三維淺海下彈性結構聲輻射預報的有限元-拋物方程法*

錢治文 商德江 孫啟航 何元安 翟京生?

1) (天津大學海洋科學與技術學院, 天津 300072)

2) (哈爾濱工程大學水聲工程學院, 哈爾濱 150001)

3) (中國船舶工業系統工程研究院, 北京 100036)

(2018 年7 月30日收到; 2018 年11 月27日收到修改稿)

利用多物理場耦合有限元法對結構和流體適應性強、拋物方程聲場計算高效準確的特點, 提出了三維淺海波導下彈性結構聲振特性研究的有限元-拋物方程法. 該方法采用多物理場耦合有限元理論建立淺海下結構近場聲輻射模型, 計算局域波導下結構聲振信息, 并提取深度方向上復聲壓值作為拋物方程初始值; 然后采用隱式差分法求解拋物方程以步進計算結構輻射聲場. 重點介紹了該方法對淺海下結構聲輻射計算的準確性、高效性以及快速收斂性后, 對Pekeris波導中有限長彈性圓柱殼的聲振特性進行了分析. 研究得出, 當圓柱殼靠近海面(海底)時, 其耦合頻率比自由場下的要高(低), 當潛深達到一定范圍時, 與自由場耦合頻率基本趨于一致; 在低頻遠場, 結構輻射場與同強度點源聲場具有一定的等效性, 且等效距離隨著頻率增加而增加; 由于輻射聲場受結構振動模態、幾何尺寸和簡正波模式影響, 結構輻射場傳播的衰減規律按近場聲影響區、球面波衰減區、介于球面波和柱面波衰減區、柱面波衰減區四個擴展區依次進行.

1 引 言

彈性圓柱殼作為水下潛器、運輸管道和海洋技術儀器等典型的簡化結構, 對其聲振特性研究也一直是國內外研究者關注的重點. 彈性結構在水下振動時, 會產生結構與周圍流體介質聲的耦合作用即流固耦合, 已有大量學者對這種單一耦合作用下典型彈性圓柱殼聲振特性進行了深入研究, 為后續開展板殼振動與聲輻射的深入研究奠定了理論基礎[1-3].然而, 在實際工程中, 流體域往往存在一個或多個邊界, 對于具有一個邊界的半空間下結構聲輻射的研究相對較早, 國內外學者相繼提出了多種方法[4-11], 并取得了一定的研究成果.

對于具有上下邊界的淺海下彈性結構聲輻射的研究, 因涉及流-固耦合、輻射聲與邊界耦合、反射聲與結構耦合等多個物理場耦合, 加上受海底地形多變、底質復雜、聲學參數多等因素的限制, 具有較大難度. 早期的研究工作集中于理想淺海波導(海面軟邊界、海底硬邊界)下典型結構聲輻射研究, 如Soni等[12]通過薄殼理論、伯努利方程以及上下邊界條件建立淺水域下平板的聲振理論模型;Ergin等[13]分別采用實驗法和三維聲彈性理論模型研究了自由界面和剛性界面對浸沒圓柱殼聲輻射特性的影響; 白振國等[14]采用虛源法分析了波導下圓柱殼遠場輻射聲場的衰減規律; 為了掌握上下邊界對結構聲振特性的影響規律, Wang等[15]采用鏡像法結合模態附連水質量法得出了淺海上下邊界對結構耦合振動頻率的影響規律. 為了提高研究方法對復雜結構和淺海環境的適應性, Sarkissian[16]、商德江等[17]分別采用波疊加法(CWSM)進行了淺海波導下彈性結構的聲散射、聲輻射的有效計算;同時, Zou等[18]、Jiang等[19]根據三維聲彈性理論, 提出了可調整格林函數結合聲場積分的方法,進行了淺海水域下艦船輻射噪聲的研究. 雖然波疊加和三維聲彈性理論均可通過調整格林函數進行不同淺海下結構輻射聲場計算, 為解決復雜淺海波導下任意結構聲輻射問題提供了新思路, 但兩種方法均需在結構內部(或表面)布放若干個虛擬源,涉及大量虛擬源的優化配置和反向求解, 其研究過程的簡便性和高效性有待提高. 這就需要探索一種適應性更強、具有可操作性和效率更高的新方法.

淺海波導下彈性結構聲輻射研究需要結合海洋聲傳播相關理論來重點考慮結構輻射場的傳播問題, 針對簡諧點源的聲傳播問題, 各國學者主要采用拋物方程法、簡正波法、波數積分法以及耦合簡正波拋物法等多種方法進行海洋聲傳播、海洋聲反演和聲場測量、預報等領域的研究[20-22]. 其中拋物方程(PE)法是目前較為簡便且高效的波動理論方法, 該方法的優點在于其構成了距離初始問題,只要給定初始距離上沿深度方向分布的源場, 便可按距離步進的數值技術進行求解, 其計算過程簡單、效率高、對淺海環境適應性好. 目前已有大量的研究不斷提高了PE計算的精度、速度和適應性[23],使得PE已能夠解決楔形的液-液[24]、固-固[25]和液-固[26]交界面以及無限大邊界[27]等復雜邊界下的聲傳播問題, 并由標準二維PE拓展為三維PE聲場問題[28], 不斷完善了PE在不同海洋環境下的理論模型, 使其應用范圍更加廣泛.

淺海波導下彈性結構聲輻射研究還要需要重點關注三維結構源的聲振特性, 而對于目前多邊界耦合影響下的結構聲振問題, 解析法難以建立理論模型, 實驗法代價大且周期長. 有限元法(FEM)對彈性結構和周圍流體環境適應性強, 能方便地解決多邊界耦合環境下結構的聲振問題, 已成功應用于淺海波導下彈性結構的聲輻射研究[29]. 但因涉及有限元網格劃分, 其計算能力受到分析頻率、結構尺寸以及聲場計算距離的嚴重限制，所以一般采用有限元法建立近場局域流體下的結構中低頻聲輻射模型, 計算獲取近場聲場信息, 然后再結合其他方法進行遠程聲場計算, 如有限元/波疊加法[17]、有限元/聲彈性理論[19]、有限元/邊界元法[30]等, 以有效地進行淺海下彈性結構聲輻射研究.

綜上, 為了高效準確地研究淺海波導下彈性結構聲振特性和輻射場傳播問題, 本文利用FEM對結構、流體環境適應性強和PE法對聲場計算快速準確的優點, 提出了淺海波導下彈性結構聲輻射快速計算的有限元-拋物方程法(FEM-PE). 該方法首先通過多物理場耦合FEM理論建立三維淺海波導下近場低頻聲輻射模型, 計算獲取結構在近場的聲振特性; 最后, 采用N個二維 (2D)的PE進行三維淺海波導下彈性結構遠場聲輻射的快速預報. 并從聲場計算的準確性、收斂性和高效性三個方面重點說明了該方法對淺海波導下結構輻射場計算的優勢后, 對Pekeris波導下有限長圓柱殼的振動特性和輻射場傳播進行了研究分析, 得出了淺海波導上、下邊界對三維彈性結構耦合模態頻率、輻射聲場傳播以及衰減特性的影響規律, 為后續開展復雜淺海波導環境下結構聲輻射預報、聲學測量和聲源識別等領域的研究提供了一種新途徑.

2 三維淺海波導下FEM-PE理論

如圖1所示, 建立三維淺海波導下的彈性結構聲輻射預報的FEM-PE理論模型. 該理論模型主要由兩部分組成: 多物理場耦合FEM近場聲場計算域, 即采用多物理場耦合FEM理論建立三維淺海波導下復雜彈性結構(潛深為h)近場聲輻射模型, 計算獲取距結構中心一定距離r0處的聲場信息;PE聲場計算域, 即采用FEM在深度方向上已求解的復聲場信息作為FEM與PE的耦合條件, 即PE初始聲場, 采用分段三次Hermite插值法對FEM計算結果與PE初始場進行空間格點匹配后,采用隱式的有限差分法求解PE, 以計算距離結構r處的聲場P.

圖1 淺海波導下結構聲輻射FEM-PE計算原理圖Fig.1. Principle of FEM-PE in shallow water.

2.1 多物理場耦合FEM理論

由理論模型可知, FEM計算結果作為PE聲場計算的初始條件, 所以FEM理論建模部分變得尤為重要, 其計算準確性直接影響到PE聲場計算的精度和整個研究過程的可靠性, 需要采用合適的FEM理論建立淺海波導下結構聲輻射的準確模型. 不同于其他流體環境下結構聲振問題, 淺海波導下結構聲振特性將受上下界面的重要影響, 且還受海底類型多、聲參數復雜、地形多變等因素的限制, 聲振數值建模難度大大增加. 傳統FEM難以建立這種復雜流體環境下的結構聲輻射準確模型, 本文采用多物理場耦合FEM理論聯立求解多個耦合子系統及控制方程, 計算多個物理場共同耦合作用下結構聲振信息. 淺海波導下彈性結構聲輻射問題涉及流-固耦合、聲邊界耦合和無限大邊界等聲學耦合邊界處理, 多物理場耦合FEM可建立聲學波動方程、無限遠邊界和上下邊界相互之間的耦合作用和連續條件[17].

在結構表面與外部流體接觸的耦合面上, 滿足的結構表面法向振動速度與外部流體介質的振動速度相同, 可寫出結構與流體的耦合方程為

其中剛度矩陣Kij和阻尼矩陣Cij、質量矩陣Mij均為n×n階矩陣, 下標w, s和τ分別表示聲學矩陣、力學結構矩陣和耦合矩陣. 定義耦合矩陣Kτ,Mτ為且為結構與流體接觸的結構網格數量,為結構網格的法向向量;ω=2πf為角頻率,f為頻率(Hz),ρ0為海水密度;ui,pi為位移和聲壓幅值;分別為結構、流體介質聲的耦合激勵載荷[31].

淺海波導的海面邊界通常為Dirichlet邊界,在界面上滿足聲壓為零, 即

其中 下標a和b分別表示海水流體層和海底層.

FEM模型與PE理論在建模環境上需要一致,且PE主要涉及標準PE和彈性PE兩種類型, 相應地, FEM理論需要建立兩種典型海底交界面上連續方程. 在液態海底上滿足的邊界條件為聲壓p(x,y,z)連續, 法向振速v(x,y,z) 連續,

在各向同性彈性海底法向上滿足位移連續和應力連續, 切向的應力為零,

其中u為彈性體中的水平位移;w為彈性體中的垂直位移;ρ為介質密度;λ,μ為拉梅常數; 定義Δ為

均勻淺海環境的四周邊界為聲場無限遠邊界,在FEM中采用完全匹配層 (PML)技術模擬,PML通過在波動方程中增加吸收系數轉換為PML 吸收層的控制方程, 令x軸為x1軸、y軸為x2軸, 利用分離變量可寫出PML方程為

其中σi為吸收系數;vi,pi分別為匹配層域的速度和聲壓幅值.

采用PML處理邊界后, 使在邊界層上滿足Smerfield遠場熄滅條件, 使得邊界沒有反射聲以模擬波導四周的無限大空間, 即

通過流-固耦合方程、聲邊界耦合方程和PML技術建立淺海下結構聲輻射FEM模型, 聯立求解耦合系統計算獲取結構表面的振動特性和近場聲場信息. 但由于FEM網格劃分類型和疏密程度與PE網格劃分不一致, 且FEM網格劃分尺寸比PE空間格點間隔小, 導致FEM在深度方向提取的離散點數比PE初始場的格點數要多, 所以FEM計算的空間聲場節點信息難以完美匹配PE初始場的空間格點, 使PE聲場計算不準確, 需采用合適的插值法從FEM計算復聲壓信息中近似求解有限個場點信息. 為了使在每個小區間上取得較好的近似結果以避免插值造成的龍格現象, 可采用收斂性強、光滑度高的分段三次Hermite法對復聲壓插值處理后, 再匹配PE初始場空間格點, 使PE聲場計算更加精確.

為了使初始場以及PE計算聲場能夠更好地表征聲源的源信息和輻射信息, 即FEM計算初始場包含了結構近場聲能量耦合信息、PE步進計算域遠離近場聲影響區, 這里要求初始場距源中心的距離ro為大于最大波長根據FEM在深度方向提取聲場結果Pf, 可在建立起深度坐標zf與聲壓Pf的線性關系, 則在深度方向上每個深度格點 (r0,z) 聲場可通過以下方程獲取:

其中zp為最小區間上一點,為有限元提取結果函數在節點zk處的導數值,k=0,1,2,3,···,n,n為FEM提取計算結果的離散個數.

2.2 波導下PE理論及有限差分解

采用Pappert[32]的分離變量法, 可把軸對稱坐標系下簡諧源的亥姆霍茲方程簡化為橢圓形波動方程[20]

其中k0為參考波數,為參考聲速.

聲場ψ在一個波長內隨距離的變化是緩慢的,即滿足的“近軸近似”條件, 可得到標準拋物型方程

在海水介質中聲場ψa需滿足拋物型方程, 利用泰勒級數展開可把拋物型方程(12)式變換為

同理, 在液態海底中聲場ψb滿足的方程為

通過在界面滿足的邊界條件((3)式、(4)式),可建立兩介質中聲場關系為

如果將G寫成則(15)式與(11)式一致, 選擇聲場的輸出分量可得到單向的波動方程[20]

求解(16)式方法主要有分離-步進傅里葉技術和有限差分/有限元技術, 其中隱式有限差分(IFDM)能夠完全適用于小角度和大角度拋物型波動方程,該方法極大地提高了計算精確度和穩定性, 而且通過改進的初始場可有效處理各種邊界條件[33]. 各個方向的離散步距需滿足如圖2所示, 其中為了推導方便, 空間各點的聲場ψ(xm,zj) 簡寫為

圖2 Crank-Nicolson有限差分法示意圖Fig.2. Schematic diagram of IFDM used Crank-Nicolson.

為了用點rm+1 的場信息表示點rm的場信息,考慮兩點中點

通過Crank-Nicolson有限差分法求解(16)式, 即

導出如下隱式表達式

對(19)式平方根算子可采用不同的近似處理方式, 如Tappert, Claerbout, Greene和Pade等近似方法, 不同近似方法得到不同角度范圍、計算量和計算精度, 接下來引入較為通用的算子近似表達式

a,b取不同值, 便可得到處理算子的Tappert,Claerbout, Greene的近似法. 為了減小上述三種近似方法帶來的相位誤差和對角度的限制,Collins[34]采用一種基于帕德級數法展開算子, 可得到

其中

m為展開式中的項數.

通過在(21)式中保留更多的Pade項, 開角幾乎達到了90°, 但同時計算量也大幅度增加. 為了避免級數求和帶來的計算效率問題, 結合不同近似方法在Pekeris波導下性能測試結果, 當相位誤差取0.002時, 大角度的Greene近似法的最大開角可達45°, 且聲場計算精度與FFP計算的基準值一致, 且不涉及級數求, 計算效率較高[20]. 所以選用Greene近似法, 則(20)式可寫為

代入(19)式后結合(15)式對各項重新組合, 便可得到如下的向量表達式:

(23)式中, 各參數的定義如下:

把PE聲場按IFDM的步進表示, (23)式寫為深度N個格點的全局矩陣解:

可知, 基于有限差分法的PE是進一步推進求解的過程, 通過在各層介質中分別滿足(15)式所示的橢圓型波動方程, 在海水與海底的液-液交界面z=zj上滿足(3)式和(4)式的邊界條件, 便可由前一個場信息求解下一個m+1處的場信息.同樣, 在PE邊界設置中, 海面自由表面采用聲場軟邊界處理, 在表面滿足ψ(r,0)=0 . 海底為半無限均勻液態空間, 對于深海, 人工吸收層的厚度為海面到海底下邊界距離的1/3; 對于復雜的淺海環境下海底延續部分, 則需通過厚度為幾個波長的人工吸收層來設定[20].

本文采用2.1節多物理場耦合FEM理論建立了波導下結構聲輻射的準確模型, 提取了r0處準確的初始場信息, 并按(10)式進行PE初始場空間格點匹配后, 按照(25)式進行了結構輻射聲場N個 2D的PE步進計算. 在實際工程中也可通過試驗法(垂直線列陣)測得結構某距離處在深度方向上的矢量聲場, 然后采用PE實時快速計算輻射聲場, 實現淺海水域下結構輻射噪聲的在線監測預報.

3 Pekeris波導下方法驗證

3.1 FEM-PE法準確性驗證

建立如圖3所示的軸對稱坐標下Pekeris波導下點源聲傳播模型, 點源深度為z0=100 m. 采用FEM理論計算并提取距點源最大波長r0=50 m處、在整個波導深度方向上的復聲壓值作為PE初始場以進行遠場聲場的IFDM步進計算.

如圖4所示, 計算了30 Hz和300 Hz下點源的聲壓級為總聲壓的有效值,pref為在水中取的參考值,pref=1×10-6Pa)隨距離的變化曲線,并與相同條件下FFP計算結果進行了對比, 聲壓參考級為 1×10-6Pa,各場點深度為50m. 可以看出, 在低頻和較高頻率下FEM-PE計算結果與FFP計算結果符合得很好, 驗證了該方法計算的準確性. 雖然在遠距離存在一固定相位誤差, 但從整體聲場計算來看,該誤差對計算精度影響較小, 整體精度滿足計算要求.

圖3 淺海波導下點源聲傳播模型Fig.3. Acoustic propagation model of point source in shallow water.

圖4 點源的FEM-PE理論驗證 (a) f= 30 Hz; (b) f= 300 HzFig.4. Verification of point source used FEM-PE: (a) f= 30 Hz; (b) f= 300 Hz.

為了驗證該方法對三維淺海下彈性結構聲輻射計算的可靠性, 建立如圖5所示的淺海下受激彈性球殼FEM模型. 同時, 為了減小網格計算量, 建立了軸對稱坐標下受激彈性球殼的二維聲輻射FEM-PE模型, 球殼中心位于對稱軸深度方向上100 m處, 在其頂端施加垂直向下的簡諧點激勵Fs=1000N. 球殼半徑20 m, 厚度0.1 m, 材料為4340型鋼, 波導環境參數、分析頻率和場點選取與上述驗證模型相同. 采用該方法計算了彈性球殼在淺海下的輻射聲場, 并與FEM直接計算的聲壓級進行了對比, 如圖6所示. 可以看出, 該方法計算結果與相同情況下有限元計算結果符合得很好, 驗證了該方法對淺海下彈性結構輻射聲場計算的準確性.

圖5 淺海下彈性球殼聲輻射有限元模型示意圖Fig.5. FEM model diagram of elastic spherical shell in shallow water.

圖6 彈性球殼的FEM-PE理論驗證 (a) f= 30 Hz; (b) f= 300 HzFig.6. Verification of elastic sphere used FEM-PE: (a) f= 30 Hz; (b) f= 300 Hz.

通過Pekeris波導下點源和彈性結構輻射聲場的驗證結果可看出, 該方法計算結果與FFP,FEM計算結果吻合得很好. 雖然因該方法采用(22)式的Greene近似, 在遠場聲場時存在較小的固定相位誤差, 但從聲場整體計算精度來看, 該方法的計算精度是滿足要求的, 且該方法操作過程簡單、計算高效, 能夠快速準確地進行淺海波導下復雜結構源輻射聲場計算.

3.2 FEM-PE法收斂性分析

因為FEM計算結果作為PE計算的初始條件, 所以FEM計算精度對方法整個計算過程的影響尤為重要; 且在PE計算過程中采用了有限差分法, 即使有限元計算精度滿足要求, 但PE網格劃分不恰當也會對整個計算精度的影響, 所以很有必要同時掌握該方法中FEM和PE網格劃分對計算精度、效率的影響規律. 為了分析該方法在整個計算距離上的計算精度, 定義平均相對誤差為

其中pw(n) 為 FEM-PE計算結果,pt(n) 為采用FFP理論解計算結果,η(n) 為在各場點上聲場計算的相對誤差,n為場點離散數,N為離散場點總數; 該算例中在 50—2000 m范圍每隔5 m選取一場點, 即N= 391點.

表1為FEM和PE在不同網格劃分下該方法計算的相對誤差、計算自由度(DOF)、計算時間(t)以及計算機占用內存(RAM). 測試模型為3.1節驗證模型即軸對稱Pekeris波導下點源聲傳播模型, 頻率為30 Hz, 解析解采用波數積分法的FFP程序計算. 有限元模型采用軟件COMSOL multiphysics建立, PE計算程序采用Matlab編譯, 所有計算均在 Intel(R) Core(TM) i7-4790 CPU 3.60 GHz 上運行, 內存 16 GB. 可看出, 當把PE網格大小設為dz=λ/8 ,dr=λ/4 后, 計算精度隨著FEM網格質量的提高而增加, 但FEM網格減小到λ/6 后, 計算精度可達到3%左右且趨于穩定; 繼續增加網格密度不僅沒有大幅度提高精度, 反而增加計算時間, 建議FEM網格大小選為λ/6 . 當把有限元網格設定為λ/6 后, 把豎直z方向的網格大小dz從λ變為λ/16 , 且r方向的網格大小dr始終保持dr=2dz的關系, 當dz減小為λ/4后, 平均相對誤差降到10%以內. 類似地, 當dz≥λ/8后, 該方法計算的平均相對誤差為3.34%左右且趨于穩定. 綜上, 為了達到較高的計算精度和計算效率, 建議該方法的網格劃分方式為:本文后續計算均采用這一網格劃分方式.

表1 方法收斂性分析Table 1. Convergence analysis of the method.

3.3 FEM-PE法高效性分析

針對于淺海波導下彈性結構聲輻射研究, 目前主要的研究方法有鏡像法、三維聲彈性理論和聯合波疊加法等. 但由于鏡像法對其他復雜結構和淺海海底時涉及一定的計算效率和適應性問題, 雖然三維聲彈性理論和聯合波疊加法避免了這些問題, 但均涉及大量虛擬源的優化配置和聲學反問題等數值求解問題, 特別是當結構增大頻率增加時, 虛擬源數目增加, 在工程應用上的效率有待繼續提高.為了說明該方法不僅避免了上述研究方法涉及的問題, 且在計算效率和計算過程簡化性上具有一定優勢, 以下進行了該方法與聯合波疊加法在相同情況下的計算時間對比分析, 計算模型與文獻[17]一致.

圖7為相同計算模型下該方法與CWSM計算結果對比驗證. 可看出, 該方法與CWSM計算結果具有較好的一致性, 再次證明該方法聲場計算的正確性. 然后, 進行了該方法和聯合波疊加法在不同距離范圍(l)和頻率(f)下對淺海波導下大型結構輻射聲場計算的時間測試分析, 如表2所列.

圖7 60 Hz頻率下FEM-PE與CWSM計算結果對比Fig.7. Contrast between method of FEM-PE and CWSM at 60 Hz.

可看出, 隨著頻率的增加, FEM-PE法計算優勢在逐漸降低, 因為頻率增加FEM計算網格大幅度增加, 這時FEM的對效率占主要影響, 導致整體效率降低; 但隨著距離增加, FEM-PE計算優勢較為明顯, 因為遠場采用PE計算, PE的高效性提高了整個遠場聲場計算效率. 從時間比值上來看,FEM-PE法對淺海波導下彈性結構聲輻射計算效率更高, 最高的計算效率超出了CWSM的17倍,最低效率倍數也達到了8倍, 整體計算效率比聯合波疊加法提高了一個數量級. 特別是針對波導下結構低頻遠距離聲場計算, 該方法計算效率優勢更為突出.

表2 運行時間對比測試 (單位: min)Table 2. The contrast test of runtime between FEM-PE and CWSM (unit: min).

4 Pekeris波導下彈性圓柱殼聲振特性分析

如圖8所示, 通過該方法建立三維Pekeris波導下有限長彈性圓柱殼聲輻射理論模型. 其中, 海水深度Hwater= 30 m, 海底深度為Hseabed= 60 m,海底PML深度HPML= 100 m, 圓柱殼長為l=10 m,厚度d= 0.01 m, 材料為4340型鋼 (ρs,Es和us分別為材料密度、楊氏模量和泊松比). 由圖可知該理論模型主要由多物理場耦合FEM計算域和聲場PE計算域兩部分組成, 半無限液態海底底部采用較厚的PML模擬無反射邊界, 遠場采用較薄的PML.

4.1 FEM-PE法的三維結構聲源特性分析

由于淺海海面海底對結構源的影響主要表現為上下邊界反射聲會反作用于結構表面, 使結構的激勵條件和周圍流體環境發生改變, 最終影響結構源自身的振動特性. 為了研究淺海上下邊界對結構振動特性的影響規律, 對不同流體環境下圓柱殼的耦合模態頻率進行了對比分析.

表3計算了不同流體環境下彈性圓柱殼各階模態振型(m,n)所對應的耦合頻率, 其中,m和n分別表示周向和軸向的模態數目. 圓柱殼潛深h為半徑的兩倍, 即h=2 m, 自由場流體域四周滿足Smerfield遠場熄滅條件, 半空間上邊界為Dirichlet邊界, 其他邊界滿足Smerfield條件. 可看出, 相對于自由場, 半空間流體域下由于Dirichlet邊界存在, 邊界反射聲使結構表面附連水質量減少, 導致結構各階振動耦合模態頻率較高[15]; 而淺海波導下相對于半空間多了海底界面, 且海底邊界使得結構附連水質量增加, 結構耦合頻率降低, 但由于圓柱殼靠近海面遠離海底, 海底影響較小, 而海面邊界影響起主要作用, 各階振動耦合模態頻率比半空間環境下耦合頻率略低, 比自由場環境下耦合頻率大.

圖8 淺海波導下圓柱殼聲輻射FEM-PE預報模型Fig.8. Model of cylindrical sound radiation used FEM-PE in shallow water.

表3 不同流體環境下圓柱殼耦合模態頻率(單位: Hz)Table 3. Comparison of coupled modal frequency in different fluid environments (unit: Hz).

為了顯示淺海海面和海底對圓柱殼振動特性的影響規律, 圖9計算了Pekeris波導下圓柱殼各階耦合模態頻率隨潛深的變化曲線, 并與自由場下的耦合頻率進行對比. 可看出, 當圓柱殼靠近海面(海底)時, 其耦合頻率比自由場下要高(低), 當潛深達到一定距離范圍后, 淺海波導下圓柱殼耦合頻率與自由場耦合頻率基本趨于一致, 且在該距離范圍內, 隨著頻率增加, 波導下耦合頻率圍繞自由場耦合頻率上下波動的細節增加. 當海底為液態半空間時, 相對于絕對硬邊界, 淺海海底邊界對結構振動的影響作用距離減小. 在文獻[15]中, 具有硬海底的理想淺海環境下耦合頻率與自由場耦合頻率的一致距離區間為海面海底均大于4倍半徑, 即4r≤h≤H-4r; 而Pekeris波導下為距海面距離大于4倍半徑且距液態海底大于2倍半徑, 即4r≤h≤H-2r. 可看出, 液態海底對結構耦合頻率的影響距離減小, 因為在Pekeris波導下, 彈性圓柱殼近場輻射聲場透射到下方液態海底的入射角度較小, 在臨界角內液態海底的界面反射系數并非1,圓柱殼一部分輻射聲能量從海底界面透射到無限大液態海底, 所以液態海底邊界反射聲相對于絕對反射(反射系數為1)硬海底的反射聲較弱, 較小的液態海底反射聲與結構的耦合作用減小, 海底邊界對圓柱殼耦合頻率的影響距離減小.

圖9 耦合模態隨潛深的變化曲線 (a) (4, 1); (b) (4, 2); (c) (6, 1); (d) (6, 2); (e) (6, 3); (f) (6, 4)Fig.9. Curves of coupled modal frequency changed with diving depth: (a) Modal (4, 1); (b) modal (4, 2); (c) modal (6, 1);(d) modal (6, 2); (e) modal (6, 3); (f) modal (6, 4).

4.2 FEM-PE法的聲場特性分析

在Pekeris波導下, 各階簡正波聲傳播頻率可表示為[35]

根據(27)式以及Pekeris波導環境參數計算了該波導中1—6階的簡正頻率, 如表4所列. 可看出第一階簡正頻率即截止頻率為35.52 Hz, 雖然在低于截止頻率下結構也會產生輻射聲場, 但這些輻射聲場為非均勻波, 即隨著距離成指數衰減而無法遠距離傳播, 所以為了進行波導下彈性圓柱殼遠場聲輻射分析, 計算頻率須高于35.52 Hz.

為了清楚地看出Pekeris波導中彈性圓柱殼輻射聲場的整體分布情況, 圖10采用該方法分別計算了50, 100, 150 和200 Hz頻率下圓柱殼在波導二維截面上的輻射場傳播偽彩圖, 截面為圓柱殼軸線方向, 圓柱殼潛深為15 m.

結合表4可看出, 當頻率為50 Hz時, 波導中只包含了一個簡正波模式的聲傳播, 輻射場在二維截面上的分布只出現了一個輻射狀云圖, 并隨著距離按一定規律衰減. 隨著頻率的增加, Pekeris波導中包含的簡正波模式也在增加, 各階簡正波模式相互干涉疊加, 加大了波導中圓柱殼結構輻射聲場干涉結構的復雜性.

圖10 不同頻率下結構聲場傳播偽彩圖 (a) f= 50 Hz; (b) f= 100 Hz; (c) f=150 Hz; (d) f= 200 HzFig.10. Colour maps of structural sound propagation at different frequencies: (a) f= 50 Hz; (b) f= 100 Hz; (c) f= 150 Hz;(d) f= 200 Hz.

雖然Pekeris波導中圓柱殼輻射聲場整體分布與點源聲場分布具有一定的相似性, 但也存在一定的區別. 如圖11所示, 在進行點源(強度)與結構聲功率等效處理之后, 進行了不同頻率下結構輻射聲場與點源聲場的對比. 結構潛深與點源深度均為15 m, 各場點深度為15 m, 場點連線方向為圓柱殼軸線方向. 結合表3 和表4的計算結果, 在頻率為50 Hz的低頻段時, 因為在近場, 輻射聲場空間分布主要受結構輻射直達聲的影響, 海面海底反射聲對結構振動和輻射聲場的影響較小. 且在該頻率下, 結構具有(4, 1), (4, 2), (6, 1), (6, 2)和(6,3)階等少量振動模態, 該頻率下結構近場輻射聲場空間分布曲線的有較小的波動. 達到一定距離(如500 m左右), 結構本身對輻射聲場的影響減小, 上下界面反射聲對聲場疊加的影響占主要部分, 而該頻率下包含一個簡正波模式, 總聲場無不同模態輻射聲與簡正模式的干涉疊加影響, 輻射曲線出現平滑衰減, 衰減規律與相同強度下點源產生聲場分布是一致的. 但隨著頻率的增加, 結構振動模態數增加, 各階模態激勵出的輻射場對總聲場的干涉影響加大, 且隨著頻率的增加, 相對于低頻,頻率較高時需要達到更遠的距離才能降低結構自身對聲場的影響作用, 從而使波導中上下邊界的影響(或上下邊界束縛的簡正波)起主導作用, 才會與點源產生聲場相似的分布規律. 因為總聲場是由結構各階不同強度模態聲場經過波導上下邊界干涉疊加而來的, 所以, 波導中結構輻射總聲場與相同強度下點源聲場在幅值上有一定差異, 這與文獻[17]得出的結論是一致的. 對于結構聲源和點源相似性條件的判據公式, 可以用為結構最大尺寸)近似表示[36].

分析聲場衰減規律能夠更好地掌握淺海波導下聲傳播特性, 典型點源在具有聲吸收的均勻淺海聲傳播過程中, 平均聲強的衰減規律由三部分構成, 即聲強隨距離按-2 次方的球面波衰減區、介于球面波和柱面之間的-3/2 次方規律衰減區和-1次方的柱面波衰減區, 并通過海洋聲傳播理論推導了各個衰減區的距離判據以及傳播損失的分段表達式和半經驗式[35].

同樣, 本文對彈性圓柱殼輻射聲場在Pekeris波導中的傳播特性進行了研究. 如圖12所示, 分別為圓柱殼在不同潛深下的聲壓級隨距離的變化曲線, 各場點深度為15 m, 場點連線方向為圓柱殼的軸線方向. 可看出, 在近場, 因為總聲場主要由不同振動模態結構輻射的直達聲組成, 淺海邊界的影響很小, 聲場干涉復雜而并非出現類似點源的近場球面波衰減規律, 而是在圓柱殼軸線方向上出現了受結構自身振動和幾何尺寸共同影響的近場聲影響區. 隨著距離的進一步增加, 雖然上下界面反射聲已對聲場產生了一定程度影響, 但由結構輻射的直達波仍然還是總聲場的主要貢獻者, 只是隨著距離的增加, 結構的幾何尺寸對聲場的影響減小,即聲場指向性分布減弱, 導致輻射場傳播按球面波衰減規律進行[36]. 當場點距離位于“介于球面波和柱面波”衰減區時, 此時 結構不同模態的輻射聲和上下邊界束縛的簡正波模式共同干涉疊加形成總聲場, 總聲場的波動變化規律較為復雜, 難以給出規律性的描述. 當傳播距離足夠遠以后, 結構的幾何尺寸和模態輻射聲場對總聲場的影響很小, 聲場主要由波導上下邊界限制的有限階數簡正波干涉疊加構成, 各階簡正波均按柱面擴展規律衰減, 當頻率為50 Hz時, 只有一階簡正波, 所以其在柱面波衰減區的輻射曲線是平滑的, 隨著頻率的增加, 總聲場由各階簡正波干涉疊加構成, 增加了結構輻射曲線的波動細節, 但輻射曲線的包絡面(或聲場幅值)仍然按照柱面的規律進行衰減, 即傳播距離每增加一倍, 聲壓級降低3 dB.

圖11 不同頻率下結構輻射聲場與點源聲場對比 (a) f= 50 Hz; (b) f= 100 Hz; (c)f= 150 Hz; (d) f= 200 HzFig.11. Acoustic propagation contrast between structure and point souce at different frequencies: (a) f= 50 Hz; (b) f= 100 Hz;(c) f= 150 Hz; (d) f= 200 Hz.

圖12 不同頻率下結構輻射場傳播特性分析 (a) f= 50 Hz; (b) f= 100 Hz; (c) f= 150 Hz; (d) f= 200 HzFig.12. Analysis of structural sound propagation at different frequencies: (a) f= 50 Hz; (b) f= 100 Hz; (c) f= 150 Hz;(d) f= 200 Hz.

5 總 結

以多物理場耦合FEM理論和聲場計算的PE法為理論基礎, 提出了三維淺海波導中彈性結構輻射聲場以及振動特性研究的FEM-PE法, 建立了三維Pekeris波導下彈性結構輻射聲場和耦合振動的理論模型. 并分別從方法的準確性、收斂性和高效性三個方面重點介紹了該方法進行Pekeris波導中聲輻射以及聲傳播問題研究的優勢后, 進行了三維Pekeris波導中大型彈性圓柱殼的耦合振動和輻射聲場分析, 主要結論如下.

1)本文提出的FEM-PE法, 通過提取距源中心ro處的初始場信息, 便可對三維均勻淺海下任意大型彈性結構中低頻振動聲場的N個2D進行預報研究, 該方法對結構和淺海環境適應性強, 中低頻段下聲場計算效率和精度較高.

2)淺海下結構振動特性受到了周圍流體和上下邊界反射聲的耦合影響, 當圓柱殼靠近海面(海底)時, 其耦合頻率比自由場環境下要高(低), 當潛深達到一定距離范圍 4r≤h≤H-2r后, 淺海下圓柱殼耦合頻率與自由場耦合頻率趨于一致, 且隨頻率增加, 淺海下耦合頻率圍繞自由場耦合頻率上下波動細節增加.

3)彈性結構源在淺海波導下的輻射場(聲壓級)隨距離的變化曲線與相同功率下點源產生聲場的波動曲線在近場區域相差較大, 該區域內不可進行結構源和點源的等效; 達到一定距離后, 圓柱殼輻射聲場在波導中的傳播曲線與點源聲傳播曲線可近似等效.

4)Pekeris波導中彈性圓柱殼輻射場的衰減規律由“近場聲影響區”、“球面波衰減區”、“介于球面波和柱面波的衰減區”和“柱面波衰減區”四個區域構成. 在近場區域, 主要來自于結構振動產生的直達聲的干涉聲場; 隨著距離的增加, 聲場的特征主要體現為直達波按球面波規律衰減; 之后, 是結構直達波和上下邊界反射聲共同干涉疊加的“介于球面波和柱面波之間”的衰減區; 最后, 聲場特征表現為 “柱面波衰減區”.

這些結論為以后方便有效地開展波導環境下彈性結構, 如聲場預報、聲學測量和減振降噪等領域的研究提供了一些新參考, 同時也說明了該方法能夠有效地解決在研究淺海波導下大型彈性結構遠程聲輻射特性時所涉及的計算量大、耦合物理場多和波導環境復雜等問題, 為開展復雜環境下的任意彈性結構聲輻射的研究提供了一種新思路.

特別感謝賓夕法尼亞大學David Bradley教授、哈爾濱工程大學水聲學院黃益旺教授、張海剛副教授對論文提出的寶貴意見.