讓元認知提問“恰觸”知識生長點

廖月屏

元認知由美國心理學家J.H.弗拉維爾首次提出，指的是對認知的認知.比如學生在學習活動中，一方面進行著各種認知活動（感知、記憶、思維等），另一方面又要對自己的各種認知活動進行積極的監控和調節——這種對自己的感知、記憶、思維等認知活動本身的再感知、再記憶、再思維就是元認知.筆者所謂元認知提問，指的是教師的問題提示語是導向學生元認知的一種提問方式，旨在引導學生對自己的認知過程進行監控、調節，進而引導學生認知過程的自主發展.通常情況下，教師的問題提示語所發出的暗示離目標越遠，暗示就越隱蔽，元認知成分就越多;離目標越近，暗示就越明了，元認知成分就越少.而問題提示語中的暗示究竟離目標有多遠才好，應視學生的學習思辨能力而定，關鍵是要恰好觸到學生的知識生長點.毫無疑義，在整個基礎教育階段，高中生的思辨能力是相對成熟的.

有一次，筆者上完“雙曲線及其標準方程”后，讓學生比較一下橢圓與雙曲線在定義上的區別.此時的學生已經模糊感覺到了兩個知識點之間的內在聯系，但未知教師究竟為何“多此一舉”.

生1：橢圓的定義是，在平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點M（x，y）的軌跡;雙曲線的定義是，在平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點M（x，y）的軌跡.

師：那么，通過對橢圓定義和雙曲線定義的分析，同學們覺得還可以探究什么相關的問題嗎？

筆者此時的提問沒有“影射”任何具體知識，可以說是一個離目標較遠的暗示.此時學生無人應答，有的在動筆寫畫，有的在動腦筋思考.于是筆者耐心等待.

生2：我想定義在平面內與兩個定點F1，F2的距離的商等于正常數e的點M（x，y）的軌跡.

師：為什么要定義“商”？

生2：前面已經有了和與差，還沒有商呢.

師：那么，你認為滿足條件的點的軌跡會是什么圖形呢？能說出理由嗎？

生2：直線和圓.

教師請學生到黑板上寫下證明過程.生證明如下：

設動點M（x，y），定點F1（-c，0），F2（c，0），則

[| MF1 || MF2 |=（x+c）2+y2（x-c）2+y2= ][e（e>0） ].

兩邊平方，得

[（x+c）2+y2=][e2[（x-c）2+y2]].

整理，得

[x2][+2cx+c2][+y2=][e2（x2-2cx+c2+][y2）] .

再整理，得

[（1-e2）x2+（1-e2）y2+][（2c+2ce2）x]

[+c2（1-e2）=0].? ①

（1）當[e2=1]時，上式①可以化為[4cx=0].

[∵F1][，][F2]是兩個不同的點，[∴c≠0]，則[x=0].

此時動點軌跡為直線[x=0].

（2）當[e2≠1]時，式子①兩邊同除以[1-e2]，得

[x2+2c+2ce21-e2x+y2+c2=0]，

[（ x? + c+ce21-? e2 ）2? +? y2= （ 2ce1-e2 ）2? ，][（ e>0，e≠1 ）]

所以動點M（x，y）的軌跡為圓，圓心為[（-c+ce21-e2，0 ）]，半徑是[r=][2ce1-e2].

師：通過類比橢圓的定義，雙曲線的定義，聯想到給在平面內與兩個定點的距離的商定義，好極了！大家還能研究什么呢？

生3：在平面內動點[M（x，y）]到兩個定點[A（a，b）]，[B（c，d）]的距離之商為常數e，求M的軌跡.

師：有結論了嗎？

生3：圓.

師：為什么？

生3：推導到一半……太繁雜了，我感覺是圓.

臺下多數學生忍不住笑.很多學生停下筆，估計有相當多學生因有同感已半途而廢.的確，推導這個結論的式子太長、字母過多.

師：好吧，那就跟老師一起分析吧……（過程略）

教師接過難活，學生樂得觀摩、傾聽，此時學生的注意力高度集中.

新課改倡導學生是學習的主體，教師要從關注知識教學向關注學生學科核心素養的培育和發展轉變.筆者尋思，興趣很重要，教會學生自己學更重要.可是關鍵的問題是，教師一定要清楚學生新知識的生長點在哪里.今天所學新知的生長點在何處？這個生長點是否已經真正植入了學生的頭腦當中？此時此刻學生的頭腦中究竟有沒有這個生長點？如果沒有，便需要教師像奧蘇伯爾所說的那樣，先將生長點植入學生的頭腦里，再讓學生的新知識從這個生長點上慢慢“生長”起來.在以上教學片段中，這個知識生長點便是平面內一個動點與兩個定點之間的距離的不同關系：讓提問“恰觸”知識生長點，可以讓學生的學習更加高效.

（責編 白聰敏）