微積分中不等式證明的常用方法

摘 要：不等式的證明歷來是微積分學習中的難點，學生看到證明題就害怕，更是無從下手。本文總結了微積分課程中常見的證明不等式的方法，通過對比總結，讓學生做到心中有數，順利解決不等式的證明。

關鍵詞：不等式；證明；方法

基金項目：西北政法大學教學改革研究項目““互聯網+”背景下文科數學課程模塊化教學改革研究”（項目編號：XJY201821）。

微積分是經濟類、管理類學生所學的必修課，通過微積分的學習可以讓學生正確領會一些重要的數學思想方法，提高抽象思維和邏輯推理的能力。而不等式的證明對學生的數學思維能力有較高的要求，使得很多同學掌握起來倍感困難。微積分中常見的不等式的證明很少用到求差、求商及用公式等初等的方法，更多的是和微積分中的知識點結合在一起，需要綜合各個知識點完成命題。本文介紹了幾種常見的不等式的證明方法，希望對同學們的學習有所幫助。

1 利用單調性證明不等式

例1：設 ，試證： 。

析：討論在大小關系的自變量對應的函數關系時，常常會用到單調性.首先給不等式做必要的變形，選擇適當的函數及對應區間，利用導數判斷在區間內的單調性，與端點處的值作比較，確定不等關系完成證明。

證：要證明 ，即證 ，可轉化為 。

因此可構造輔助函數為 ， ，由于

在 上連續可導，且 ，故函

數 在 上單調減少，故有當 時， 成立，即

成立，因此 成立，原不等式得證。

2 利用極值、最值證明不等式

例2：試證： ， ，試證： .

析：利用極值和最值證明不等式的方法與單調性證法相似，只不過此處的輔助函數比較多不是函數在區間的端點，而是極值和最值.

證：設 ，則 ，令 可得惟一的駐點 ，則當 時 ；當 時 ，從而 是 在 內的極大值也是最大值，即有 ，移項可得 ，原不等式得證.

3 利用函數的凹凸性證明不等式

例3：設 ， ，試證： 。

析：利用凹凸性證明不等式時主要尋找平均值和中值的變量表達形式，從而建立不等關系，完成證明。

證：不等式兩邊同時除以2，即， ，

左邊 是函數 在 兩點處的平均值；

右邊 是 在中點 處的函數值。故證明不等式

只需證明 即可。

由于 ， ，故 ，則有

，故有 ，原不

等式得證。

4 利用拉格朗日中值定理證明不等式

例4：若 ，試證 。

析：不等式 的兩邊出現了函數和自身一階導數形式，可以考慮用連接函數和一階導數關系的拉格朗日中值定理。

證：對于任意的數 ，取函數 在 上滿

足連續可導，由拉格朗日中值定理可知 ，使得

。在 上，導數 是單調增加的，即

有 ，故有 ，

則 ，不等式同時乘以 ，即為

，原不等式得證。

5 利用泰勒公式證明不等式

例5：設 ，且 ，試證：

析：討論函數和變量之間的關系時，泰勒公式是最佳方法，只有泰勒公式連接了函數和各階導數與變量的關系.

證：由于 ，可知 ；又由 的連續性知

。故由導數的定義知： 。因

此有 在 處的泰勒展開式：

因為 ， ，所以 ，于是 ，原不等式得證。

6 利用定積分定義證明不等式

例6：設 在 上連續，且 ，試證： 。

析：函數不能穿過積分符號，構造輔助函數并非一個函數可以完成，與積分相關的就可以考慮定積分的定義.

證：不等式兩邊同時取以 為底的指數函數，不等式變形為 ，由定積分定義知：

（1）

（2）

（1）式中的函數是n個正數的算術平均值，（2）式中的函數是這些正數的幾何平均值，由于 ，由極限保號性

知（1）式大于等于（2）式，故有 ，即 ，原不等式得證。

7 利用定積分計算方法證明不等式

7.1 利用換元積分法

例7：設 在 上連續且遞減，證明：當 時 。

析：觀察不等式左右形式相似，只差一個參數，而參數可以通過還原完成轉化，確定用換元法完成證明。

證：令 ，則 ，又因

為 在 上單調遞減，且 ，故 ， ，因而

，故有

7.2 利用分部積分法

例8：試證： 。

析：觀察不等式的左右兩邊，發現被積函數與不等式右邊解析式的關系，確定用分部積分直接計算完成證明.

證：由分部積分法可得：

故原不等式得證。

8 利用變上限函數證明不等式

例9：設 是 上的單調增加的連續函數，試證 。

析：變上限函數證明不等式時主要是找一個合適的變上限函數作為輔助函數，這個不等式左右有變量的產生，能夠產生變量的方法中變上限積分最常用。

證：構造輔助函數

因為

所以 在 上的單調減少，即有 ，

特別有 ，即

以上是微積分中常見的解決不等式證明的方法，要想熟練掌握不等式的證明，除了要理解掌握上述方法，還需要準確掌握每個方法中對應的知識點，做到靈活應用，希望這些方法對同學們的學習有所幫助。

參考文獻

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作者簡介

齊瓊（1981-），女，漢族，陜西延安人，講師，理學碩士，西北政法大學經濟學院，研究方向：高等數學教學與研究。