基于第三類Chebyshev節點組的Hermite插值

張 靜，黃 蓉，許貴橋，王彩華

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

在平均框架下研究函數類的逼近問題是函數逼近論研究的熱點.過去研究的大部分函數類是具有有限光滑性的函數空間，近些年許多學者開始研究具有無限光滑性乃至解析函數類上的問題，如文獻[1-10].在討論這些問題時，最常見的方法是多項式插值方法，而在以上研究中，誤差分析都是針對光滑函數的，相應于解析函數的討論大多僅針對Lagrange插值，如文獻[11-13].本文討論基于第三類Chebyshev節點組的Hermite插值對一種解析函數類的逼近問題，得到了相應量的強漸近階或其值.

1 預備知識

設n為非負整數，將定義在[-1，1]上的n階連續可導函數的全體記為Cn[-1，1]，特別地，當n=0時，將[-1，1]上的連續函數的全體記為C[-1，1].

為函數 f在[-1，1]上的 Lp范數.

函數類An是[-1，1]上的解析函數的一個子集，定義如下：

An={f∈Cn[-1，1]：‖f(n)‖≤1，n=1，2，…}

n次第三類Chebyshev多項式[14]為

其中Vn（x）的零點為

當θ=π時，

對任意 f∈C[-1，1]，根據文獻[15]，計算可得基于上述節點組{xk}nk=1的Hermite插值多項式為

其中

基函數lk（x）是n-1次多項式，因而插值函數Hn（f，x）是2n-1次多項式.

引理[15]若f∈A2n，Hn（f，x）由式（2）給出，則對任意 x∈[-1，1]， 存在 ξ∈[-1，1]， 使得

2 Hn在最大范數下的逼近誤差

定理1設f∈A2n，Hn（f，x）由式（2）給出，則對任意 x∈[-1，1]， 有

且式（4）的估計是精確的.

證明由文獻[13]知

且Vn（x）=2nωn（x）.由引理有

于是有

利用數學歸納法可證得

而當θ=π時，Vn（x）=（-1）n（2n+1），從而可知|Vn（x）|的最大值為2n+1，代入式（6）可得式（4）成立.

此時，式（4）中等號成立，從而此估計式是精確的，定理1得證.

在最大范數下，因為

再由定理1可得如下推論成立.

推論設Hn（f，x）由式（2）給出，則有

3 Hn在Lp范數下的逼近誤差

定理2設Hn（f，x）由式（2）給出，則有

證明由式（6），當 f∈A2n時，有‖f(2n)‖≤1，且有

于是得

從而可知

下面計算‖Vn2‖p.令

分2種情況討論.

（1）當 p=1時.對于 k1有

其中

由等價無窮小知

又因為|sin2m|≤|m|， 故有

并且

于是有

從而

所以

由上式和式（10）可得

所以當p=1時，

（2）當p＞1時.對于k1有

其中

根據 C2，p的定義， 因為

另一方面，

其中

因為

故存在常數 C4，使得|v（t）|≤C4， 所以有

由范數性質可知

則

所以

對于k2有

所以

因此

則p＞1時，

綜上，由式（9）、式（11）和式（16），定理2得證.

4 數值實驗

表1 例1的Hn在最大范數、L1范數和L2范數下的逼近誤差Tab.1 Approximate errors of Hnunder maximum norm，L1norm and L2norm of example 1

表2 例2的Hn在最大范數下的逼近誤差Tab.2 Approximate errors of Hnunder maximum norm of example 2