具有S-型分布時滯和反應擴散的非自治神經網絡的全局指數穩定性和有界性分析

李 賓 ，龍述君

（1.西華大學理學院，成都610000；2.樂山師范學院數學與信息科學學院，四川樂山614004）

近年來，各種各樣的神經網絡模型得到了廣泛的研究并被成功應用于圖像處理、信號處理、模式分類、模式識別、最優化問題等領域.在神經網絡的實現過程中，時滯現象經常發生，這可能會使系統出現混沌、震蕩和不穩定等現象.因此，在神經網絡系統帶入時滯是有必要的.相關學者對含有時滯的神經網絡進行了深入研究[1-8].通常情況下，既含有離散時滯又含有分布時滯的神經網絡系統不易處理，而在實際應用中，這種情況又不可避免.文獻[9]首次提出了S-型分布時滯，統一了離散時滯和分布時滯，自此，含有S-型分布時滯的神經網絡成為研究熱點[10-16].在神經網絡系統中，當電荷在不對稱的電磁場中運動時，產生的反應擴散效應是不可忽略的.因此，含有反應擴散的神經網絡也得到了廣泛研究[17-19].眾所周知，自治神經網絡模型僅僅是對現實問題的一種簡單表述，而非自治模型能更準確地描述實際問題.目前，對于含有S-型分布時滯和反應擴散的非自治神經網絡的研究較少.本文考慮含有S-型分布時滯和反應擴散的非自治神經網絡的全局指數穩定性和有界性，得到了系統全局指數穩定和有界的充分判定準則，所得結論是目前已有相關判定準則的拓展.

考慮如下具有S-型分布時滯和反應擴散的非自治神經網絡模型

邊界條件和初值條件分別為

1 預備知識

令 N={1，2，3，…，n}， R+=[0，+∞）， Rm×n為 m × n階實矩陣全體構成的集合，En×n（或E）表示n×n階單位矩陣.D+φ（t）表示在 t時刻 φ（t）的右上導數.

對于一個非奇異 M-矩陣 D[1]， 記 ΩM（D）={z∈Rn|表示矩陣 Cn×m和 Dn×m的Hadamard積.L2（R+×Ω）表示 R+×Ω 上所有實Lebesgue可測函數全體構成的集合，且關于范數

構成Banach空間.令

定義如果存在常數λ＞0和M≥1，使得對于系統（1）的任意 2個分別對應初值 φ（t）、φ（t）∈C 的解x（t；t0，φ）、y（t；t0，φ）， 均有

則稱系統（1）是全局指數穩定的.其中

引理設x（t）∈C[R，Rn]滿足如下微分-積分不等式

如果

則 t≥t0時，

其中：λ ＞ 0，z∈ΩM（Π）滿足

且存在常數 r∈（0，k2λ）和 h≥0， 使得對任意 t、v∈[t0，+∞）有

證明由Π是一個M-矩陣，則存在一個正向量z∈ΩM（Π）使得 Πz＞0，即（V+UW）z＜0.由連續性知，存在一個常數λ＞0，使得式（7）成立.

首先證明當 t∈[t0， +∞）時， 有

其中 n（s）=-kλ + θ（s）/k.為此， 首先驗證對任意 ε ＞1，有

假設式（10）不成立， 由式（5）和當 t≥t0時 x（t）的連續性知，存在一個t*＞t0和m∈N，使得

其中 p∈N 且 p≠m.結合式（4）中 U=（upq）n×n≥0 和vpq≥0（p≠q）可得

顯然式（13）與式（11）的第2個不等式矛盾，因而式（10）成立.在式（10）中，令 ε→1+，則有式（9）成立.

結合式（8）和式（9）可得

證畢.

注1在引理中，當n=1時，令w11=1，T=0，ω11（t）≡0，γ11（t）≡0，t≥t0，則通過簡單推證可得文獻[10]的引理2.

注2在引理中， 若 wpq=1（p、q∈N），ω（t）≡ 0，γ（t）≡ 0， t≥t0， 則通過簡單推證可得文獻[19]的引理5（b=k（1，1，…，1）T，k∈R）.

2 主要結果

對系統（1）做如下假設：

（A1）對任意p、q∈N，ap（t）＞0，bpq（t）、cpq（t）、Ip（t）為定義在[t0，+∞）上的有界連續函數.

（A2）對任意q∈N，存在正常數lq和kq，使得

（A3）在區間[t0，+∞）上，存在非負可積矩陣函數， 使得

（A4）集合非空， 存在正向量和常數滿足

（A5）存在常數， 使得

其中

定理1設條件（A1）～（A5）成立， 則系統（1）是全局指數穩定的且指數收斂率不小于

證明設u（t，x）=（u1（t，x），u2（t，x），…，un（t，x））T、v（t，x）=（v1（t，x），v2（t，x），…，vn（t，x））T是系統（1）的2個分別滿足初值的解，則

令ep（t，x）=up（t，x）-vp（t，x）（p∈N），可得

對式（18）兩邊同時左乘ep（t，x）并在Ω上對x積分，得到

由式（2），得到

結合式（19）和式（20）、條件（A2）及 Cauchy-Schwarz不等式，得到

結合式（21）和條件（A3）有

由式（23）和式（24），并在引理中令T=0，得到

由式（17）和式（25）得到

注3若系統（1）是自治系統，即ap（t）≡ap＞0，bpq（t）≡bpq，cpq（t）≡cpq，Ip（t）≡Ip，由條件（A2）可推出自治系統存在唯一的平衡點，通過簡單推證可得文獻[17]的Theorem1.

定理2設條件（A1）～（A5）成立， 則系統（1）的所有解都是有界的.

證明設u（t，x）=（u1（t，x），u2（t，x），…，un（t，x））T是系統（1）的滿足初始條件的解， 則

在式（27）兩邊左乘up（t，x）并積分，得到

用與式（20）類似的推導方法可得

結合式（28）和式（29），條件（A2）及 Cauchy-Schwarz不等式，得到

由式（30）、條件（A1）和條件（A3）， 有

利用向量放縮得

由式（17）、式（32）、式（33）和引理可得

3 算例與數值仿真

例考慮模型（1）具有如下系數

進而得到

通過簡單計算得

由文獻[20]得

特別地，當m∈N時，令

圖1 ‖u（t） -v（t）‖L2的衰減曲線Fig.1 Attenuation curve of‖u（t）-v（t）‖L2

圖2 u1（t）和x的狀態曲線Fig.2State trajectory of u1（t）and x

圖3 u1（t）和u2（t）的狀態曲線Fig.3State trajectory of u1（t）and u2（t）

圖4 u1（t）對應的圖形Fig.4Curve of u1（t）

圖5 u2（t）對應的圖形Fig.5Curve of u2（t）

而在算例系統中， 令 d=（1，1）T， 得到

圖6 J1（t）和J2（t）的圖像Fig.6Curves of J1（t）and J2（t）

由圖6知，J1（t）＜0，J2（t）＜0均不成立，因此，文獻[21-22]的判別準則對本文系統是失效的.