高中二次函數的重新認識與加深

盧德飛

來賓市第四中學 廣西來賓 546100

二次函數是貫穿初中和高中數學課程的一種很重要的函數，不管在代數中，還是解析幾何中，利用此函數的機會都特別多；同時各種數學思想如函數的思想，數形結合的思想，分類討論的思想，利用二次函數作為載體，展現得最為充分。尤其是在高中階段，有基本函數、不等式、數列、導數等部分的基礎內容。本文通過對二次函數在不等式，數列，導數，解析幾何中的應用來說明二次函數作為高考的重點及其難點始終是高中教學的重點，因此對于二次函數的應用的研究對于高中階段教學有重要的意義。

一、二次函數定義的理解

一般地，自變量 x和因變量 y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c（a，b，c 為常數，a≠0），與二次函數在初中階段理解的不同，高中階段的二次函數在集合和映射的基礎之上進行認識理解的，主要以映射的知識重新認識了函數的定義：二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），這里面的這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識。

二、二次函數的單調性、最值、圖像

通過二次函數y=(a≠0)圖像可以了解和認識函數的單調性：

三、結合二次函數圖像解決一元二次不等式中的求解問題

結合二次函數圖像可以更清晰的看到函數的對稱軸與特殊點問題，而拋物線上的特殊點和對稱軸對于解題至關重要，有必要深刻理解。二次函數解析式y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a x h2+k的形式，其中對稱軸為拋物線是軸對稱圖形，拋物線上任意一對對稱點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。如果 A(x1，x1)，B(x2，x2)是拋物線上兩點，若y1=y2，則這個拋物線的對稱軸是

當b24ac與0的關系不同時，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點也不同。

四、二次函數在導數中的應用

分析：易知f（'1）=0，（f 1）=10，從而求出a，b的值，但f（'1）=0是函數在該點取得極值的必要不充分條件，故應進行檢驗。

解：由題意得f（'x）=3x2+2ax+b，x=1是函數的極值，且極值為10，則有：f（'1）=0，（f 1）=10。即3+2a+b=0，1+a+b+a=10解得a=4 b=-11或a=-3 b=3。

此時（f x）在R上單調遞增，x=1不是函數的極值點，故應舍去。所以，a=4，b=-11。

五、二次函數在解析幾何中的應用

例：討論直線y=kx+1與雙曲線x2y2=1的公共點的個數。

當1-k2=0，即k=±1時，有一個公共點，并且是交點；當1-k2≠0，即 k≠±1 時，D=8-4k2，由 D ＞ 0 得時，有兩個交點，由D=0得，時，有一個交點，并且是切點，由得或時，無交點。

這些在初中的內容里有些都是沒有涉及到的，對二次函數的重新認識和了解，給學生打開了知識的另一個大門，拓寬了學生的視野，也為往后的學習奠定一定的思想方法。