雙時(shí)滯的SLIR計(jì)算機(jī)病毒模型的Hopf分岔

歐玉芹，李群宏，徐現(xiàn)麗

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530004)

0 引言

計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，不僅改變了人們的生活、生產(chǎn)和思想，而且使計(jì)算機(jī)病毒傳播，成為計(jì)算機(jī)安全的最大威脅[1-2].國內(nèi)外很多學(xué)者，受到生物病毒傳播研究思路的啟發(fā)，借助生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域已有的數(shù)學(xué)模型和方法，研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播，采取有效措施控制計(jì)算機(jī)病毒的傳播.

考慮計(jì)算機(jī)病毒，在兩臺(tái)計(jì)算機(jī)之間傳輸需要一定的時(shí)間周期.一些學(xué)者運(yùn)用動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論，研究具有時(shí)滯的SIR計(jì)算機(jī)病毒模型[3-6]和SIQR[7]模型.以上兩類模型，主要考慮的是易感計(jì)算機(jī)、感染計(jì)算機(jī)、和恢復(fù)計(jì)算機(jī)類型.但在實(shí)際情況中，潛伏計(jì)算機(jī)也具有感染病毒的能力，因此潛伏計(jì)算機(jī)的研究具有實(shí)際意義.文獻(xiàn)[7-10]研究帶有潛伏節(jié)點(diǎn)的計(jì)算機(jī)模型.眾所周知，計(jì)算機(jī)病毒在傳播過程中有多種類型的時(shí)滯，如帶有潛伏的[3,7]、感染的[4-5]等,平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性后會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔[7-11],更好的了解病毒的傳播途徑.因此考慮計(jì)算機(jī)病毒模型的多時(shí)滯情況更加具有一般性.文獻(xiàn)[10]研究一時(shí)滯的SLIR模型，以感染節(jié)點(diǎn)重裝系統(tǒng)需要一定的時(shí)間周期為時(shí)滯.本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，增加殺毒軟件清除潛伏節(jié)點(diǎn)需要一定的時(shí)間周期作為時(shí)滯，運(yùn)用泛函微分方程理論和動(dòng)力學(xué)理論，研究雙時(shí)滯的SLIR計(jì)算機(jī)病毒模型，在病毒平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性及Hopf分岔.

1 建立模型

本文研究的計(jì)算機(jī)模型是四維的，分別為易感計(jì)算機(jī)S，潛伏計(jì)算機(jī)L，感染計(jì)算機(jī)I，恢復(fù)計(jì)算機(jī)R .帶有雙時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型如下

(1.1)

其中S(t)、L(t)、I(t)和R(t)分別為易感計(jì)算機(jī)、潛伏計(jì)算機(jī)、感染計(jì)算機(jī)和恢復(fù)計(jì)算機(jī)的數(shù)量.A是易感計(jì)算機(jī)的常數(shù)補(bǔ)充率；μ是病毒離開每臺(tái)計(jì)算機(jī)的概率；ε是使用解毒劑時(shí)，易感計(jì)算機(jī)獲得暫時(shí)免疫率；β，α，δ，ω是計(jì)算機(jī)各狀態(tài)量的轉(zhuǎn)換率.系統(tǒng)(1.1)的參數(shù)均為正數(shù).系統(tǒng)(1.1)的時(shí)滯分別為：τ1表示感染節(jié)點(diǎn)在重裝系統(tǒng)需要的時(shí)間周期；τ2表示使用殺毒軟件清除潛伏節(jié)點(diǎn)所需的時(shí)間.為了方便計(jì)算，本文主要研究τ1=τ2=τ的情況.

2 病毒平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

P*=(S*,L*,I*,R*)，得到

其中G=Aβ-μ(r+μ+δ) ，F(xiàn)=μ[α(δ+r+μ-ε)+δ(μ+ω)+(μ-ε)(r+μ+ω)].

通過計(jì)算，系統(tǒng)(1.1)在P*的特征方程為

λ4+α1λ3+α2λ2+α3λ+α4+(b1λ3+b2λ2+b3λ+b4)e-λτ+ce-2λτ=0.

(2.1)

其中

a1=βL+4μ-ε+r+α-2βS，

a2=βL(3μ-ε+r-2βS+α)+βS(-6μ+2ε-2α+β)

+μ(6μ-3ε+3r+3α)+α(r-ε)-εr，

a3=(μ-ε)[(βL+μ)(r+2μ+α-βS)-βS(μ+α)]

+(βL+2μ-ε)(r+μ-βS)(α+μ)-βS(2μ-ε+α)(βL+μ-β)，

a4=(βL+μ)(r+μ-2βS)+β2S，b1=ω，b2=ω(βL+3μ-ε+r-βS)-1，

b3=βω[(2μ-ε+r-βS)L+(ε-2μ)S+(βS-r)] +ωμ(3μ-2ε+2r)+(βSδ-3ωr-βL-2μ+ε)，

b4=βSδ(α+μ)-(βL+μ)(μ-ε)+βω(βS-r)(1-ε+μ) +ω(βL+μ)(μ-ε)(r+μ-βS)，

c=βSδ.

當(dāng)τ=0時(shí)，根據(jù)Hurwitz條件，顯然得到系統(tǒng)(1.1)在病毒平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ≠0時(shí)，方程(2.1)記為

b1λ3+b2λ2+b3λ+b4+(λ4+α1λ3+α2λ2+α3λ+α4)eλτ+ce-λτ=0.

(2.2)

令λ=iω(ω>0)為方程(2.2)的根，解得

其中

f0=b2-α1b1，f1=α3b1+α1b3-α2b2-b4，f2=α4b2-b2c+α2b4-α3b3，f3=b4c3-α4b4，

f4=b1，f5=α1b2-α2b1-b3，f6=α4b1+α2b3+b1c-α3b2-α1b4，f7=α3b4-α4b3-b3c，

根據(jù)

sin2ωτ+cos2ωτ=1.

(2.3)

假設(shè)

(H1) 方程(2.3)至少有一個(gè)正根ω0.

對(duì)于ω0，求解得到

(2.4)

把λ(τ)代入方程(2.2)，并對(duì)τ求導(dǎo)，解得

(2.5)

其中

G1R=(b3-3ω2b1)+(α3-3α1ω2)cosωτ+(4ω3-2α2ω)sinωτ，

G1I=2b2ω+(α3-3α1ω2)sinωτ+(2α2ω-4ω3)cosωτ，

H1I=(α3ω2-α1ω4)sinωτ+[(c-α4)ω+α2ω3-ω5]cosωτ.

假設(shè)

(H2) 若G1RH1R+G1IH1I≠0.

(2.6)

定理1 假設(shè)系統(tǒng)(1.1)滿足(H1)和(H2)，則平衡點(diǎn)P*=(S*,L*,I*,R*)在τ∈[0，τ0)時(shí)局部漸近穩(wěn)定.當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔及存在一簇分岔周期解.

3 Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性

這一節(jié)，我們將應(yīng)用中心流形定理和規(guī)范形定理，研究系統(tǒng)(1.1)在τ=τ0時(shí)，平衡點(diǎn)

P*=(S*,L*,I*,R*)的Hopf分岔方向和分岔周期解的穩(wěn)定性.

則系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)處的泰勒展開式如下所示

(3.1)

其中

k11=-βL*，k12=-βS*，k13=-β，k14=ω，k15=-ε，k16=-μ；

k21=βL*，k22=βS*，k23=-(r+μ) ，k24=-δ，k25=β；

k31=r，k32=-(α+μ) ，k33=-ω，k41=δ，k42=α，k43=ε-μ.

其中θ∈[-τ,0].定義Ck[-τ,0]={Φ|Φ：[-τ,0]→R3} ，Φ有k階連續(xù)導(dǎo)數(shù).初始條件：Φ(θ)=(Φ1(θ),Φ2(θ),Φ3(θ),Φ4(θ)T)∈C[-τ,0])，方程(3.1)記為

(3.2)

其中L(μ)：C→Rn是有界線性算子.根據(jù)Reisz表示定理，其線性化方程為

(3.3)

其中η(θ，μ)是關(guān)于(θ，μ)∈I0×R可測(cè)的矩陣函數(shù).當(dāng)φ∈C1([-τ,0],R4)，根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]，線性化方程(3.3)對(duì)應(yīng)的無限小生成元A(μ)定義為

(3.4)

定義

(3.5)

于是，方程(3.2)等價(jià)于方程

(3.6)

下面，利用中心流形定理和規(guī)范形理論討論方程(3.6).

當(dāng)Φ∈C1([-τ,0],R4)，關(guān)于A(0)的伴隨矩陣A*有如下的定義

(3.7)

當(dāng)φ∈C1([-τ,0],R4)，φ∈C1([-τ,0],R4)時(shí)，適合復(fù)向量的雙線性形式記為

(3.8)

上式的η(θ)=η(θ,0)，且滿足

[φ,AΦ]=[A*φ,Φ].

(3.9)

假設(shè)q(θ)=q(0)eiω0θ和q*(s)=q*(0)e-iω0s，分別是A和A*關(guān)于iω0和-iω0的特征向量，且[q*,q]=1.

下面，我們將研究系統(tǒng)(1.1)Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性.類似于常微分方程，我們通過計(jì)算判定Hopf分岔性質(zhì)的關(guān)鍵參數(shù)U2，T2和β2.

(3.10)

(3.11)

對(duì)于方程(3.6)的解yt∈Ω0，在μ=0時(shí)，可以推得方程(3.2)在中心流形上的流由下列方程所確定

(3.12)

記

(3.13)

將方程(3.12)簡記為

(3.14)

并記

(3.15)

下面，只要求出g20，g11，g02，g21，就得到了限制在中心流形上的規(guī)范形方程(3.13).根據(jù)方程(3.6)，(3.10)和(3.11)，得到

(3.16)

方程(3.14)簡記為

(3.17)

其中

(3.18)

另一方面，在中心流形上，有

(3.19)

將方程(3.17)代入方程(3.11)后與(3.17)比較，得到

(A-2iω0)ω20=-H20,Aω11=-H11,(A+2iω0)=-H02.

(3.20)

其次，計(jì)算ω20(θ)和ω11(θ)，其中θ∈[-τ,0).由方程(3.13)和(3.15)計(jì)算的結(jié)果與方程(3.16)比較得到

(3.21)

把方程(3.19)代入方程(3.18)，左右兩邊求導(dǎo)，解得

(3.22)

求解方程(3.20)，得到

(3.23)

當(dāng)θ=0時(shí)，有

(3.24)

由方程(3.21)和(3.22)，得到

因此，算得

(3.25)

由方程(3.23)可以解得

因此g20，g11，g02，g21全部求得，限制在中心流形上的方程(3.14)被求得.

最后，根據(jù)以上計(jì)算，可以推導(dǎo)出U2，T2和β2.如下所示

(3.26)

方程(3.26)的參數(shù)決定了分岔周期解的方向和穩(wěn)定性，我們得到以下定理.

定理2U2決定分岔周期解的方向，如果U2>0(U2<0)，Hopf分岔是超臨界的(亞臨界)，τ>0系統(tǒng)存在分岔周期解.

定理3β2決定分岔周期解的穩(wěn)定性，如果β2<0(β2>0)，則分岔周期解穩(wěn)定(不穩(wěn)定).

定理4T2決定分岔周期解的周期數(shù)，如果T2>0(T2<0)，則分岔周期數(shù)增加(減小).

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證第2節(jié)和第3節(jié)理論分析結(jié)果的正確性，根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的參數(shù)值，令

A=1,β=0.35,ω=0.8,ε=0.15,μ=0.35，r=0.05,α=0.35,δ=0.15.

通過計(jì)算,得到系統(tǒng)(1.1)的病毒平衡點(diǎn)P*=(1.5714,0.6981,0.0233,0.5643)，驗(yàn)證了(H1)和(H2)的正確性.由方程(2.6)和(3.1)，可得ω0=0.7254，，且計(jì)算得到.當(dāng)病毒平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，相應(yīng)的波形圖和相圖分別對(duì)應(yīng)圖1和圖2.當(dāng)時(shí)滯通過臨界值時(shí)，即病毒平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分岔，并在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)周期解，如圖3和圖4所示.

圖1 時(shí)滯τ=4.96<5.0629， 圖2時(shí)滯 τ=4.96<5.0629，

圖3 時(shí)滯τ=5.51>5.0629，系統(tǒng)(1.1)出現(xiàn)穩(wěn)定周期解

圖4 時(shí)滯τ=5.51>5.0629，周期解穩(wěn)定

5 結(jié)論

本文研究雙時(shí)滯的SLIR計(jì)算機(jī)病毒模型.與文獻(xiàn)[10]的模型相比較，本文考慮的模型具有一般性.文中考慮感染節(jié)點(diǎn)在重裝系統(tǒng)和殺毒軟件清除潛伏節(jié)點(diǎn)都需要一定的時(shí)間周期.首先，研究系統(tǒng)病毒平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性條件.當(dāng)時(shí)滯的值低于臨界值τ0時(shí)，系統(tǒng)(1.1)是局部漸近穩(wěn)定的，利于對(duì)計(jì)算機(jī)病毒傳播的采取有效措施進(jìn)行控制；當(dāng)時(shí)滯的值大于臨界值τ0時(shí)，系統(tǒng)(1.1)失去穩(wěn)定性，在病毒平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生Hopf分岔.其次，應(yīng)用中心流形定理和規(guī)范形定理，確定分岔周期解的方向和穩(wěn)定性.最后,通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.