斜拉橋拉索無應力索長的牛頓迭代解法

胡媛媛，黎志謀，黎小剛，李貴松

(1.重慶交通大學土木工程學院， 重慶 400074；2. 林同棪國際工程咨詢(中國)有限公司， 重慶 401120；3.貴州路橋集團有限公司， 貴州 貴陽 550018)

斜拉橋作為高次超靜定結構，主要依靠斜拉索將主梁與索塔連接起來，橋跨結構的整體自重以及橋上活載也是通過斜拉索傳遞到索塔上的，所以拉索是斜拉橋的主要受力構件之一。斜拉橋設計時，首先根據成橋狀態下的線形與索力之間的關系確定拉索無應力索長，然后充分考慮拉索端部的錨固尺寸，留出一定的富余量，從而確定拉索施工時的制造長度。所以拉索無應力索長的計算準確性直接影響著斜拉橋的施工控制，若制造長度偏短，拉索的有效錨固長度將難以保證；若制造長度偏長，一是拉索材料浪費，二是可能導致拉索無法張拉到位。由于斜拉索的自重效應使拉索張拉時呈現出較為明顯的非線性特征，所以隨著拉索張力的增大以及斜拉橋跨徑的增大，此非線性對拉索無應力索長的求解影響也就越大?？紤]基于拉索懸鏈線理論的迭代求解方法是可以精確求解此類非線性問題的。文獻[1-3]采用Ridders改進弦割線迭代技術，以無應力索長作為迭代控制參數；文獻[4-6]基于高精度的拉索懸鏈線索元剛度矩陣，采用非線性迭代求解技術，推導了索端張力與拉索原長之間的增量函數表達式；文獻[7]通過構建索端豎向分力與無應力索長之間的關系，采用Levenberg-Marquard迭代法計算拉索無應力索長；文獻[8]以索端力的精確表達式代替索端節點力的平均值，構建了已知索端張力情況下的拉索特征參數約束方程，通過牛頓下山法求解拉索無應力索長。本文基于斜拉索懸鏈線理論，推導拉索懸鏈線方程，考慮拉索張拉時錨固點處拉索切線與水平面的夾角α隨索端張力T的變化，并建立α與索端張力T之間的約束方程，最后應用牛頓迭代法求解已知索端張力狀態下的拉索無應力索長。

1 斜拉索懸鏈線理論

1.1 基本假定

斜拉索在自重作用下的線形為懸鏈線的基本假定是：

1)柔性假設：斜拉索是理想的柔性索，在沒有張力作用時，不能橫向抗彎。

2)線彈性假設：斜拉索為線彈性材料，符合胡克定律。

3)勻質假設：斜拉索為均質等截面體，即不考慮拉索橫截面在變形前后的變化，其自重集度沿索長為常量。

4)受力假設：斜拉索除兩端支承作用外，拉索只受沿索長方向均勻分布的垂直向下的荷載。

1.2 斜拉索懸鏈線方程

如圖1所示建立直角坐標系，原點取在下錨固點(梁端錨固點)A處。斜拉索下錨固點拉力為Ti，水平分量為Hi，豎直分量為Vi，設斜拉索上任意一點(x，y)處的張力為T，水平分量為H，豎直分量為V，上錨固點(塔端錨固點)與下錨固點之間的水平距離為l0，上下錨固點的連線與水平方向的夾角為γ，mcb為單位長度斜拉索的重量。

以拉索為研究對象，建立平衡方程：

∑Fx=0:H-Hi=0

(2)

(3)

圖1 斜拉索受力分析示意圖

由方程(2)、方程(3)分別解出H和V并代入方程(1)得

(4)

方程(4)左右兩端分別對x求導，可得

(5)

方程(5)左右兩端分別再對x求導，可得：

(6)

針對方程(6)，采用數學工具軟件MATLAB R2010b解之得

(7)

(8)

(9)

其中C1、C2是常數，顯然：將式(8)、式(9)代入方程(6)是滿足的。

同時，函數y應滿足下列邊界條件：

y(0)=0

(10)

y(l0)=l0tanγ

(11)

y′(0)=tanα

(12)

式(12)中的α是拉索下錨固點A處的拉索切線與水平面的夾角。由邊界條件(10)得

(13)

由邊界條件(12)可得

C1=sinh-1(tanα)

(14)

將式(14)代入式(13)可以得到

(15)

然后，將式(15)、式(14)代入函數(7)中，得到函數(7)的表達式為：

(16)

函數表達式(16)即為拉索的懸鏈線方程，其導數為

(17)

再將式(11)代入方程(16)中，且由于

Hi=Ticosα

(18)

故可以得到關于α的方程：

(19)

此方程即為拉索的特征參數約束方程。方程為超越方程，需通過數值方法求解，本文采用牛頓法對α進行迭代求解。以牛頓法對方程(19)進行求解，令t=tanα，代入方程(19)得

(20)

在牛頓法求解過程中需要求出函數F(t)的導數值。故函數F(t)的導數F′(t)為

(21)

故斜拉索的在張力作用下的伸長量ΔS為：

(22)

式中：S0為拉索無應力索長；E為拉索的彈性模量；A為拉索的截面積。斜拉索在應力狀態下的長度S為

(23)

于是，斜拉索的無應力索長為

S0=S-ΔS

(24)

2 牛頓迭代法

對于如圖1所示的拉索懸鏈曲線，設A點的坐標為(xi，yi)，B點的坐標為(xj，yj)，則可以求出一些基本量：

(25)

由方程(19)可得，在已知索端A張力為Ti的條件下，由于拉索的參數E、A、l0、tanγ均是已知的，故對于方程(19)僅是關于α的方程。只要求出拉索的特征參數α便可以計算拉索的無應力索長。通過令t=tanα將方程(19)轉化為函數(20)，利用構造的關于t的函數(20)、(21)，用牛頓迭代法求解t。基本算法為：

2)根據牛頓迭代法基本公式

(26)

式(26)可以得到，t1=t0(F(t0)/F′(t0)，其中F(t0)由式(20)求得，F′(t0)由式(21)求得。同理：由n次迭代后獲得tn，由此可以求得tn+1=tn(F(tn)/F′(tn)，F(tn)與F′(tn)的值分別通過式(20)、式(21)求得；

3)計算Δt=|tn+1-tn|，當Δt的值小于一定限值時，迭代結束，此時只需要將迭代得到的值tn+1分別代入式(22)、式(23)、式(24)即可求得斜拉索的無應力索長S0。

在實際迭代過程中，該算法迭代收斂速度較快，一般經過2～3次迭代便可以得到收斂穩定的t值，而且該法計算理論簡單，編程水平要求較低，實現容易。

3 工程實例

以在建的重慶市豐都長江二橋為例，其為(70.5+215.5+680+245.5+70.5) m雙塔雙索面五跨連續鋼箱梁斜拉橋，主橋長為1 282 m，橋面全寬26.5 m，主橋結構體系為半漂浮體系，塔墩固結，主梁在索塔及輔助墩、邊(墩)臺處設置豎向支撐，并在索塔與主梁之間設置橫向與縱向限位裝置。主梁主體結構采用正交異性橋面板流線型扁平鋼箱梁，橋梁中線處梁高3 m，全寬(含風嘴)28.5 m，設有雙向2%橫坡。斜拉索在鋼箱梁上的錨固采用了錨拉板結構形式，拉索為平行鋼絞線索。

斜拉索采用高強低松弛鍍鋅鋼絞線，抗拉強度(1 860 MPa，直徑15.24 mm，涂油脂或蠟并帶PE護套。斜拉索每塔共21對，全橋共計168根斜拉索，根據受力大小分為6類，對應鋼絞線股數為22、27、31、37、43、55。取北中跨的21根拉索進行計算。斜拉索的編號示意圖如圖2所示，豐都長江二橋的總體布置圖如圖3所示。

圖2 斜拉索的編號示意圖

圖3 豐都長江二橋總體布置圖

為進行對比分析，本文還列出了文獻[7]中記載的Levenberg-Marquard迭代法和基于斜拉索拋物線理論的Ernst等效模量法的計算結果。為了體現簡易牛頓迭代法的有效性和可靠性，故將等效模量法和本文方法的誤差設為相對于Levenberg-Marquard迭代法的差值。

由表1可得：利用牛頓迭代法求解特征參數t時，收斂速度快，經過2～3次迭代計算，結果便可穩定下來。由表2可得：在成橋狀態下，已知梁端張力條件時求解斜拉索的無應力索長，采用本文方法的計算結果與文獻[7]中所記載的迭代法的計算結果基本一致，即使對于360 m左右的長索，兩者計算結果的差值也僅為千分之二。這也充分說明了牛頓迭代法的可靠性與有效性。Ernst等效模量法與本文方法相對于文獻[7]迭代法的計算差值，等效模量法的計算差值約為本文方法計算差值的5倍。對于Ernst等效模量法，隨著索長的增大，其計算差值逐漸增大。Ernst等效模量法是基于拉索拋物線理論的一種近似方法，其計算方法簡單，不需要迭代求解，應用方便。但是由于其計算模型的局限性，所以需要對其計算結果進行修正，我國《公路斜拉橋設計規范》(試行)(JTJ027——96)中對于斜拉索無應力下料長度的計算便是在Ernst等效模量法的基礎上再考慮張拉端與錨固端錨杯長度等構造因素確定的。

表1 牛頓迭代法計算過程

表2 無應力索長計算結果及誤差對比

4 結論

基于拉索懸鏈線理論，充分考慮了拉索張拉時錨固點處拉索切線與水平面的夾角α隨索端張力T的變化，并建立了α與索端張力T之間的約束方程，最后應用牛頓迭代法求解已知索端張力狀態下的拉索無應力索長。并使用該方法對在建的重慶市豐都長江二橋斜拉索無應力索長進行計算。圖4和圖5分別為使用Ernst等效模量法和使用本文方法計算重慶市豐都長江二橋北中跨21根拉索的無應力索長的誤差曲線。圖6則為采用上述兩種無應力索長算法的誤差對比曲線。由計算表明：

1)由圖4、圖5和圖6可知，隨著拉索長度的增加，Ernst等效模量法計算拉索無應力索長的誤差增長速率較快，而本文方法計算無應力索長的誤差則增長較為平緩，對于長索甚至出現下降的趨勢。由計算可知，對于360 m左右的長索，Ernst等效模量法計算無應力索長的誤差約為11 mm，而采用本文方法的誤差僅為2 mm。隨著斜拉索長度的增加，拉索幾何非線性程度會逐漸增加，由于Ernst等效模量法是一種基于拉索拋物線理論的近似方法，其局限性將使其在非線性領域的計算誤差大大增加。

圖4 Ernst等效模量法的誤差曲線

圖5 本文方法的誤差曲線

圖6 本文方法與Ernst等效模量法計算

2)本文方法是一種基于拉索懸鏈線理論的幾何求解方法，充分考慮了拉索張拉時錨固點處拉索切線與水平面的夾角隨索端張力的變化，對于已知索端張力的斜拉索，利用牛頓迭代法求解錨固點處拉索切線與水平面的角度量，間接求解拉索無應力索長。此方法充分考慮了拉索張拉時錨固點處拉索切線與水平面的角度和索力之間的耦合作用。

3)本文方法計算較為準確，而且迭代算法收斂速度快，操作簡單，具有一定的工程應用價值。