基于試題分析的“概率統計”復習教學

劉宏英 王海青

摘? ?要

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出要基于數學學科核心素養進行考試命題，概率統計板塊試題是考查數據分析素養的主要載體。本文對近三年高考全國卷的概率統計板塊試題進行了整理分析，發現試題知識點全面、情境內容新穎、數據分析素養水平層次分明、數據分析素養特色鮮明突出。針對這些特點，本文提出復習課教學中選取的問題具有基礎性和多元性、素養的培養強調層次性和漸進性、教學的過程體現參與性和開放性的建議，希望對一線教師在復習課教學中落實數據分析素養的培養有所幫助。

關鍵詞

高中數學? 數據分析素養? 概率統計? 復習課

大數據時代下，數據分析已經成為一種新的數學語言，是當今及未來“互聯網+”相關領域的主要數學方法，在科研和社會生活中發揮重要的作用，成為一種必備的知識技能[1]。《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱新課標）第一次將數據分析作為數學學科核心素養提出，體現了新課標適應時代發展要求的理念。新課標指出：“數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養。”高中數學課程在數據分析素養上的培養目標為——學生能提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力;適應數字化學習的需要，增強基于數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗[2]。

怎樣落實數據分析素養的培養呢？作為教學的風向標，近年高考全國卷概率統計板塊試題給出了較明確的答案。筆者對近三年高考全國卷的試題進行了整理分析，發現了一些明顯的特點，結合這些特點進行復習課的教學，有利于更好地落實數據分析素養的培養。

一、高考全國卷概率統計板塊試題特點分析

以使用面最廣的全國I卷為例，近三年文理科試題考查數據分析素養的題號、分值、主要知識點、情境見表1。

從表1可以看出，近三年概率統計板塊試題題量穩定，文理科均為2道左右（1或2道客觀題，1道解答題），2018年理科試題客觀題相對偏多，總分值在17～27分。所考查的知識點覆蓋了概率統計板塊的主要內容。通過研究試題，可以發現近年高考以概率統計板塊為載體考查數據分析素養的導向十分明顯。歸納起來，全國卷概率統計板塊試題具有以下三個特點。

1.知識點全面，情境內容新穎

試題全面考查收集和整理、理解和處理、獲得和解釋數據的相關知識和方法。情境與問題豐富、多層次，與學生的學習和生活密切相關，且富于時代氣息。除了種花、選人、抽卡片等經典情境之外，還有易損零件更換、產品質量監控、超市訂貨、垃圾無害化處理、新農村建設等，充分展現了數據分析素養的數學學科價值。統計圖表除了教材中的莖葉圖、頻數分布表、頻率分布直方圖，還有生產生活中常用的柱狀圖、雷達圖、折線圖等。除了考查定量計算概率、概率分布列、數學期望、方差、求回歸方程等，還考查定性分析決策推斷。除了考查作圖、識圖、用圖，還考查滲透思維與表達、交流與反思。

2.數據分析素養水平層次分明

新課標提出要基于數學學科核心素養進行考試命題，圍繞四條內容主線和核心素養水平的達成進行評價。劃分核心素養水平的主要依據是核心素養的四個方面——情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思。例如數據分析素養“知識與技能”水平一的評價標準為“能夠對熟悉的概率問題，選擇合適的概率模型，解決問題;能夠對熟悉的統計問題，選擇合適的抽樣方法收集數據，掌握描述、刻畫、分析數據的基本統計方法，解決問題。”[2]高考試題所考查的素養水平層次分明，選擇、填空題多為熟悉或關聯的情境與問題，在教材或課后習題中出現過，以考查素養水平一、二為主。解答題多為綜合情境與問題，在概率統計板塊內綜合或與其他知識板塊交匯，需要考生針對不同的問題，綜合或創造性地運用統計概率知識，分層考查三個素養水平。

3.數據分析素養特色鮮明突出

數據分析素養與其他數學核心素養相比，在研究對象、推理方法、判斷準則上有明顯的不同。數據分析探究的是隨機現象的統計規律性，相關問題幾乎都來自于實際，主要的推理方法是歸納推理。數據分析素養強調的是培養學生分析帶有隨機性的數據的能力，其判斷結論的準則不是“對與錯”而是“好與壞”[2]。如果涉及繁瑣的計算，試題往往給出計算結果，但需要考生根據題意恰當選取和加工，可見考查的重點不是運算而是統計或概率的思維方法。

二、“概率統計”復習教學建議

根據分析可知，高考概率統計板塊試題基本上圍繞數據分析過程展開，考查學生從實際背景中提煉統計問題、合理構建模型、對數據合理加工、優化推斷合理決策的能力。除了基礎知識、基本技能，更注重考查基本思想和基本活動經驗。結合新課標的要求和高考試題的特點，建議概率統計板塊的復習課要轉變題海戰術的復習理念，使用基于數據分析素養的學習材料和教學方法。

1.選取的問題具有基礎性和多元性

概率統計的研究對象多為現實中的隨機現象，來源于數學學科外部，因此所選取的問題情境既要立足教材和學生的生活經驗，又要與現實問題特別是經濟現象、數學文化相結合。選取熟悉的、關聯的、綜合的情境，豐富學生的背景知識，才有利于學生在不同的情境中運用數據分析的知識和方法。例如產品尺寸問題“甲、乙兩人同時生產內徑為25.40mm的一種零件。為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件中各抽出20件（給出各個零件的內徑尺寸），從生產的零件內徑尺寸看，誰的生產質量較高？”[3]這是一個與制造業有關的典型問題，可延伸出正態分布知識。選取這樣的問題進行教學，不僅有利于學生掌握基礎知識，還有利于學生開拓視野，提升思維的深度和廣度，體會運用統計原理進行產品質量控制的基本思想，并將解決此問題的原理和方法遷移到自然界中的其他正態分布。

2.素養的培養強調層次性和漸進性

新課標從問題與情境、知識與技能、交流與反思、思維與表達四個方面將數據分析核心素養劃分為三個水平。復習課可以選取不同的問題考查不同的素養水平，也可以選取同一問題從不同角度考查不同的素養水平。

例如題組：（1）圖1所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）。若這兩組數據的中位數相等，平均值也相等，則x和y的值分別為（）。

A.3，5? B.5，5? C.3，7? D.5，7

（2）某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如圖2 的頻率分布直方圖。

①從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率;

②已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50）內的人數;

③已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等，試估計總體中男生和女生人數的比例。

圖2? 學生分數分布直方圖

（3）某電視廠家準備在元旦舉行促銷活動，現根據近七年的廣告費與銷售量的數據確定此次廣告費支出.廣告費支出x（萬元）和銷售量y（萬臺）的數據見表2。

表2? 廣告費支出與銷售量數據

①若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求出y關于x的線性回歸方程;

②若用y=c+d■模型擬合y與x的關系，可得回歸方程■=1.63+0.99■，經計算線性回歸模型和該模型的R2分別約為0.75和0.88，請用R2說明選擇哪個回歸模型更好;

③已知利潤z與x，y的關系為z=200y-x。根據②的結果回答下列問題：

廣告費x=20時，銷售量及利潤的預報值是多少？

廣告費x為何值時，利潤的預報值最大？（精確到0.01）

第1題要求學生結合熟悉的實例，從樣本數據中提取需要的數字特征，掌握數據分析的基本方法，側重考查素養水平一。第2題要求學生運用統計方法解決具體問題，理解統計結論的意義，用數據呈現的規律解釋隨機現象，側重考查素養水平二。第3題圍繞“回歸分析”這一主題，遞進式設問，并結合函數知識從不同角度考查數據分析素養的三個水平。第①問要求學生針對具體問題，建立一元回歸模型，用統計模型表達隨機現象的統計規律;第②問要求學生鑒別統計模型的優劣，理解統計結論的意義;第③問則設計了綜合的情境和知識的交匯，考查學生通過對信息的加工，基于統計模型進行預測，并用統計的語言予以表達。本題還考查了數學抽象、邏輯推理、數學建模素養。

3.教學的過程體現參與性和開放性

考查數據分析素養的高考試題在整套試卷中最具新意，如果把數據分析當作簡單的數學運算問題進行機械式訓練，那么學生由于活動經驗不足或有偏差，很難快速準確地抓住問題要點，只能望題興嘆。教學中要以案例為載體，適當引入計算機或計算器，使學生充分經歷收集整理數據、提取信息、構建模型、獲得和解釋結論的全過程，通過思考、表達、交流和反思，用多個統計模型或多個視角分析、優化推斷、合理決策，在“做中學”，才能有效積累數據分析活動經驗和提高統計思維的水平。例如在前述產品尺寸的基礎上，繼續研究案例“讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，落在各個球槽內的小球分布情況” [4] 。這個案例教師可以借助教具演示實驗，學生亦可親自操作，還可以使用軟件模擬實驗，大大提高了學習過程的參與度和開放度。

考查數據分析素養的試題新而不偏、繁而不怪，教學中結合高考試題特點和新課標要求進行概率統計板塊的復習，提升學生的數據分析素養，使學生不僅能對高考試題應對自如，還能深切感受到數學的價值和魅力，激發出強烈的學習動力。

參考文獻

[1] 史寧中，王尚志主編.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 普通高中課程標準實驗教科書.數學3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4] 普通高中課程標準實驗教科書.數學2-3（選修）[M].北京：人民教育出版社，2018.

【責任編輯? 郭振玲】