“列方程解決問題”教學難點突破策略
2019-03-20 01:37:38沙曉霞
教學月刊·小學數學 2019年2期
沙曉霞
【摘? ?要】對于人教版教材五年級上冊《簡易方程》單元中“實際問題與方程”板塊的學習，學生或多或少有一種抵觸心理。究其原因可以發現，該板塊教學過程中存在數量關系難找、未知量難感知、方程優勢難體現等教學難點。如果能突破這些難點，就可以正面化解學生對方程的“排斥”。對此，教師在教學中可以通過豐富學生尋找等量關系列方程的方法、提升學生對條件中未知量的敏感程度、增強學生列方程解決問題的實踐經驗等舉措，拉近方程和學生之間的距離。
【關鍵詞】方程意識;等量關系;未知量;難點突破
人教版教材五年級上冊《簡易方程》單元的“實際問題與方程”板塊中有這樣一道例題：
我們發現，絕大多數學生毫不猶豫地選擇算術方法進行解決。而在使用算術方法解決的過程中，有超過一半的學生給出錯誤的回答。其實該類型的題目，采用方程解決既順應問題的思路，也保證解題結果的正確性，卻鮮有人問津。
對此，教師可能會有疑惑：學生為什么不喜歡使用方程解決問題？將《簡易方程》單元中“實際問題與方程”板塊的教學難點進行梳理，主要有以下幾方面。
難點一：等量關系難以尋找
學生缺少尋找等量關系的方法，找不準關系更不用說列出方程了。
難點二：未知的量難以把握
學生對設哪個量為未知數沒有把握，尤其是有兩個或以上的未知量時。
難點三：方程優勢難以體現
練習時就題論題不夠系統，學生體會不到列方程解決問題的優勢所在。
那么，如何破解“實際問題與方程”板塊在實際教學過程中所遇到的難點？我們對此進行了探究。
一、授之以漁，豐富學生尋找等量關系列方程的方法
列方程解決問題的教學難點之一是尋找等量關系，這也是能否列出方程的關鍵所在。學生方程意識的薄弱，對列方程方法的排斥，很大一部分原因是找不準條件當中的等量關系。在教學中，我們要為學生打開思路，教給學生尋找等量關系的辦法。
（一）關鍵句中藏有玄機
學生對信息的理解源自文本，因此從文本直接入手，細讀精讀后借助“畫、圈、注”等方式進行輔助理解，就能找到等量關系。
讀題時要特別留意描述兩個事物之間關系的語句，通常這些就是關鍵句。如果不確定可再多讀幾遍，因為有些題目的關系是隱含的，甚至有可能在語言的表達上是不完整的。學生讀完文本，將表示兩個量之間關系的關鍵句畫出。
例：白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊。共有多少塊黑色皮？ （書本例題）? ? 關鍵句
長江是我國第一長河，長6299千米，比黃河長835千米。黃河長多少千米？（書本習題）? 關鍵句
每平方米闊葉林每天制造75克氧氣，是每平方米草地每天制造氧氣的5倍。? ?關鍵句
每平方米草地每天能制造多少克氧氣？（書本習題）
接下來對關鍵句進行分析。圈出不同的量，并對文本進行數學符號的翻譯，也就是將關鍵文字用運算符號進行標注，讓等量關系得以呈現。
這樣一來給了學生一根表述事件的“拐杖”和一個支點，逐步習慣順向思維，強化“事件表述等量關系”，淡化求未知量的值，且與之前“用字母表示數量——代數式”的教學產生正遷移。通過引導，學生自覺把未知量參與表達或運算，迅速并正確地找到等量關系。
（二）“講故事”里異曲同工
史寧中教授曾經提到如何理解方程的定義問題，他說：“雖然教科書中定義為‘含有未知數的等式，但應當知道方程的本質是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數量相等。”
史寧中教授的話形象地講出了方程的本質特點，從“不同的角度”表述“同一個量”時，就能形成等量關系。相對于抓整體結構，找出關鍵句，這兩者其實是可以互相轉化的，轉化的過程就是在尋找等量關系，通過方程的本質意義帶給學生更深的建構。
例：人教版教材五年級上冊《實際問題與方程》例3。
這類問題并沒有關鍵句可以尋找，可以借助“講故事”的方式引導學生抓整體關系，找出等量關系 ，列出相應的方程。
對總價的表述可以是10.4元，也可以是蘋果總價+梨總價，或者是（蘋果單價+梨單價）×數量，那么就有：
當學生列出這樣的方程：2x=10.4-2.8×2，請學生判斷是否正確？學生遲疑了一下，然后非常肯定是正確的，因為學生分析出代數式的意義，“左右兩邊都講述了蘋果的總價”。
以這樣的等量關系所建構的方程，自然正確。接下來的小組討論中，學生思維得到了充分發散，列出了以“梨的總價”為故事主體、“蘋果單價+梨的單價”為故事主體的不同角度的等量關系的方程。
1千克蘋果和1千克梨的單價
通過這樣的拓展，讓學生充分體驗到“從兩個不同角度表示同一個量”，體驗了找等量關系的另一種方法，讓思維變得更靈活和深入。這更像是一種開放教學，落點不在題目，而在于一種思維方式。學生可以體會到從不同角度思考問題就會得到不同的方程，甚至多中擇優，分辨哪種思路更好，實現用方程解題的多樣性和優化。
（三）應用公式對號入座
在課堂教學中，我們應當關注對基本數量關系的積累。比如部總關系、行程問題、工程問題。同時，對于一些計算公式也應掌握，比如求周長、面積、體積等。在列方程解決問題時如果遇到相同問題背景，學生就可以借助已有的數量關系進行重組。以不變應萬變，體驗用方程解題的優越性。
[基本數量關系或計算公式? →? 得到等量關系][代入]
圖3? ?利用公式得到等量關系示意圖
例：人教版教材五年級上冊《實際問題與方程》例5。
這是一道非常典型的相遇問題，學生已具有學習經驗，知道相遇問題的基本數量關系是速度和×相遇時間=相遇路程。我們只要對這個基本數量關系進行代入就可以得到方程。
速度和×相遇時間=相遇路程
↓? ? ? ? ? ? ? ? ? ↓? ? ? ? ↓
（小林速度+小云速度）×相遇時間=小林家和小云家的距離
↓? ? ? ? ? ? ? ? ? ↓? ? ? ? ↓
（250+200）× x =4500
教學中，只要牢牢抓住“速度和×相遇時間=相遇路程”這一組基本數量關系，“以不變應萬變”，根據題目給出的數據對基本數量關系進行補充和完善，由公式或者基本數量關系做等量關系的基礎，對號入座從而列出方程。
二、對比嘗試， 提升學生對條件中未知量的敏感程度
列方程解決問題在教學過程中的難點之二就是學生對未知量的感知能力較弱。在教學中，我們可以采取對比嘗試等一系列方法，提升學生對未知量的敏感程度。
（一）正反對比感悟便捷
小學階段，學生列方程解決實際問題時通常“問題求什么就設什么為x”。但有些實際問題中有兩個或以上的未知數，這時就需要選擇最為合適的未知量來設未知數，在解方程時體現便捷性。
例：人教版教材五年級上冊《實際問題與方程》例4。
例題呈現中設陸地面積為x億平方千米，那么海洋面積為2.4x億平方千米。
我們應引導學生思考，既然陸地面積和海洋面積都是未知量，為什么要設陸地面積為x呢？
借助線段圖表示題意：
學生經過思考：“陸地面積小，是一份。設未知數的時候，設陸地面積為x億平方千米，這樣海洋面積可以表示為2.4x。”
學生列出方程：x+2.4x=5.1。
教師追問：如果設海洋面積為x億平方千米，可不可以？
學生也列出方程“x+x÷2.4=5.1”，但是發現計算非常麻煩。
學生會感受到，當題目中出現兩個或兩個以上的未知量，并且這幾個量之間呈現出相差關系、倍數關系等，把一倍數或者較小數設為x，不論在解題思路上，還是方程表達上，抑或是方程計算上都是最為方便的。
（二）橫向對比發現坦途
有些題目中，可以找出多組不同的數量關系。由于數量關系表達形式的不同，學生列出的方程也會“五花八門”。雖說從意義上解釋也許都能說通，但在解答過程中卻出現了難以下手的情況。
例：雞和兔的數量相同，兩種動物的腿加起來共有48條。雞和兔各有多少只？
在這道題目里面學生可以找到以下幾種數量關系并相應列出方程：
[解：設雞有x只，兔有x只 數量關系 列出方程 雞的腿+兔的腿=48 2x+4=48 雞的腿=48-兔的腿 2x=48-4x 48-雞的腿=兔的腿 48-2x=4x ]
雖然數量關系都成立，方程也都正確，但在解題的過程中還是產生了容易解和不容易解的對比。經過學生的橫向對比，顯然，2x+4x=48這樣的方程在解答過程中更具優勢。
由此可見，在列方程解決實際問題的過程中，順應題目語言表述的數量關系是最為適合列方程的，思路也更為順暢。
三、形式多樣，增強學生列方程解決問題的實踐能力
列方程解決問題在教學中的難點之三是學生的練習不成體系。在學生掌握基本步驟和方法之后，教師應提供形式多樣的練習，使學生有針對性地提升技能和技巧。熟能生巧，巧能生慧，讓學生對列方程解決實際問題得心應手。
（一）變式練習中觸類旁通
在問題情境中，對條件的呈現方式不斷變化和調整，以變式題組的形式出現。這樣，學生在變與不變中靈活運用所學知識，在技能提升的同時也促進方程運用意識的敏感程度。
例：童聲合唱團共有60人。
（1）女生是男生的3倍，男生有多少人？
（2）女生是男生的3倍，女生有多少人？
相同的條件，不同的問題，其目的在于打破學生看問題設未知數的定勢思維。在分析數量關系后，我們很容易發現，將男生的量設為未知數最為合適。
又例如：180人組團去A市旅游。
（1）成年女性是兒童人數的2倍，成年男性是兒童人數的3倍，成年女性有幾人？
（2）成年女性是兒童人數的2倍，成年男性比成年女性多30人，成年男性有多少人？
當未知量在兩個以上時，若想用算式方法解答，思路就不容易厘清了。此刻用方程解題則展現了優越性，抓住最小量即將兒童人數設為x，根據信息用代數式分別表示出成年女性、成年男性的人數，即可列出方程。由此觸類旁通，使學生感受列方程解決問題時順向思維的便捷。
（二）豐富解方程的技能訓練
在列方程解決問題過程中，由于解方程方法的不熟練，最終導致解題失敗的現象也時有發生，這對學生來說也是一種負影響。
教材中，解方程的基本策略是“等式的基本性質”。但由于其抽象性，部分學生在解諸如“60-x=24”“80÷x=2.5”此類方程時，非常容易出錯。在列方程解決問題的實際操作時，由于學生提煉的等量關系未必統一，所列方程就會更加復雜。使得部分學生望方程而興嘆，列出了方程卻解不出方程的現象也就由此而生了。
因此在教學中，在學生應用等式性質解方程的基礎上，同時應補充四則運算各部分之間的關系等解方程的方法。只有學生掌握更多技能，更容易解出方程，才能帶來更多成功的體驗，有利于增強列方程解決實際問題的實踐經驗。
方程，是學生從算術思維走向代數思維的一座橋梁，也許在學習過程中始終有一些學生對方程比較抵觸。作為教師我們應幫助學生突破學習障礙，不斷讓學生感知列方程解決問題的便捷，體驗成功，感受到方程的魅力。
（浙江省杭州市星洲小學? ?310000）
