巧用“幾何畫板” 感悟數學思想*
——以數學復習課“平面圖形的周長與面積”為例

李玲玲 張正權

(1.合肥市廬陽區教育體育局教研室 安徽合肥 230001)(2.合肥市躍進小學 安徽合肥 230001)

相對于數學新知的教學而言，數學復習課更能體現數學思想的提煉和形成。在數學復習課中，回顧已學過的知識是第一個層次的要求，而第二個層次的要求則是系統地梳理知識并形成知識脈絡，由此建構知識體系。但是，這還不是最終目的，最高層次的要求則是提升思想，提煉方法，進而提高數學素養。在蘇教版六年級數學下冊“平面圖形的周長與面積”這一課的教學中，我們可以在整理各個平面圖形面積公式的推導過程中注重建立圖形之間的內在聯系，突出數學的轉化思想，讓學生對轉化的好處、具體方法、特點和靈活應用等完整地加以感受和認識。其中“幾何畫板”軟件的巧妙應用，能夠取得化靜為動，化抽象為直觀的效果，從而有效地凸顯了數學本質。

一、復習舊知不重復

復習課區別于新授課的一個顯著特征就是量多體大，比如這一課，涉及小學階段研究的各種平面圖形周長及面積的相關知識，每一個周長及面積公式都有一個較為復雜的推導過程，都能獨立成一節課的教學內容，現在卻要合而為一，其容量之大可想而知，如果停留于知識的重復與羅列，那么勢必會顯得繁雜，教學效率也會大打折扣。如何使復習課舉重若輕，有條不紊，既有深度，又有廣度呢？我們必須將重點放在引導學生梳理知識，使知識彼此間建立關聯，形成知識網絡，引導學生自覺將所學納入整個知識體系。

數學知識間的關聯有些是顯而易見的，比如這一課，如果僅將各圖形面積公式羅列出來，并且知道每種圖形的面積公式是在哪個圖形的基礎上推導出來的，這種關聯顯然不夠深入，只是點到為止，浮于表面，因此，具體復習每種圖形面積的推導過程就是繞不開的“坎兒”，只有在這個過程中才能建立知識之間的內在聯系，進而深入體會其中所蘊含的數學思想。但是，這又不可避免地導致復習效率低下，節奏難以掌控等問題，這時候，幾何畫板的使用就能夠很好地解決這些矛盾，既能提高復習效率，又能突出重點，引導學生關注知識間的內在聯系。

比如平行四邊形，讓學生先回憶它的面積公式是怎樣推導的，借助于幾何畫板所提供的便利，將切割平移的過程用動畫演示出來，學生很快就能說出將平行四邊形轉化成長方形，然后重點關注是怎樣推導平行四邊形面積公式的，思考長方形的長和寬在平行四邊形里是什么。教師直接在黑板上板書平行四邊形面積公式，并用箭頭表示它們之間的關聯，這樣大大提高了效率，突出了圖形之間的內在聯系。其他圖形的推導過程也都使用幾何畫板直觀而形象地展示，再通過教師的板書將它們之間的內在聯系展現出來，形成一個完整的結構性的認知。

最后讓學生思考：通過整理，你有什么體會？將學生的關注點引向對轉化思想的深入探討上來。在學生回答的過程中，追問學生：“為什么要把平行四邊形轉化成長方形呢？這樣做有什么好處？”幫助學生體會轉化的特點和好處。此時，數學思想不再含而不露，而是和盤托出，成為研究的直接對象。從這一點來說，數學思想或核心素養是可見可教的。

二、引導探究看本質

感悟數學思想是數學復習課的最終目標，《數學課程標準(2011年版)》指出：“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括?！币瓿蛇@樣的抽象與概括，需要進行多次反復的思考和長時間的積累，到了六年級下冊進行知識的系統整理時，就要把數學思想的感悟作為重點，通俗地說就是要讓學生形成“透過現象看本質”的能力。

從這節課來看，感悟轉化思想則是重點，要使學生體會到轉化是數學研究中最常用的一種思想，它能使復雜而未知的問題變為簡單而熟悉的內容，可以說轉化是探究未知領域的思想利器，透過它能感受到數學思想的無所不在和無往不利。學生在整理各平面圖形的面積和周長計算公式的時候已經體會到它的好處和特點，但是我們不能淺嘗輒止，而要讓學生帶著問題去探究，借助于轉化去發現本質規律，從而更深刻地體會到轉化對于解決數學問題的重要意義。幾何畫板具備的各種即時互動功能，恰恰能夠為師生開展探究活動提供有力的平臺。

本節課中教學練習實踐的第5題時，在學生發現每組圖形“面積不變，周長變了，反之，周長不變，面積卻變了”的情況之后，教師可以引導學生深思：這樣的發現只能說是外在的現象，而這一現象的內在原因是什么呢？促使學生思考影響面積和周長的關鍵因素，為接下來的研究埋下伏筆。教學練習實踐的第7題時，如果僅限于讓學生畫出面積相等的幾個平面圖形，并展示交流的話，最多提煉出畫出面積相等圖形的具體方法，但與這節課所強調的轉化思想并無多少聯系，因此，我們還可深入引導學生探究，借助于幾何畫板的強大交互功能，當場在課件中作圖，當畫出一個面積是12 cm2的長方形之后，電腦自動算出了它的面積和周長，并顯示在圖形下面，這時候，讓學生思考：怎樣將它轉化成平行四邊形并保持面積不變呢？通過課件演示，拖動頂點將長方形拉斜，變成平行四邊形，在保持底和高不變的情況下，繼續拉斜，此時，圖形下顯示的面積仍然是12 cm2，而周長卻在不斷變化。然后再把平行四邊形變成三角形，也不斷改變三角形的形狀并保持面積不變，梯形也同樣。這樣的動態演示，師生間互動交流，借助于幾何畫板進行共同探究，使得問題的本質逐步明朗，也使學生清晰而深刻地體會到“等面積變形”這一轉化思想的具體應用，從而抓住了影響面積大小的關鍵因素，而不被外在形狀變化所迷惑。

由此可見，要想促進學生探究數學問題，除了要具備問題意識之外，還必須營造良好的環境，其中最重要的因素就是提供易于操作和探究的工具與平臺。幾何畫板正是研究幾何圖形的平臺，它能方便而有效地促進師生的互動操作和探究，實現與數學課程的深度融合。

三、化虛為實悟思想

正如前文所述，數學思想并非“只可意會不可言傳”的，它是可見可教的。當然，這需要在長期的積累應用過程中逐步感悟，這也就意味著積累到一定程度就要水落石出、撥云見日，但是，也并不代表就一定能夠水到渠成。比如“極限思想”，往往停留于想象之中，甚至對于小學生而言是無法想象的。這時候對于它的感悟就十分困難，特別是“幾何與圖形”領域，需要通過豐富的感知，在學生腦中形成清晰而準確的表象，才能促進學生的空間想象能力的培養和提高，從而發展空間觀念，所以僅憑想象而沒有直觀的經驗，學生對于“極限思想”的感悟難免模糊和粗糙。這時候，技術手段的使用恰恰能夠彌補這一不足，把“極限思想”轉化為眼前的形象，學生一目了然，心領神會。

在本節課中復習圓面積公式的推導，首先必須讓學生形成 “將圓轉化成長方形(化曲為直)”和“隨著平均分的份數不斷增加就越來越接近長方形(無限接近)”的空間觀念，從而感悟極限思想，雖然可以讓學生去動手操作，但是學生頂多將一個圓平均分成32份，如果平均分的份數再多點，那簡直就是像繡花一樣的細活了，時間上根本不允許，所以只能靠學生去想象了。但是，這樣做給學生留下的直觀印象還是不夠深刻，而在這節課中，幾何畫板彌補了這一缺憾，通過演示課件，可以隨機輸入數字將圓平均分成若干份，然后拖動圖形一步完成拼接操作，隨著平均分的份數不斷增加，拼接的圖形越來越接近長方形，以往要很長時間才能拼接出的圖形現在瞬間即可完成，而且可以不受限制，隨意掌控，當平均分的份數多達128份且瞬間拼接出一個近似的長方形的時候，學生發出一陣驚呼，可見眼前的景象已然超乎他們的想象，也正是這樣的視覺沖擊才能給他們留下深刻而清晰的印象。所以，信息技術的創新應用能夠彌補實物操作的缺憾，突破難以想象的限制，現實中無法取得的效果，以充滿視覺沖擊力的動態演示幫助學生進行空間想象和推理，從而有效發展學生的空間觀念。

綜上所述，為了使復習課不是簡單地重復舊知，我們就必須超越具體的知識點的羅列與整理，在建構知識體系和提煉數學思想上下功夫，而核心內容則是對數學思想的整體感悟和認識，這也是基于在以往的具體知識教學中對于數學思想的有效滲透，到了復習階段則要和盤托出，成為重點。在此過程中，信息技術的應用對于感悟數學思想起到了十分顯著的促進作用，是數學課堂上必不可少的手段。