因為車上有軸承，而軸承的作用就像一根彈簧.當車輛碰撞那一瞬間，相當于對彈簧產生力的作用，而彈簧需要將這個力傳遞給坐在車上的人.所以人感受到的力為一個變化的函數，通過對感受到的力進行傅立葉(Fourier)變換，可以得到人受到水平和豎直兩個方向力的方程.

水平力經過傅立葉變換，為：

(11)

豎直力經過傅立葉變換，為：

(12)

當車輛發生碰撞時，可將車輛簡化如圖5所示，該模型中車輛在水平和豎直的方向力可以簡化成兩個具有彈性的軸承結構的力FX和Fy，其中簡化的彈性軸承的彈性系數分別為kx=2KN/m，ky=1KN/m.

圖5 車輛模型簡化圖

利用達朗博原理構建如下微分方程：

(13)

在式(13)中bx和by為阻尼系數，又因為本文中考慮的是無阻尼系統，故bx和by為零.由上式(11)和式(12)可知，可將式(13)轉換為一階微分方程組:

(14)

這個方程組是用每個狀態變量的變化率來描述系統狀態的變化規律的.將式(14)改寫成如下矩陣形式：

(15)

3.2 車輛運行仿真

臺階路面角度一定時，產生的碰撞力與車速相關，△t3與車速成反比關系，車速越大，△t3的時間越短.因此，采用沖量定理求碰撞力，碰撞力與速度的關系如圖6.

圖6 豎直碰撞力與速度的變化曲線

從圖6中可以看出，速度為5 m/s時，隨著臺階路面的角度的增加，碰撞力逐漸加大；臺階角度一定時，豎直碰撞力隨著車輛的行駛速度的增加而增大.

4 結語

本文研究了車輛通過臺階路面的受力情況，首先分析了車輪尺寸與臺階尺寸之間的幾何關系；其次分析了車輪與臺階路面碰撞過程的力學關系；最后運用MATLAB對力學關系式進行求解，可以得到以下結論：

1)分析表明，臺階路面的角度和車輛行駛的速度對碰撞力有一定的影響，表現為臺階路面的角度一定時，隨著速度的增大，碰撞力越大，從而碰撞力的水平分力和豎直分力就越大.速度為10 m/s時的豎直碰撞力最大值為速度為5 m/s豎直碰撞力最大值的4倍.因此，在保證能通過臺階路面的情況下，速度要盡可能的小.

2)速度一定時，隨著臺階路面的角度的變化，碰撞力不斷增大.增長速率隨著角度的增大不斷的減小.

3)碰撞的水平分力和豎直分力與臺階路面的夾角有關，臺階路面的夾角越大，水平碰撞力就越大，由于車輛是水平運行的，其碰撞后的加速度是沿著水平方向的，因此，在臺階路面的角度較大時，保持低速行駛，可以減少路面對車輪的傷害，同時也可以減少車輛的能量損失.