淺談如何在數學教學中運用整體思維解決問題

摘 要：整體思維活躍在中學數學的各個知識點中，作為中學數學思維的一個重要分支，整體思維有著不可替代的地位。本文就整體思維在中學數學中的一系列表現，如：整體代入、整體聯想、整體改造、局部整體、整體構造、整體補形等。突出在中學數學學習中整體思維的重要性，并對其進行了簡單的探討。

關鍵詞：整體思維；中學數學；表現

在整個中學數學的學習中，學生會接觸到很多的數學思維，而整體思維就是其中的一種。通過整體思維的學習，學生不僅可以發現數學解題方法的奧妙，也可以發現數學的簡潔美；在日常生活中，整體思維的學習也讓學生學會從整體，從全局著手處理問題，不能只看到問題的局部。因此，研究整體思維在中學數學中的應用，顯得極其重要。

整體思維的定義

整體思維在辯證法中，又叫作系統思維，它認為事物是由各個局部按照一定的秩序組織起來的整體，在解決問題時人們應該持有整體或者全面的觀點，不能以偏概全。

整體思維的主要表現形式有：整體代入、整體聯想、整體構造、整體構形、整體替換等等。

一、 整體代入

整體代入是指：在解決問題時，將題目中的已知條件或者一些式子的組合看作一個“整體”，并把這個“整體”直接代入其他式子，從而方便解題，避免運算的繁瑣和困難。

例1：若3a2-a-1=0，則7+2a-6a2=

分析：仔細觀察兩個等式，若要從已知條件求出a的值，雖然可以，但會有點煩，而細心的同學可以發現，如果把3a2-a看作一個整體，再乘-2，就可以得到-6a2+2a=-2，再整體代入所求式子就可以得出答案。如果在解題時能善于從全題考慮，發現其中的聯系運用整體思維就能大大地節約時間。

二、 整體聯想

整體聯想是指，在解題時尋求不同知識體系的內在聯系，從分析問題的整體結構出發，充分挖掘題目中的隱藏條件，從而使問題的解決變得簡單。

例2：已知a，b為兩個不相等的實數，2a2=5-2a，2b2=5-2b，求ba2+ab2。

分析：依據常規，學生習慣于先求出a，b，但如果這樣解一個方程組，我們就需要分成四種情況去討論，運算會非常得繁瑣，而且容易出錯。但如果我們能以整體的思維，整體聯想，從已知條件，我們可以發現a與b是方程2x2+2x-5=0的兩個不相等的根，由此我們可以整體聯想到韋達定理根與系數的關系，再看我們所要求的式子本身的特點，即ba2+ab2可以改寫為：b3+a3（ab）2=（a+b）3-3ab（a+b）（ab）2，這樣我們就只需求出a+b與ab，從而所求問題可以迎刃而解。

三、 整體構造

整體構造是指：在解決問題時，對題目中的某個式子進行整體構造或者改造得到另一個式子，然后通過構造后的式子去解決問題。

例3：已知：tanα-β2=12，tanβ-α2=-13。求tan（α+β）。

分析：已知條件給了我們關于α，β，α2，β2的關系式，可結論要我們求的卻是：（α+β），所以我們要從整體考慮，用構造的方法來求解。把已知和未知相聯系，從而求解。

整體構造在高中數學中可以說是經常用到，如果能很好的掌握這種方法，并且熟練運用到實際練習中，可以大大拓寬學生的思維，提高學生的解題能力。

四、 整體構形

整體構形是指：在解決問題時，我們從代數的角度無法求解，可以整體思考，通過構造圖形，進而解決所求問題。

例4：已知在三棱錐P-ABC中，PA=BC=234，PB=AC=10，PC=AB=241，則三棱錐P-ABC的體積為多少？分析：若按常規方法利用體積公式求解，三棱錐的底面積可用公式求出，但頂點到底面的高在這道題目中無法作出，也就沒有辦法求出解。但此題如果能換個角度來思考，從整體入手，注意到條件中三棱錐的有三對邊兩兩相等，可以進行整體補形，想象若把它放在一個特定的長方體中，那么這個問題就不難解決。

五、 整體替換

整體替換是指：在解決數學問題時，我們可以將題目中某個式子或者部分，用其他形式來表示，替換掉原來的式子，從而讓題目看起來簡單明了。

例5：求：y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域。

分析：此題如果直接去看這個式子，因為沒有給出定義域，沒有范圍，會不知道怎么去求解。但如果我們能把原式中的式子看作一個整體，即：令sinx+cosx=t，t∈（-2，2），把后一個式子sinx·cosx也用t替換表示。那就可以求出所要求的解析式值域了。

解：令sinx+cosx=t，t∈（-2，2），則：sinx·cosx=t2-12。

∴y=1+t+t2-12=t22+t+12=12（t+1）2。又∵t∈（-2，2），∴ymin=0，ymax=32+2，∴y的值域為：0，32+2。

這種方法在高一函數中運用較多，運用替代換原的方法可以把看上去比較繁瑣的問題變得簡單化，從而可以整體思考解決問題。

在中學數學的學習中，必須加強對學生整體思維的培養，這樣不僅可以幫助學生解決數學題目，更能夠培養學生在生活中，樹立整體的思維，用全面的、辯證的眼光去看待和解決問題。因此，加強整體思維的培養，在中學數學教學中是極其重要的。

參考文獻：

[1]李俠.寓整體思維于高中數學教學中[J].數學教學通訊：教師閱讀，2010（6）：25-26.

[2]周學祁.整體方法（中學數學思維方法叢書）[M].河南：大象出版社，1999：17-29.

[3]薛玉皎.中學數學整體思想的應用及解題策略分析[J].中學課程輔導：教學研究，2010（17）：6-7.

作者簡介：

陸超群，江蘇省蘇州市，平望中學。