關于矩陣秩的一個注（1）

盧占化 王景梅

摘 要：一般線性代數教材中是利用矩陣非零子式最高階數定義矩陣的秩.利用行階梯型矩陣中首非零元個數定義矩陣的秩是一條新思路.在此基礎上討論矩陣秩的其他一些性質.順便得出如下結論：兩種定義是等價的.這對于深入理解矩陣的秩，以及討論其他性質也有重要意義.

關鍵詞：行最簡階梯型陣；矩陣的秩；等價標準型

基金項目：河南省教育廳科學與技術研究重點項目（13A110543）；商丘工學院數學團隊項目。

關于矩陣秩的定義，大多數教材是按照最高階非零子式的階數來定義的.本文運用行最簡階梯型中首非零元的個數來定義矩陣的秩.先通過線性方程組的解討論行最簡階梯型陣，思路簡捷，易于接受.在此基礎上進一步討論矩陣秩的其他性質也較方便。

1 預備知識

定義1 一個階梯型矩陣首非零元都是1，首非零元所在的列上其它元素全為零，稱之為行最簡階梯型陣。

命題1 任一矩陣可以經過初等行變換化為行最簡階梯陣，且它的行最簡階梯型是唯一的。

如果H1的第一列元素全為零，則H2的第一列元素也全為零。不然的話H1不會與H2行等價。如果H1的第i列上元素全為零，H2的第i列上的元素也全為零。假如H1中a12=1，a13=1其他ai3全為零，此時中所有ai3也全為零。否則比如a23=1。對于H2用初等行變換可以將H2的（1，3）位上元變成零。但對于H1來講，（1，3）位上元變不成零。這便導致H1與H2行等價矛盾。這說明H1的第2行上首非零元與H2的第2行首非零元位置完全一致。他們所在的列上元素也對應相同。并且第二行上首非零元一定在上一行首非零元的右邊。

再分析第3行，…，依次類推。的首非零元與的相應行上首非零元的位置完全一致（根據線性方程組的同解性）。并且作為首非零元1的個數也相等。再利用齊次線性方程組同解性可知對于所有的i，j知aij=bij。證畢。

定義2 （標準型） .矩陣diag{1，1，1，0，0}稱之為標準型。

命題2 任一個矩陣可經初等變換化為標準型，且標準型是唯一的。

證明 根據矩陣行最簡階梯型的唯一性易知本結論成立。

命題3 對于任一個矩陣A，存在可逆陣P及Q，使PAQ為標準型。

2 矩陣秩的概念和性質

定義3 矩陣的行最簡階梯型中1的個數稱之為A的秩（也是它的標準型中1的個數）

性質1 A與AT秩相等。其中AT表示矩陣A的轉置矩陣（利用命題2可證。）

性質2 初等行變換不改變矩陣的秩（利用行階梯形可知）。

性質3 R（A，B）大于或等于R（A）R（A）表示矩陣的秩。

性質4 設W=（A，B）T，則R（W）小于或等于R（A）+R（B）。（利用行最簡階梯型可以證明）。

性質5 （A+B）小于或等于R（A）+R（B）（利用分塊陣可證之）。

性質6 R（A+B）≤R（A），R（B）

命題7 若矩陣A中有一個r階子式不為零，所有r+1階子式全為零，則R（A）=r，

命題8 若R（A）=r，則A中一定存在r階子式不為零，所有r+1階子式全為零.

證明 用反證法。假如A的所有r階子式全為零，運用行列式的理論可知A的所有r+1階子式也全為零，…。。，所以A的秩小于r矛盾。因此A中一定存在r階子式不為零。

第二部分證明也可以用反證法（略）。

參考文獻

[1].北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組高等代數[M]3版.北京：高等教育出版社2011

[2].同濟大學數學教研室編線性代數[M]（第六版）北京：高等教育出版社2014

[3].王萼芳編線性代數[M]北京：清華大學出版社2000

[4].盧占化盧俊杰高等代數（考研輔導）[M]金盾出版社2013

[5].盧占化曹林芬關于正定矩陣兩個定理河南科技學院學報2013.

2 .57-59

作者簡介

王景梅（1981-），碩士，研究方向：代數學。