向量外積幾何性質在平面幾何中的應用

潘繼軍

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向量外積幾何性質在平面幾何中的應用

潘繼軍

滇西科技師范學院數學學院, 云南 臨滄 677000

一般情況下向量外積是用來研究三維及以上歐氏空間中的相關問題，鮮有用向量外積研究平面幾何問題，且大多數是以坐標法的形式來研究。本文以向量外積為橋梁，不用坐標法，而運用向量外積幾何性質來研究平面幾何中與“距離、面積、三點共線、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形等”有關問題，且運用實例驗證了應用向量外積幾何性質研究平面幾何中的這些問題是一種行之有效的方法。

向量外積; 幾何性質; 平面幾何

研究平面幾何問題可以借助向量的內積來研究,多數情況下向量外積是用來研究三維及以上歐氏空間中的相關問題的,且大多數是以坐標法的形式來研究的,如文獻[1-9]都是用向量外積的坐標法來研究三維及以上歐氏空間中的相關問題,本文卻是以向量外積為橋梁,不用坐標法,而運用向量外積的幾何性質來研究平面幾何中與“距離、面積、三點共線、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形等”有關問題.通過本研究發現利用向量外積的幾何性質研究平面幾何中的這些問題是一種行之有效的方法.

1 向量外積的幾何性質

1.1 兩個向量外積的定義

圖 1

圖 2

1.2 點到直線的距離公式

1.3 向量的旋轉

圖 3

圖 4

2 向量外積幾何性質在平面幾何中的應用舉例

2.1 應用向量外積幾何性質研究與“等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形”等有關的問題

例1如圖5,四邊形是任意四邊形,分別以、為邊向四邊形外部作正方形、,再分別以、為邊作正方形、.

圖 5

求證：四邊形是平行四邊形.

求證：不論△旋轉到什么位置,線段上必然存在點,使△為等腰直角三角形.

所以無論△旋轉到什么位置,當點為的中點時,△總為等腰直角三角形.

例3如圖7,三角形和三角形都是等邊三角形,四邊形是平行四邊形.

求證：三角形也是等邊三角形.

2.2 應用向量外積幾何性質研究與“面積、三點共線”有關問題

求證：、分別為、的中點.

2.3 應用向量外積幾何性質研究與距離有關的問題

例5 如圖9,為等邊三角形內任意一點,點到三邊、、的距離分別為、、.

求證：++為定值.

所以++=

所以++為定值.

以上說明向量外積是一種有用的數學工具,向量外積作為一種成熟的數學工具重新進入平面幾何領域為我們解決平面幾何問題提供了新的方法,增加了新的視角,因此,適當地把向量的外積應用于平面幾何,向量就成為代數與平面幾何之間的一座天然的橋梁,這無疑是對廣大師生創新精神的一種培養.

[1] 夏盼秋.高維歐氏空間中向量的外積[J].大學數學,2011,27(4):159-164

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[3] 黃勇剛,杜力,黃茂林.基于旋量理論的機器人誤差建模方法[J].哈爾濱工業大學學報,2010,42(3):484-489

[4] 孫燕.關于雙重外積公式的一點注記[J].中央民族大學學報:自然科學版,2010,19(1):90-92

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[6] 周慕溪.n維歐氏空間一個新的向量公式及其應用[J].蘭州大學學報,1957(1):17-22

[7] 吳光磊.2n維歐氏空間中的n維子空間[J].北京大學學報:自然科學版,1957(1):61-70

[8] 熊明.外積的推廣及其性質和應用[J].高等數學研究,2014,17(4):62-64

[9] 鄧勇.三維幾何空間中向量叉積的極分解表示[J].黃岡師范學院學報,2014,34(6):6-8

Application of Geometric Properties of Vector Outer Product in Plane Geometry

PAN Ji-jun

677000,

In general, the vector outer product is used to study the related problems in three-dimensional and above Euclidean space, and most of them are studied in the form of coordinate method. It is rare to study plane geometry with vector outer product. Instead of coordinate method, in this paper, vector outer product is used as a bridge, and the geometric properties of vector outer product are used to study the problems related to "distance, area, three points collinear, equilateral triangle, isosceles triangle, isosceles right triangle, square, etc." in plane geometry. This work proves that it is an effective method to study these problems in plane geometry by using the geometric properties of vector product.

Vector outer product; geometric properties; plane geometry

G633.6

A

1000-2324(2019)01-0138-04

10.3969/j.issn.1000-2324.2019.01.031

2017-10-12

2018-5-12

潘繼軍(1967-),男,本科,教授,主要從事初等數學研究. E-mail:319318384@qq.com