把握數學本質促進有效建模

林迎陶

摘 要：簡便計算是學生需要掌握的一項基本計算技能，而乘法分配律又是小學階段學生比較難理解與敘述的簡便運算定律，因此在簡便計算的教學中應該增強他們的對比辨析、從整體把握簡算知識結構的能力，幫助他們有效建模，以提升簡便運算能力。

關鍵詞：有效建模；乘法分配律；簡算意識

一、乘法分配律簡便計算錯誤成因剖析

為了了解學生的錯誤原因，本文對福建省泉州市鯉城區實驗小學四年1班60名學生展開了一次運用乘法分配律簡便計算的專項調查。經過整理，我發現學生典型錯誤主要有：①35×201=35×（200+1）；②125×25×32=125×8+25×4；③12×97+3=12×（97+3）；④8×（125+9）=8×125+9；⑤35×201=35×200+1；⑥13×55+55×87=715+4785。造成以上錯誤有多種因素，但經過分析，總的來說可以分成教材、教師、學生三個因素。

（一）教材因素

教材的設置生活味很濃，但貼瓷磚對學生來說比較不熟悉，學生對不熟悉的事物難以理解也造成了學習乘法分配律的困難。此外數字的小化處理雖然節約了計算的時間，然而也正是因為數字太小，學生可以直接口算得出結果，因而學生喪失了探究的強烈動機。同時，較小的數量無法顯示出乘法分配律的計算優勢，因此造成學生后續學習效果欠佳。而且第七冊就開始學習乘法分配律顯得比較早（人教版、蘇教版都安排在第八冊），在學生未接觸運算規律的學習及運用時過早地引入乘法分配律比較突兀。而且乘法分配律是具有中高難度的運算定律，根據對初高中學生的反饋，在乘法分配律這一塊學生一直難以真正地掌握計算規律，造成以后在學習數學中遇到此類問題時容易出錯，因此學生不易掌握知識模型。

（二）教師因素

絕大多數教師在進行乘法分配律教學工作的過程中均高度重視算式外在形式的部分，反而忽略了算理的介紹，這樣造成的后果就是學生記不住乘法分配律的基本法則，更難以運用其進行簡便計算。學生更偏向于死記硬背，并未掌握實際內涵，時間稍長，就會出現知識鏈斷裂的現象，即便大量做題，也無法真正掌握技巧。因為大量做題應該是在熟悉基礎知識后的鞏固練習，在對基本知識不熟的情況下進行的練習產生了錯誤的印象反而難以去除。此外，教師為了幫助學生更快掌握乘法分配律的技巧，會加大練習題的數量，而練習題往往千篇一律、缺乏創新，這就使得學生感到學習乏味，降低了學習效率。乘法分配律的基本應用只有兩個數相乘換算成兩組數相乘再相加，或是兩組數相乘再相加換算成兩個數相乘，教師出大量的習題反而會增加學生的畏難情緒。

（三）學生因素

第一，心理因素：對于中高年級的學生來說，他們具有較強的自尊心，不僅不會高度重視自身心理或者是行為方面的不足，反而會下意識地予以掩飾。若無法學好數學，在題目無法解答時其往往會避重就輕，故意忽視問題。第二，認知因素：學生通常并未真正累積大量感性。乘法分配律對學生來說是新鮮的事物，之前并不具備相應的經驗以及感性。盡管學生在學習筆算乘法（如兩位數乘一位數、三位數乘一位數等）的過程中有接觸到乘法分配律，然而當時并未予以高度重視，純粹是自我感受，并未掌握清晰的算理，在教學過程中通常只是初步了解規律，其實沒有對所學知識予以內化。第三，思維因素：學生經常對題目運算已經形成思維定式，課上學什么就做什么作業，在沒有理解題目后就運用相同的方法計算，這很容易造成學生沒有牢固掌握乘法分配律的方法后與其他知識相互干擾的情況。

二、提高乘法分配律簡便計算的有效教學對策

只有知道自己的問題才可以真正解決問題。在上述因素研究之后，本人的觀點是，必須加深學生對“數學本質”的理解。因此，本人認為應當從以下三個方面入手促使學生進行建模。

前伸階段——全面掌握，重視前期滲透；中實階段——認識實質，推動意義建構；后延階段——向外拓展，增強簡算意識。

（一）系統把握，提前滲透

在乘法分配率學習過程中教師應當切合實際，必須高度重視學生已經掌握的知識，明確其生長點，憑借適應與同化，創建相應的認知結構。而學生已經掌握的知識與其生長點又是哪些？如何創建全新知識結構？

對于學生而言，其已經掌握的知識便是幾個幾就是幾個幾再加上幾個幾的和，或者是幾個幾減去幾個幾的差。由于低年級學生在開始學習乘法數理之后，在之后的教學內容中均會有所提及。

1.全面了解乘法算式的實際內涵

在《7的乘法口訣》內的習題之中出現如圖1所示的題目：

在教學這一題目時，我們不單純為了計算而完成計算，必須盡可能反映練習題的多方面價值。若是學生計算出：“7×8=7×6+7×2”時，可以繼續追問：你是怎么想的？學生明白6個7加2個7，就等于8個7，所以可以用“7×8=7×6+7×2”，接著教師再問：除了這種方法，我們還可以怎樣表示呢？學生答“7×8=7×5+7×3”等。這實際上便是掌握乘法分配律的重要方式。若是在做該類習題的過程中，教師可以讓所有學生均明確乘法的真正意義，則有利于其日后真正了解并掌握乘法分配律。

2.借助整數加減法提前滲透

例如，第四冊教材中第43頁，“整百數相加”——《買電器》，如圖2所示。

“500+800”即可理解為“5個一百和8個一百合起來是13個一百”。如果把這個思維過程用乘法分配律寫出來就是“5×100+8×100=（5+8）×100”。通過這種方式，教師可以把無意識滲透提升到有意識滲透，使學生對乘法分配律的內涵理解得更為透徹。

在平時教學中，如果教師能真正了解教材的實際意義，全面掌握教材的內容，在對低年級學生進行教學的過程中便融入乘法分配率的有關數理，這既能整理、概括乘法分配律打好基礎，也能幫助學生在進入高年級后更快掌握乘法分配律的方法。

（二）立足本質，促進意義建構

在當代數學觀的重點內容之中有如下介紹：在數學教學過程中應當致力于協助學生創建應用、研究與賞析、建構等各類模式的具體能力，換而言之，即必須通過簡單的方式以及實質的內容對學生所掌握的有關知識進行建模。乘法分配律也是一樣，應將實質當作切入點，給學生并不陌生的各類問題創建適宜的情境，促使學生可以在實際教學過程中自己領悟、探索、檢驗、歸納、總結，最后創建相應模型，給學生創建科學合理的“首因效應”。

1.精選問題情境，為自主建模提供支點

學生在明確計算方法時，主要還是憑借在日常生活中所積累的經驗以及自身感悟，而且學生在建模的過程中要接觸多側面、多層次的豐富的現實問題原型。在乘法分配律教學時，可將“貼瓷磚”改為“買衣服”，購物情境更貼近學生的生活實際，讓學生在熟悉的情境中，利用已有的生活經驗、知識，探索數學和日常生活過程中的相似之處，由此便能真正解決數學學習過程中所出現的抽象性以及學生自身所具備的形象性間的不匹配的問題。

新授中，可出示例題：天氣逐漸變涼，王叔叔前往批發市場采購衣物，其挑選了一件外套與一條褲子，其中外套價格為63元/件，褲子的價格則是37元/條，試問他要購入8套，總計多少錢？你能通過什么方法解答？學生列出63×8+37×8、（63+37）×8兩種算式后，教師在要求學生對上述兩個答題方式展開對比研究，除了應當明確上述兩個方法均是正確的，也都可以使用，還應當讓學生發現這套衣服的價格正好是100，若是將其先相加之后再相乘時則更加利于計算，并能掌握更為簡便的答題方式。

2.注重意義感悟，為自主建模打下基礎

在學生得出63×8+37×8=（63+37）×8后，我們不能僅單純地由計算層面入手去探索同時予以檢驗，還應當乘機詢問“若是不通過計算，能不能通過之前掌握的理論來予以闡述這兩個方法相等的原因”，隨后便運用數形有機融合的方式來促使學生按照乘法的真正意義來對上述問題進行分析。如可以呈現下面的情境：

小區有一個長方形花圃，原來長63米，寬8米，由于要擴大綠化面積，長增加37米，如圖3所示。求擴建后的花圃面積，在數形圖的幫助下明白8個63+8個37=8個100（63+37）的道理。在之后的學習之中，還應當不斷強化該類情境，并且讓學生可以根據算式去自由構想相應的情境，通過自主思考明確算式的實質意義。

3.逐步抽象概括，為自主建構搭建模型

依據前文分析，能具有橫向對比、逐步符號以及新舊比較等三個層次的抽象過程，讓學生在建模過程中對數學思想

方法進行提煉與感悟，增加建模的厚度，催化建模的理性提升。先將“8套”改成“20套”橫向比較抽象，再將“20套”改成“c套”，“63元”則轉變為“a元”，而“37元”則轉變為“b元”，這便是不再具有相應數值的抽象，開始朝符號抽象的方向發展，由此來讓學生加深對乘法分配律實質的理解，同時獲取與之對應的字母表達方式；最后再引導學生進行新舊知識對比，相互交流長方形周長公式以及路程計算公式等所有理論與實踐之間的關聯性，進一步加強對乘法分配律特征的認識，完善關于運算定律的認知結構，這樣乘法分配律模型的建構在以上三次抽象中自然就水到渠成了。

（三）后期延伸，提高簡算意識

1.理解為本，強化對比性

乘法分配律對學生來說是一個比較難解的運算定律，且又容易與其他的定律混淆，再加上它的應用豐富多變，學生必然會有霧里看花的感覺，經常出現錯誤。因此，在初始學習階段，教師一定要注重“悟”，不能“灌”，引導學生真正理解其意義本源，尋找這些特例與運算定律之間的內在聯系，讓學生從“形式”過渡到“內涵”，深入知識“心臟”，組建全新認知框架。比如，在簡化計算99×38以及27×301的過程中，教師應該充分發揮出其引導作用，讓學生做出比較研究，99×38所代表的是99個38相加所得的值，那么可以率先計算100個38相加得到的值為3800，再減去38，得出的值便是3762；而27×301則是301個27相加，可以率先得出300個27相加的值為8100，隨后再加上27，得到的值為8127。如此一來，不僅能對算式意義進行準確劃分，同時也可以從實質入手，在計算和乘法分配率之間創建內在關聯性。為了提高學生對乘法分配律的興趣，教師可以事先出一套計算卷子，題型全部為可分解應用乘法分配律的相關題。學生可以采用乘法分配律計算，也可以不采用乘法分配律計算，但一定要在規定的時間交卷，這樣通過對比學生完成的題目數量以及正確律，讓學生確實感受到乘法分配律的簡便，增強學生的求知欲。

2.指導學法，拓展變式題

在學生掌握整數運算的前提下，便可以延伸至分數和小數計算來拓展學生的知識面，此時學生可能會覺得難度過大，產生排斥心理。因此，教師不僅應當不斷強化算理實質的闡述，同時還應當不斷強化學習方法的引導，培養學生舉一反三的能力，提高他們對數字的敏感性。

針對一部分學生在對小數進行拆分的過程中會產生大小發生變化的情況，教師必須要求其在拆分環節進行檢查，確定其是否正確。比如，針對9.9×3.4=（10-0.1）×3.4，則需要學生檢驗9.9拆分成（10-0.1）是否正確。而針對b+b×99時，學生在精算計算時也可以將b當作b×1，并把 b×1標在上面，也就是可以看成b×1+b×99，如此便能讓學生明確拆分結構，并計算得出正確的答案。還有9.3÷0.25-5.3×4=9.3×4-5.3×4=（9.3-5.3）×4=4×4=16，3.6×7.3+0.64×73=3.6×7.3+6.4×7.3=（3.6+6.4）×2.3=

10×7.3=73。此時教師便應該讓學生掌握小數各類運算的規律和各類變形技巧，以此來實現乘法分配律的具體結構特征的把握。教師在講解并帶領學生練習了一段乘法分配律后引導學生總結乘法分配律的基本法則，培養學生的歸納總結能力。在這一過程中教師可以提出幾個問題讓學生按照問題的思路來總結：乘法分配律通常將什么樣的數進行拆分（接近于整數的數）？乘法分配律涉及哪幾種運算（乘法、加法、減法）？乘法分配律分配兩個字怎么理解（分別相乘再相加或減）？怎樣用圖形或字母表示乘法分配律（□×（△+☆）=△×□+☆×□，a（b+c）=ab+ac）。

3.優化算法，培養靈活性

絕大多數學生僅僅在標注了“簡便運算”這四個字時才知道需要運用簡算方法，這也跟上文分析的思維定式相關。面對該情況，在做練習題的過程中，教師應當引導學生在涉及相關計算時，無論是否要求進行“簡便運算”，均應當具有簡算這一理念，挑選適宜簡化的計算方式，有效提升自身效率與準確率。比如，三年級2個班回收廢紙，1班回收了53千克，2班回收了47千克。如果每千克廢紙值6角，一共可以賣多少元？設計這樣的練習，讓學生意識到，簡算絕非單純計算題可以運用，應當針對所有涉及計算的方面均具備簡算思想，尤其是在處理日常生活問題的過程中。此外，教師在教學過程中，需要同時呈現可以使用和不能使用乘法分配律的習題，增加練習難度，讓學生明辨不同，加深他們的體驗和認知。

4.集中易錯題，強化練習

教師可以將乘法分配律計算中易錯的題型集中起來，讓學生進行挑錯。學生容易發現別的人錯誤，在修改別人的錯題過程中強化了記憶，避免出現類似的錯誤。比如，最初調查中發現的易錯題型：①13×55+55×87=715+4785；②125×25×32=125×8+25×4；③12×97+3=12×（97+3）；④8×（125+9）=8×125+9；⑤35×201=35×200+1。由學生改正后教師歸納出乘法分配律一共容易出現以下幾種錯誤：可以采用乘法分配律而未采用的，不可以采用乘法分配律而采用的，擅自加括號改變計算規則的，分配律展開計算時未分配乘入的，乘法分配律計算過程中應當加括號未加括號改變計算結果的。這樣經過了糾錯練習，使學生在利用乘法分配律時把握了規則的實質并做到熟練應用。

三、結語

劉加霞教授曾說：“把握數學的本質是一切教學法的根。”簡便運算的最終目的是培養學生善于思考、思維靈活、自主運用的能力，它是一個長期培養的過程，因此我們在看到問題表面的同時，更應尋根問源。教師只有理解并把握數學本質，從學生的問題出發，把握學生思維的脈絡，把教學落到學生的困難處，幫助學生真正理解數學知識的本質，才能有效促進學生自主建模。乘法分配律是小學數學教學中比較重要的內容，引導學生掌握乘法分配律的運算法則及精髓，才能更好地學習《乘法分配律》這一章節。

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