數學史知識的滲透對數學教學的作用

包加強

摘 要：隨著初中數學教材版本的不斷更新，數學史知識在數學教材中已經必不可少。其在數學教學中的滲透也成為必然趨勢。本文通過對數學史案例的分析發現，第三學段數學教學中數學史知識的滲透對提高學生數學學習興趣的作用有：提高課堂教學效果；激發學生的求知欲和創造力；培養科學的思維方法；激發學生學習的興趣等。

關鍵詞：第三學段數學教學；數學史知識；數學學習興趣；數學名題

數學是人類文化的一部分，數學教學已經是我國義務教育必不可少的一門教學；把數學史滲透于數學教學更是迫在眉睫。姜伯駒先生談數學課程改革時強調“初中是一個理性與思想的啟蒙教育階段，能否有理性地、有思想地啟蒙是這個時期教育的關鍵”，初中階段，新課程中數學史已經成為學生培養學生興趣，提高學生學習數學積極性的一個重要方式。隨著數學史圖像的增多，新教材比舊教材要淺顯許多。但是就課程標準而言，教育部對數學教學的要求并沒有變低，反而是高了很多，提出了培養學生自學能力，創新能力的要求，而創新是相對有一定基礎而言的。中國式的考試，永遠是基礎的最好體現。在現代教學中，老師們習慣讓學生把時間花在題海戰術上，以為這樣的考試立竿見影，然而一次次的考試，一次次的壓力只是讓學生心理更加焦慮，逐漸影響了學生學習數學的自信心。我覺得教學生不可一蹴而就，教書就像熬湯一樣需要掌握火候，在課堂上提及數學史知識，讓學生慢慢去體會，他們將會給你驚人的答案，所以說數學史知識的滲透是值得深思的。以此為背景，本文主要通過對教材上數學史案例的分析探討在第三學段數學史知識的滲透對提高學生興趣的作用。

1 第三學段數學教材中數學史知識案例

1.1 為什么 不是有理數

公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派有一種觀點，即“萬物皆數”，一切量都可以用整數的比（分數）表示。后來，當這一派中的希帕索斯（Hippasus）發現邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數或者整數比表示，即 不是有理數時，畢達哥拉斯學派感到驚恐不安，由此，引發了第一次數學危機。[1]

隨著認識的不斷深入，畢達哥拉斯學派逐漸承認 不是有理數，并給出了證明。下面給出歐幾里得《原本》中的證明方法。

假設 是有理數，則存在兩個互質的正整數p，q使得

于是

兩邊平方得

由2p2是偶數，可是p2是偶數。而只有偶數的平方才是偶數，所以p也是偶數

因此，可設p=2s，代入上式，得 ，即

所以q也是偶數。p和q均為偶數，不互質，這與假設p、q互質相互矛盾。

所以得 不是有理數。實際上， 是無限不循環小數。

1.2 費馬大定理

根據勾股定理，任意直角三角形的兩條直角邊長a，b和斜邊長c都是含三個未知數的方程 的一組解，而每一組勾股數（例如：3，4，5；5，12，13等）都是這個方程的正整數解。

高于二次方程 ， …是否也有正整數解呢？這個問題引起了法國數學家費馬的研究興趣。費馬在讀古希臘數學家丟番圖的《算術》一書中，在有方程 的那頁頁邊上，寫下了具有歷史意義的一段文字：“……將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的，關于此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下”。[2]用數學語言來表述，費馬的結論就是：當自然數 時，方程 沒有正整數解。

上述命題被稱為“費馬大定理”。它的證明引起了世界各國數學家的關注，包括歐拉、高斯、勒貝格在內的許多著名數學家都對這個命題做了深入的研究，但一直沒能證明它。費馬大定理的研究給數學界帶來了很大的影響，很多數學成果、甚至數學分支在這個過程中誕生，費馬大定理也因此被數學界稱為是一只“會下金蛋的雞”。

費馬大定理的證明最終由英國數學家懷爾斯完成。懷爾斯在很小的時候就夢想能證明費馬大定理，后來為此做了大量的努力和準備。1986年，他發現了定理證明的一種可能的途徑，就開始全力以赴的投入到定理證明中來，1993年6月懷爾斯在英國劍橋大學的學術討論會上報告了他的研究成果，立即引起了全世界數學家和數學愛好者的關注。在這以后，他又用了一年多的時間補證了專家小組發現證明中的疏漏，并最終于1995年徹底完成了證明.

2 發揮數學史對提高學生學習數學興趣的作用

2.1 穿插中外數學家的故事，培養熱愛數學的志向

在講直角坐標系時，就講講關于迪卡兒發現直角坐標系的這段故事。這件事發生在迪卡兒服兵役時期，據悉，迪卡兒當時就是類似現在的偵察技術兵，不過他對數學一直非常熱愛和癡迷，當時是秋天，他們兵營駐扎在多瑙河右岸，前兩天還在左岸，他躺在草地上，看著滿天繁星，思緒跑了很遠，他在想天上繁星點點，怎么通過幾何與代數的方式表達出來呢，前兩天在多瑙河左岸，這兩天又到右岸，中間是烏爾姆鎮，想著怎樣幫助排長制作一個好的確定目標的方法，這樣想著不自覺間就進入了夢想，他夢見他一個要好的戰友將他從床上拉起，指著外面夜空中的星星，從身后掏出兩支箭矢，搭成一個“十”字型，對他說：這樣我的箭可以射到我想射的任何地方，這時他的腦子里閃過一道靈光，可總覺得很模糊，然后好友又道：我的這兩支箭矢可以將整片天空分成四個面，就像咱們現在所處烏拉姆鎮一樣，烏拉姆鎮在中心，前兩天在左岸，現在在右岸不就是表示出來了嗎？糊里糊涂中，好戰友將他推入了水中，他一下子嚇醒 ，才知道這只是一個夢，他就接著剛才的夢先畫了一條豎線，表示為y；接著又畫了一條橫線，表示為x，完成了偉大的直角坐標系。這個發現是他對數學的研究，熱愛，日思夜想的結果。通過講述他對學習數學的熱愛，激發學生學習的興趣。

在數學課堂中穿插一些富有啟迪作用的數學故事，激發、調動學生的學習積極性，主動性，引起學生的好奇心，激發學生學習欲望，讓學生更好的領會所學的知識。活躍課堂氣氛，提高課堂教學效果。

2.2 介紹中國數學史的發展，激發學習數學的熱情

我國數學史的發展相當悠久，兩漢時期，已經有專業的數學著作《九章算術》、《周髀算經》等出現，有一套獨立數學知識體系，對后世數學產生了一定的影響，在那時數學發展已經到了一個高峰階段。

魏晉時期，中國的數學理論體系有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的數學理論體系為最。趙爽將數學定理和公式進行了證明，以及對《周髀算經》做了詳細補充說明。學習勾股定理時候，就可以引入趙爽的勾三股四弦五。劉徽將《九章算術》進行了詳注，他將里面的公式、定理作了推導證明，還提出來一些新的思路，又在這基礎上撰寫《海島算經》。著名的割圓術就是劉徽創立的，這為周率的產生奠定了基礎。在學習圓的過程時，講到劉徽的圓周率，劉徽將圓周率精確到小數點后兩位的近似值兀=3.14，用分數表示是157/50被稱為的“徽率”。劉徽還是第一個提出數學極限思想并運用的人。

南北朝時期，數學發展又一次達到高峰，有很多數學著作出現，有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等。祖沖之、祖暅父子是當時數學方面的杰出代表，他們研究數學思維方法及推理，將傳統數學推向了一個新的高度。祖沖之將圓周率精確到小數點后第七位，得出；祖暅還提出了“祖氏原理”，即“冪勢既同，則積不容異”，也就是說：兩個相等高度的立體圖形，如果他們的水平截面積相等，則這兩個立體體積相等。西方的“卡瓦列利原理”比“祖氏原理”遲了一千年多年。由此看來中國的數學水平在當時國際上處于領先地位。

在宋元時期，傳統數學到達黃金時期。這一時期涌現出很多數學家，如楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，他們的成就已經達到了當時數學發展的最高峰。主要成就有：高次方程數值解法；天元術與四元術；大衍求一術，現在稱為中國剩余定理；招差術和垛積術，即高次內插法和高階等差級數求和等等。在講授二項式時，提到楊輝三角，突顯當時我國在數學上的偉大成就。

教授數學課時，講講中國數學的發展史，以及一些偉大的數學家還有他們的成就，提高學生的民族自豪感，激勵學生奮發圖強。

2.3 體驗數學發現的樂趣，激發求知欲和創造欲

通過下面教學案例，可以讓學生體會數學的樂趣，激發學生的求知欲和創造欲。

師問：某段樓梯有10級臺階，按照規定每一步只能跨一級或兩級。如果要登上第10級臺階，會有幾種不同的方法呢？[3]

（學生的好奇心一下子調動起來，試驗著，探討著，爭論著，……）

生3：如果登上一級有1種方法。若登上二級有2種方法，若登上三級有3種方法，若登上四級有5種方法。登上六級有8種方法……

師：你才登上六級。離十級還遠，關鍵的是要發現規律。

生3：發現其中隱含的規律，以上結果排成的數依次為1，2，3，5，8，…，而3=1+2，5=2+3，8=3+5，……，得出從第3個數起，每一個數都等于它前兩個數的和。

師：這就叫做突破。

生3（極其興奮地）：l，2，3，5，8，后面數依次為13，2l，34，55，89。

講到這里再到歷史上著名的“斐波那契數列”，是不是跟這個原理一樣呢，為了拓寬學生的視野，激發學習熱情，給同學們講到，隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越來 越逼近于黃金分割數值0.618033……。刺激學生的樂趣，讓學生自己動手體驗，激發求知欲以及創造欲。

2.4 解決中外歷史名題，激發學生學習自信心

通過給學生講解歷史名題，使他們感受到數學的魅力與中國古代數學家的高明。這樣不僅促進了學生學習興趣，同時開拓了學生看數學的眼光，提高了數學思維方式，還可以加強調動學生學習自主性。通過對古人的事例說明，讓學生更好地發散思維，創新學習。

例1 最早研究方程的是古希臘數學家丟番圖。在他的墓志中寫著這樣一段話：“丟番圖一生有1/6為童年，1/12為青年，1/7為單身漢，在結婚5年后，生了個兒子，兒子在他最終年齡的一半時候，比他的父親早4年死去。”求丟番圖的年齡。[4]

解：設丟番圖的年齡為x歲

解得 x=72

答：求得丟番圖的最終年齡為72歲。

在“求解二元一次方程組”的教學中，推出古代著名的“雞兔同籠”問題。

例2 [5]雞兔同籠，共有頭5個，腳16只。請問雞兔各幾只？

解：假設有雞、兔分別有x、y只。則

解得x=23，y=12

答：雞有23只，兔有12只。

3 結論

將數學史融入中學課堂教學，可以讓學生更好地認識數學、學好數學，提高學生學習數學的興趣，將古代數學史料進行改編，豐富了課堂教學內容、提高了教學效果，更好地幫助學生認識數學的思考方法與增強數學解題能力。現代教學中，數學史知識的滲透被越來越多的人重視。在教學中有意滲透數學史，提高學生學習興趣，學習積極性，將是以后數學教育的大趨勢。只有把數學史知識滲透到了數學教學中學生才能更好地理解數學，提高學習數學，研究數學的興趣，才能夠更好地領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新精神。

參考文獻

[1]徐冠中.數學史在數學課程中的文化價值[J].西南大學，2006，32頁.

[2]九年義務教育全日制初級中學數學學大綱—（試用）[M].北京：人民教育出版社，1995.

[3]陳銀芝.初中中等生數學學習激勵機制的研究[A].浙江師范大學，60頁.