基于時間-空間譜配法的分數階微分方程的一種解法

王龍,趙丹

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基于時間-空間譜配法的分數階微分方程的一種解法

王龍,趙丹

四川職業技術學院, 四川 遂寧 629000

隨著分數階微分方程的應用領域越來越廣泛，相應的理論研究也變得更加重要。本文針對時間分數階的經典微分方程，提出一種加入空間譜配的解法。通過對時間分數階經典微分方程的推導，得出等價的微分方程并獲取空間配置點，然后應用高斯積分公式轉變空間，求出轉換方程的積分項。數值驗算結果表明：采用時間-空間譜配法得出的精確解與數值解吻合程度較好，基本能滿足分數階微分方程高精度近似解的要求。

分數階微分方程; 時間-空間譜配法; 精確解; 數值解

分數階微分方程已經有300多年歷史，但一直以來關于它的研究只停留在純數學領域。近三十年以來，分數階微分方程開始被廣泛應用于光學、生物學、熱學、流變學、金融學和物理學等領域，受到了人們的關注。關于分數階微分方程的精確解求得非常不容易，在實際應用中一般只需要精度較高的近似解即可，因此高精度近似解的求得具有較大的實用價值。Amele等人提出了分數階微分方程的一種擴散形式，主要是在時空方向上形成一階差分，但需要具備穩定條件[1]。Temirkhan等人對基于時間分數階的擴散方程進行求解，該方法收斂性的推導主要基于先驗誤差的估算[2]。Ghomanjani通過有限元對時間與空間分數階的微分方程進行求解[3]。Mohammed等人使用有限差分法對時間分數階微分方程進行求解，然后給出了方程誤差的估計[4]。本文在時間分數階經典微分方程的基礎上加入了空間譜配，通過時間-空間譜配法研究了分數階微分方程的一種解法。

1 時間分數階的經典微分方程

在上式中，(,)代表粒子的概率密度函數，該粒子的位置是，時間是。代表粒子質量。1代表粒子與環境的摩擦系數。1為擴散函數。

時間分數階外場存在反常擴散，為了描述該情景，需要考慮用以下的時間分數階微分方程：

滿足以上方程的初始條件：(,0)=()，<<。滿足以上方程的邊界條件：(,)=1()，(,)=2()，0<<。

在上式中，代表正整數，而且0≤-1<≤。

2 基于時間-空間譜配法的分數階微分方程求解過程

2.1 求解過程

在上式中，代表正整數，且0≤-1<≤。

由于IμtDμtZ()=()-(0)，上式也可以用以下方程表示：

(,)相應初始條件：(,0)=()，<<；邊界條件：(,)=1()，(,)=2()，0<<。為了使正交多項式，進行以下變量轉換：

為更好地應用高斯積分公式，需要作出空間的線性改變，從空間[-1,y]轉變到空間[-1,1]：

最后配置空間，在[-1,1]中獲取配置點{x}，使式（12）在配置點成立，得出下式：

2.2 數值驗算

為驗證本文提出的基于時間-空間譜配法的分數階微分方程求解有效性，采用以下算例。

例1：計算分數階微分方程數值解與精確解的吻合情況。設方程如下：

當例1中的=0.9，精確解與數值解情況如圖1所示。當=0.8，=1或者=0.9202，精確解與數值解比較如圖2所示。根據以上數值驗算，采用時間-空間譜配法得出的精確解與數值解吻合程度較好，基本能滿足分數階微分方程高精度近似解的要求。

圖 1=0.9時的精確解與數值解

Fig.1 Exact and numerical solutions for=0.9

圖 2 左圖=1、右圖z=0.9202，精確解與數值解的比較

3 討論

隨著分數階微分方程的使用領域日益擴大，關于方程解的研究也越來越多，大多數研究都是圍繞方程解的唯一性和存在性而展開的。對于線性分數階微分方程的求解，Hamani等提出要借助特殊函數工具進行方程解的探索[5]。對于非線性分數階微分方程的求解，Doan等認為需要將原方程轉化為等價的微積分方程，在適當空間中使用不動點定理[6]。Hassan等圍繞時間分數階的微積分方程求解過程，認為要適當考慮函數空間的問題，這有利于提高數值解的精確性[7]。相對來說，分數階微分方程的理論研究滯后于實踐應用，但隨著學者們的廣泛重視，在理論研究方面將會有較大的進展。

4 結論

針對分數階微分方程高精度近似解求得問題，提出一種基于時間-空間譜配法的解法，使時間分數階的經典微分方程能夠在空間方向的配置點成立，形成全離散格式，但要滿足配置點的要求。通過數值驗算，求得的數值解較好地接近精確解。本文解法的優勢在于能夠通過較少的配置點得出精度較高的數值解，在節省儲存空間的同時，還能求解較為復雜的分數階微分方程。

[1] Taieb A, Dahmani Z. A new problem of singular fractional differential equations[J]. Journal of Dynamical Systems and Geometric Theories, 2016,14(2):165-187

[2] Aleroev T, Kekharsaeva E. Boundary value problems for differential equations with fractional derivatives[J]. Integral Transforms and Special Functions, 2017,28(12):900-908

[3] Ghomanjani F. A new approach for solving fractional differential-algebraic equations[J]. Journal of Taibah University for Science, 2017,11(6):1158-1164

[4] ALHorani M, Khalil R. Total fractional differentials with applications to exact fractional differential equations[J]. International Journal of Computer Mathematics, 2018,95(6):1444-1452

[5] Hamani S, Hammou A, Henderson J. Impulsive fractional differential equations involving the hadamard fractional derivative[J]. Communications on applied nonlinear analysis, 2017,24(3):48-58

[6] Doan TS, Huong PT, Kloeden PE,. Asymptotic separation between solutions of Caputo fractional stochastic differential equations[J]. Stochastic Analysis and Applications, 2018,36(4):654-664

[7] Hassan K, Muhammad AS, Tauseef MD,Numerical solutions to systems of fractional Fredholm Integro differential equations, using Chebyshev wavelet method[J]. Journal of Taibah University for Science, 2018,12(5):584-591

A Solution of Fractional Differential Equations on Time-space Spectrum Allocation Method

WANG Long, ZHAO Dan

629000,

With the application of fractional differential equation more and more widely, the corresponding theoretical research has become more important. In this paper, we propose a solution to the classical differential equation of fractional order in time by adding spatial spectral assignment. By deducing the classical differential equation of time fractional order, the equivalent differential equation is obtained and the spatial collocation points are obtained. Then the integral terms of the transformation equation are obtained by applying the Gauss integral formula to transform the space. The numerical results show that the exact solution obtained by the time-space spectrum matching method is in good agreement with the numerical solution, and can basically meet the requirements of high-precision approximate solution of fractional differential equation.

Fractional differential equations; Time-space spectrum allocation method; exact solutions; numerical solutions

O29

A

1000-2324(2019)01-0142-03

10.3969/j.issn.1000-2324.2019.01.032

2018-02-10

2018-04-20

四川省教育廳一般基金項目:偏微分方程圖像分割算法研究(15ZB0358)

王龍(1983-),男,碩士,副教授,主要研究方向為偏微分方程，數學建模，應用數學. E-mail:wanglongzhujun@163.com