基于數字非線性鎖相環的相干態相位估計*

徐涵 陳樹新 吳昊 陳坤 洪磊

(空軍工程大學信息與導航學院, 西安 710077)

(2018 年8 月28日收到; 2018 年9 月29日收到修改稿)

基于量子理論獲取相位參數的導航機制, 理論上可以突破經典物理極限對導航精度的限制. 利用量子零拍探測對相干態光場相位進行測量時, 通常需要相位與之正交的本振光才能使測量精度達到量子標準極限.由于導航信號相位的高非線性特點, 想要利用傳統的線性鎖相環獲取完全滿足條件的本振光具有一定的難度. 為此, 本文設計了一種基于容積準則的非線性鎖相環, 實現了在非正交本振光的條件下對相干態相位進行精確測量的功能. 首先, 利用相干態的Wigner函數推導了其相位在量子零拍探測的輸出結果, 設計了量子相位估計的非線性數字鎖相環框架. 然后基于正交單純形容積準則設計了非線性濾波算法實現鎖相環功能,該鎖相環通過對本振相位進行多次狀態更新, 最終實現非線性迭代估計. 實驗結果表明, 本文方法突破了本振光相位需與相干態相位正交的局限性, 避免了傳統量子鎖相環方法引入的線性化誤差, 實現了對相干態相位的準確、穩定估計.

1 引 言

相位估計是導航控制、圖像處理、大氣波導、混沌通信等領域的關鍵問題之一[1-4]. 例如, 在測角定位系統中, 對相位信息估計的精確度直接決定了波達角等參數獲取的精度. 然而, 經典相位的精度在理論上有不可逾越的界限, 成為制約各類參數獲取精度的瓶頸.

近年來, 隨著量子技術的發展, 尤其是對連續變量量子相位測量的研究, 利用相干態相位信息獲取相關參數, 有望獲得超越經典理論極限的精度[5-7].目前, 已有研究通常是將相干態通過量子零拍探測器, 并建立基于相干態光場強度與其相位相關統計量的函數關系來進行相位估計[8,9], 這能夠有效提高相位估計精度[10,11]. Wiseman[12]提出量子反饋測量方案, 即對量子零拍探測器的本振相位進行反饋控制, 從而實現近似正則測量, 并得到了驗證[13].隨后, Berry等[14]提出了相干態光場和壓縮態光場連續變化相位的自適應測量跟蹤方法, 證明了在相位跟蹤中反饋測量優于非反饋測量. Tsang等[15]設計了自適應零拍線性鎖相環對實時相位和瞬時頻率進行測量, 并且在此基礎上將非線性方程進行一階泰勒展開, 利用卡爾曼-布什濾波實現了相位的實時跟蹤[16,17]. 上述方法均是在本振光相位與待測光場相位正交的前提下能夠達到標準量子極限, 如果信號為相位壓縮態光場, 其相位測試精度能夠突破標準量子極限. 然而對于導航信號來說, 相干態相位是未知的, 即使利用自適應鎖相環對本振相位進行調整, 也并不能保證本振相位與相干態相位完全正交, 因此利用上述方法進行線性化處理時, 雖然能簡化相位估計過程, 但也會不可避免地引入線性化誤差, 并且在調整本振相位時帶來了時延, 難以保證波達角等參數的實時獲取, 這對于導航系統來說顯然不合理.

為此, 本文在傳統自適應反饋線性化連續鎖相環的基礎上, 設計了一種基于正交單純形容積卡爾曼濾波的數字非線性鎖相環來實現相干態相位的精確估計. 首先分析相干態相位的量子零拍探測輸出模型, 然后利用AD變換將測量信息進行數字化處理, 再引入數據處理模塊, 得到相位估計的數字鎖相環框架. 設計數字鎖相環的原因在于: 一是導航領域中所需的各類參數信息不一定是連續的, 因而無需估計連續的相位信息; 二是進行數字化更利于鎖相環的實現與算法迭代; 三是可以避免連續數據隱藏的缺陷對模型的影響, 使模型更加穩定. 數據處理中, 為避免線性化誤差, 采用基于容積準則[18,19]的非線性濾波算法. 在標準容積準則的基礎上, 利用正則單純形[20]來構建容積公式, 提高后驗密度的數值積分精度; 然后根據考慮非線性對濾波的影響, 進一步利用正交矩陣將單純形容積點進行變換, 調整非線性高階項的影響, 從而避免局部采樣效應, 得到正交單純形容積卡爾曼濾波(OSCKF).一方面, 上述方法避免了因本振光相位與信號相位無法完全正交引起的誤差, 更易于處理且穩定性更好; 另一方面, OSCKF能夠有效避免各類誤差, 提高量子相位估計精度.

2 非線性量子鎖相環設計

2.1 量子零拍測相

本文利用Wigner函數推導相干態相位在量子零拍探測的輸出模型. 為了得到相干態的Wigner函數, 先分析真空態的Wigner函數. 定義正交分量場式中,a與a+分別是光子湮滅算符與光子產生算符. 由不確定度原理知,x和y的標準偏差滿足

記真空態的正交分量分別為x0和y0, 則其Wigner函數可表示為

從(1)式可以看出,x0和y0的方差均為標準偏差可見真空態是最小不確定度態. 具有平均相位φ的相干態 |α〉 在相空間中可通過沿相位調制x0方向平移真空態得到, 其Wigner函數具體可以寫為:

則零拍輸出η可寫為

由此, 將(7)式進行線性近似可以得到

如果本振相位φf與相干態相位φ較為接近, 則該假設成立, 利用上述線性化模型進行相位估計能夠得到較好的結果. 然而對于導航系統來說, 目標的位置并不確定, 也就是說難以找到相干態相位φ的準確大小. 因此無法保證本振相位φf與相位φ滿足上述假設條件. 如果本振相位與相干態相位相差過大, 則會引入較大的線性化誤差, 甚至導致相位估計失敗.

2.2 非線性數字鎖相環設計

在量子零拍探測基礎上, 本節建立非線性鎖相環框架, 與傳統線性鎖相環不同的是, 這里采用AD變換引入非線性數據處理方法. 該鎖相環能夠突破傳統方法中本振相位需要接近相干態相位的限制要求, 并避免線性化帶來的誤差, 進而實現相位的精確估計.

本文將非線性鎖相環進行離散化的原因在于:在導航系統中, 對各類參數的需求不一定連續, 得到的量測信息通常也是離散的, 因此通過AD采樣得到足夠的量測信息, 即可通過估計的手段得到所需參數. 離散化還可以將數據中隱藏的缺陷得以解決, 使模型結果更加穩定. 例如, 數據中的極端值是影響模型效果的一個重要因素. 極端值導致模型參數過高或過低, 或導致模型被虛假現象“迷惑”,把原來不存在的關系作為重要模式來處理[21]. 而離散化處理可以有效地減弱極端值和異常值的影響.此外, 離散化還有利于數值計算與算法迭代, 增強了物理可實現性.

設計的鎖相環模型如圖1所示. 由真空態進行平移和相位調制得到相干態, 其中D(|α|) 表示位移算符, e xp(iφ) 表示相位調制, 然后將相干態通過初始本振相位為φ的量子零拍探測器得到輸出η, 接著進行AD采樣, 將所得數據送入數據處理模塊(SP)中, 在數據處理后將更新的本振相位反饋給量子零拍探測器, 再重復此過程, 最終能夠得到更為精確的估計結果.

圖1 數字零拍鎖相環Fig.1. Digital homodyne phase-lock loop.

在所得鎖相環框架的基礎上, 在SP模塊設計一種針對非線性模型的算法進行數據處理, 從而實現鎖相環對相干態相位估計的功能. 因此, 所設計算法的好壞也會影響鎖相環的相位估計性能.

3 基于正交單純形容積準則的量子相位估計算法

得到數字零拍鎖相環框架后, 問題就轉化為將零拍數據離散化, 進而利用SP模塊實現相干態相位估計. 對于離散非線性估計問題, 通常將非線性模型線性化, 并采用擴展卡爾曼濾波(EKF), 然而從(9)式可知, 量測模型是三角函數, 其非線性程度較高, 因此采用EKF會違背局部線性假設, 從而造成較大的線性化誤差, 甚至導致濾波發散. 為此, 這里引入正交單純形容積卡爾曼濾波(OSCKF)方法, 利用正交單純形三階球面徑向容積準則, 計算相位信息對應的后驗密度, 從而在不進行非線性模型泰勒展開、不引入線性化誤差的前提下實現對相位φ的精確實時估計.

3.1 系統模型和容積卡爾曼濾波框架

在SP模塊中, 分別建立狀態方程和量測方程為

其中狀態向量φk為k時刻的相位信息, 狀態轉移矩陣F=1 , 這里假定不含過程噪聲, 即vk=0 . 量測方程中,ηk是k時刻量子零拍探測的量測值為量測噪聲, 服從均值為零的高斯白噪聲.

CKF利用三階球面徑向容積準則進行數值積分, 從而近似后驗密度對應的高維積分[22]. 其容積點可表示為其中Inφ為nφ維 單 位 矩 陣 ,代 表 矩 陣的 第j列 ,j=1,2,···,2nφ. 在本問題中, 濾波過程如下.

1) 時間更新

2) 測量更新

對Pk|k-1 進行柯西分解得到容積點φj,k|k-1

3) 根據觀測方程傳播容積點

狀態向量更新為

協方差矩陣更新為

3.2 正交單純形容積卡爾曼濾波

考慮nφ維正則單純形, 可建立三階球面單純形容積準則[22], 其容積點可表示為

其中

為進一步提高濾波精度, 需要分析非線性對濾波的影響. 無跡卡爾曼濾波 (UKF)中, 尺度因子可以用來調節非線性對濾波的影響, 而基于容積準則的濾波方法沒有相應的可調參數, 且容積點對稱而無中心點, 這樣均值估計與容積點之間有一定距離, 容易導致非局部采樣效應[23], 進而影響濾波精度.

事實上, 假設A為正交矩陣, 則將容積采樣點進行正交變換后, 其仍然符合數值積分公式. 也就是說, 可以利用正交變換來調節高階項對濾波的影響. 于是問題就轉化為構建合適的正交矩陣, 使得變換后的單純形容積點能夠有效降低高階干擾項對濾波的影響.

構建nφ ×nφ正交矩陣, 其中

將單純形容積點列利用正交矩陣 進行變換,得到正交單純形容積點

這樣, 就能利用正交變換來減小非線性影響程度, 從而提高濾波精度. 將(25)式中新的容積點及其權重代入(12)—(21)式中, 即可得到OSCKF算法.

根據圖1和(12)—(21)式, 得到完整的基于量子相位測量的非線性鎖相環結構, 如圖2所示.

圖2 基于OSCKF算法的量子非線性數字鎖相環Fig.2. Digital quantum nonlinear phase-lock loop based on OSCKF algorithm.

如圖2所示, 首先輸入一個本振相位, 通過OSCKF算法迭代解算出相干態相位然后將本振相位設為再解算相干態相位不斷重復該過程, 本振相位將會逐漸逼近相干態相位, 從而實現鎖相環的功能. 需要強調的是, 該方法并沒有要求本振相位初始值接近相干態相位, 也能實現相干態相位的精確估計.

4 實驗驗證與分析

由于相干態經過零拍探測后可看作是經典信號加上高斯噪聲[16], 且主要考察鎖相環的有效性,為此, 在實驗驗證過程中, 將采用直接模擬經過零拍后的經典信號, 取代構建真實物理實驗平臺的方法. 假設系統中相干態平均相位量測噪聲服從均值為0, 方差的高斯分布. 則當初始本振相位φ=0 時, 連續對1000個采樣數據進行觀察, 由(9)式可得零拍數據, 如圖3所示, 圖中測量值的抖動是由于噪聲即真空波動引起的.

圖3 零拍數據示意圖Fig.3. Homodyne data schematic diagram.

為了驗證所提方法即使在不滿足初始本振相位接近相干態相位的條件下, 也能精確估計相干態相位, 分別設置7個不同的初始本振相位進行實驗, 每次實驗仿真次數為200次, 取每次仿真第100次本振相位更新值作為最終相干態相位估計值, 計算200次仿真結果的平均誤差為

其中L為實驗仿真次數,為每次實驗第100次迭代后的估計值. 實驗結果如圖4所示.

圖4 不同初始本振相位下所提方法的性能Fig.4. Performance comparison of phase-locked loop in different local oscillator phase.

如圖4所示, 在其他條件相同的情況下, 不同初始本振相位下的相位估計結果相差并不大, 其中最高平均誤差和最低平均誤差只相差0.0016, 這說明所提方法的相位估計精度并沒有受到初始本振相位設置的影響, 突破了傳統自適應反饋量子相位測量需要保證本振相位和真實相位相差不大的限制.

為驗證基于OSCKF算法的數字非線性鎖相環的精確性, 利用EKF以及CKF算法實現鎖相環相位估計, 并將結果進行對比. 定義平均均方根誤差為

為保證比較的合理性, 假定各算法的初始條件相同, 將Monte-Carlo實驗仿真次數L和每次實驗迭代次數k設為100次.令初始協方差P=2 , 本振相位φ=0 . 各算法的收斂曲線如圖5所示.

圖5 各算法誤差收斂曲線Fig.5. Convergence curve of various algorithms.

從圖5可以看出, 隨著迭代次數的增加, 所有算法的相位估計誤差都趨于收斂. 其中 EKF將非線性模型線性化, 雖然處理方式簡單, 但會引入較大的線性化誤差, 因此收斂速度和最終精度均低于基于容積準則的方法, 而OSCKF算法由于引入了單純形容積準則, 且利用正交變換進一步調節了非線性對濾波的影響, 因此比傳統CKF算法精度更高. 此外, 從仿真實驗發現, 采用EKF進行相位估計結果容易發散, 這說明EKF方法穩定性較差.本文所提方法穩定性相對更好, 且能更快收斂, 與EKF方法相比, 平均誤差降低了60%. 此外, 本文的狀態模型是線性的, 而所設計的鎖相環對于高非線性狀態模型, 尤其是導航中的高非線性運動狀態, 有望獲得更好的效果. 因此, 設計非線性數字鎖相環, 并采用正交單純形容積準則, 不僅能夠突破本振相位需要接近相干態相位的限制要求, 更能有效避免線性化誤差, 提高相干態相位估計精度.

5 結 論

在利用量子零拍探測對相干態相位進行估計時, 對本振相位和相干態相位有嚴格限制要求. 如果本振相位不滿足接近相干態相位的假設條件, 則非線性測量模型在進行線性化時會造成較大的誤差. 針對該問題, 設計了一種數字非線性鎖相環,并提出OSCKF算法實現了鎖相功能. OSCKF算法利用球面徑向容積準則做數值計算近似高維積分, 可以有效避免模型線性化帶來的誤差, 同時減小了由于量測模型的高非線性帶來的局部采樣效應對精度的影響. 從仿真實驗結果可以得出該鎖相環算法利用不滿足假設條件的本振相位也能得到相干態相位, 且數值穩定, 誤差更小, 能夠實現相干態相位的精確估計, 實用性更好. 下一步, 將在此鎖相環精確估計的基礎上, 實現對連續變化量子相位的精確跟蹤, 并對噪聲為非高斯的情況做進一步的研究.