垂直鄰邊入射法測三棱鏡折射率的相圖研究

高雁

(忻州師范學院物理系，山西忻州 034000)

0 引言

折射率是光學材料的一個基本參數，實現對某種物質折射率的研究，在各個領域都有非常重要的意義.對于某些固體，由于這些固體的形狀不規則，不便用于實驗測量其折射率，所以經常將其做成三棱鏡的模型來進行測量.對于三棱鏡折射率的測量，有很多種方法[1,2]，例如：最小偏向角法[3,4]、全反射法[5]、任意偏向角法等等.一些研究者選用了不同的方法去測量同一固體的折射率，在實驗操作的整個過程中，發現實驗操作的難易程度以及測量結果的精確程度都不同.有的學者對測量三棱鏡折射率的方法進行了總結，并且將這幾種方法進行了對比，發現垂直鄰邊入射法測量折射率的相對誤差最小.還有研究者將C++語言應用在最小偏向角法測量折射率的實驗中處理實驗數據[6]，發現借助計算機軟件得出的折射率誤差較小.有很多研究者從實驗的角度去研究了三棱鏡的折射率，也有研究者利用Mathematica畫出了最小偏向角法對應的三棱鏡折射率的相圖.而本文根據幾何光學原理運垂直鄰邊入射法用中的折射角與三棱鏡頂角、折射率的關系，并借助MATLAB、Mathematica這兩種軟件畫出三棱鏡的折射率與其它物理量之間的函數關系圖也即三棱鏡折射率的相圖，使研究者能夠清楚地知道各物理量之間的關系，以及各個區域的物理意義.通過運用MATLAB和Mathematica這兩種軟件繪圖，為測量三棱鏡的折射率提供了一種新的方法.

1 垂直鄰邊入射法原理

三棱鏡可以使光的傳播方向發生偏折，如圖1所示，三角形ABC表示三棱鏡的橫截面，AB和AC表示透光的光學表面，三棱鏡的頂角為∠A，其折射率為n，入射光線從空氣中以入射角i1射到三棱鏡AB面上且入射光線的延長線垂直于AC面.因入射光線的延長線垂直于頂角的鄰邊，所以這種方法稱為垂直鄰邊入射法[7].光線經AB面折射后射到AC面上，最后以出射角r2射出.

根據圖1，由三棱鏡的折射定律可知：

圖1 垂直鄰邊入射法光路圖

(1)

nsini2=sinr2

(2)

根據圖1中的光路，由幾何關系可知：

A=r1+i2

(3)

根據定義又有：

A=i1

(4)

由公式(2)可得：

(5)

則由公式(5)又有：

(6)

聯立(1)(3)(4)(5)(6) 式，則可得：

(7)

此式說明三棱鏡的折射率n由折射角r2和三棱鏡的頂角A決定，即只要知道了折射角和三棱鏡頂角的大小就能知道三棱鏡折射率的大小.

2 利用MATLAB研究三棱鏡折射率的相圖

首先簡單介紹一下MATLAB，它對數學建模來說有重要作用，它在數學建模中可用于計算、編程以及作圖.對于很多復雜的公式，靠人工計算是不可能的，此時就需要借助MATLAB軟件來進行計算.還有一些復雜的計算公式，需要知道公式中各量的關系，這時就要利用MATLAB來畫出函數的圖像，這樣就能明確地知道各量之間的關系.MATLAB在大學物理實驗中也有很多的應用，例如：用它處理棱鏡折射率所得的數據；用它模擬楊氏雙縫干涉實驗；還可以用它來畫出李薩如圖形，而本文三棱鏡折射率的相圖也是運用MATLAB畫出來的.

2.1 垂直鄰邊入射法對應的相圖

圖2 垂直鄰邊入射法對應的相圖

圖2是運用垂直鄰邊入射法借助MATLAB軟件畫出的圖像，此三維立體圖的三個坐標軸分別表示的是折射角、三棱鏡的頂角、三棱鏡的折射率.通過這個相圖可以得到它們三者之間的關系，在這個綠色曲面上的所有點都滿足入射光線的延長線垂直于頂角的一條鄰邊，即入射光線以等于頂角的大小射到三棱鏡的表面上.利用此相圖，也可以準確知道某一點的具體值即可以得到折射角、三棱鏡的頂角、三棱鏡折射率的具體值.通過該相圖，也可以看出三棱鏡的折射率會因折射角的不同而不同，也會因為三棱鏡頂角的不同而不同.由相圖可以得出，在一定范圍內(頂角與折射角的范圍從到45°到90°)，當三棱鏡的頂角一定時，三棱鏡的折射率會隨折射角的增大而呈現增長趨勢.利用相圖，簡潔明了地呈現出了各物理量之間的關系，能夠讓實驗者很快領會折射角、三棱鏡頂角與折射率之間的關系，這樣在測量三棱鏡折射率的時候，就能夠很快地進行實驗操作，以加快做實驗的速度.

3 利用Mathematica研究三棱鏡折射率的相圖

首先介紹一下Mathematica,它處理數據的功能比較強大.運用它可以計算一些較難的微積分，解一些較難的方程，并且還可以畫出函數的圖像.對于復雜的函數，有時候很難從公式來判斷各參量之間的關系，所以可以借助計算機軟件來畫出其關系圖.Mathematica也經常應用在物理中，例如：它可以描繪粒子在非均勻強磁場中的運動軌跡；也可以描繪靜止點電荷所產生的電場線.而本文三棱鏡折射率的相圖也是運用Mathematica畫出來的.

3.1 垂直鄰邊入射法對應的相圖

圖3 垂直鄰邊入射法對應的相圖

圖3是運用垂直鄰邊入射法借助Mathematica軟件畫出的相圖，(a)(b)兩幅圖是在不同的角度下畫出的相圖，此三維圖的三個坐標分別表示的是折射角、頂角、折射率，此圖也是三者的關系圖.圖中褐色網格曲面上的點是正好以入射角等于三棱鏡頂角的大小入射的，且入射光線的延長線正好垂直于頂角的鄰邊.由此相圖可以看出，在一定范圍內(頂角與折射角的范圍從到45°到90°)，當三棱鏡頂角一定時，折射角越大，三棱鏡的折射率就越大；當折射角一定時，隨著三棱鏡頂角的增大折射率呈現減小的趨勢.

4 實驗數據測量及計算

表1 垂直鄰邊入射法的實驗數據測量

表2 垂直鄰邊入射法的計算結果

5 結論

利用MATLAB和Mathematica這兩種軟件，給出了頂角、折射角及折射率之間的關系，觀察到的各物理量之間的變化規律是相同的，通過相圖清楚地給定測量有意義區域.利用Mathematica軟件畫三棱鏡折射率的相圖比較容易，編輯公式相對于MATLAB簡單，但MATLAB畫出的圖可以明確知道某一點的具體值，這樣就比Mathematica在獲得數據方面精確.