采用躍度模型和干擾估計的并聯(lián)式加注機器人分散魯棒控制

趙純,于存貴,徐強,姚建勇

(南京理工大學機械工程學院,210094,南京)

液壓驅動型并聯(lián)機器人因具有剛度大、精度高、自重載荷比小和響應速度快等優(yōu)點,在運動模擬器、空間對接模擬裝置和虛擬現(xiàn)實設備中得到了較廣泛的應用[1]。然而,由于并聯(lián)機器人本質上是一個時變、多變量和強耦合的非線性系統(tǒng),其高性能控制器設計是一個難點[2-4]。目前針對并聯(lián)機器人的控制方法主要分為兩類:一類是基于動力學模型多輸入多輸出形式的集中控制策略;另一類是基于獨立關節(jié)的分散控制策略[5]。理論上,集中控制策略在進行算法設計時通過系統(tǒng)狀態(tài)的集中反饋,能充分利用系統(tǒng)的動力學模型信息來獲得更好的控制性能,但由于存在模型解算復雜、暫態(tài)性能描述困難、系統(tǒng)空間位姿難以直接檢測等問題,因此直接影響了該方法在實際中的應用。

不同于集中控制策略,分散控制策略將系統(tǒng)關節(jié)間的交聯(lián)耦合項處理為各驅動器受到的外部干擾,從而把集成的動力學系統(tǒng)分解為一組受有界擾動的互聯(lián)關節(jié)子系統(tǒng),進而針對各獨立關節(jié)設計高性能控制器[6-7]。該控制策略由于僅依賴于獨立關節(jié)各自狀態(tài)參數(shù)的反饋,因而算法結構簡單,但是其也引入了一個新的問題,即如何有效處理強外部擾動(耦合交聯(lián)項)對關節(jié)控制帶來的影響。

為了克服強外部干擾和不確定非線性對控制性能的影響,干擾觀測器(DOB)被引入強擾動場合的控制研究中[2,8-15]。該方法的主要思想是通過在控制器中引入干擾觀測器來實現(xiàn)對擾動的精確估計和補償,進而減小其對關節(jié)控制性能的影響[2],其中最具代表性的是由文獻[8]提出的一種基于非線性擴張狀態(tài)觀測器的自抗擾控制策略(ADRC),其核心理論是使用一種擴張狀態(tài)觀測器(ESO)來估計廣義擾動并對其進行前饋補償。進一步地,基于ADRC的思想,文獻[11]提出了一種基于線性擴張狀態(tài)觀測器(LESO)的自抗擾控制策略(LADRC),文獻[12]證明了其穩(wěn)定性。研究表明,通過調節(jié)觀測器的帶寬可使ESO對擾動的觀測誤差趨于任意小[12]。由于良好的觀測性能,目前ESO在機器人的分散控制領域中已得到了廣泛的應用[6-7,16-18]。

雖然針對并聯(lián)機器人的分散控制取得了較多成果,但是有兩個問題仍值得考慮:①在實際應用中,系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃一般是針對末端執(zhí)行器基于笛卡爾空間展開的,而分散控制器則基于各關節(jié)的理想期望軌跡進行設計,故產生了高階連續(xù)期望軌跡在笛卡爾空間和關節(jié)空間的軌跡映射問題。文獻[16-18]針對并聯(lián)機器人的分散控制,采用位置反解結合跟蹤微分器的方法用以生成關節(jié)參考軌跡及其各階導數(shù)。文獻[19-20]則采用位置軌跡結合高階濾波器的方法來生成高階期望軌跡。但是,由于微分濾波器的時延和衰減特性,將造成理想期望軌跡在一定程度上的失真。②目前機器人的分散控制中,擾動觀測器只能針對關節(jié)的不匹配不確定性(外干擾)進行估計[6-7,16-18],然而當關節(jié)的匹配不確定性存在較大擾動時,現(xiàn)有的關節(jié)分散控制器并不能實現(xiàn)對其精確觀測和補償。

基于以上分析,本文以應用于某運載火箭的液壓驅動型并聯(lián)式加注機器人為研究對象,針對其高精度空間軌跡跟蹤控制問題,提出了一種基于并聯(lián)機器人躍度反解模型和關節(jié)干擾估計的分散魯棒控制策略。通過建立并聯(lián)機器人的躍度反解模型,將并聯(lián)機器人基于笛卡爾空間高階連續(xù)的理想期望軌跡映射為各獨立關節(jié)的期望軌跡,同時在各獨立關節(jié),通過設計兩個線性擴張狀態(tài)觀測器(LESO)實現(xiàn)對關節(jié)中匹配和不匹配不確定性的同步估計和補償,進而提升了系統(tǒng)的控制精度和抗干擾能力,并通過實驗驗證了控制器的有效性。

1 系統(tǒng)建模與問題描述

1.1 系統(tǒng)總體布局

應用于某運載火箭的并聯(lián)式自動燃料加注機器人的總體結構如圖1所示,其主要由液壓驅動型三平動3-PSS并聯(lián)機器人[21]和彈簧支鏈型六自由度柔順對接機構[22]組成。3-PSS并聯(lián)機器人的結構主要包括定平臺(基座)、動平臺、3組呈空間120°對稱分布的滑桿-連桿支鏈以及3個液壓驅動器。每組支鏈中,兩根滑桿通過連接塊實現(xiàn)固連,進而組成滑桿組件,并通過直線軸承安裝在定平臺上;兩根連桿呈平行等長狀態(tài),各桿兩端分別通過自制高精度球鉸鏈與動平臺和連接塊相連,構成平行四邊形結構。滑桿組件在液壓驅動器的作用下進行前后向移動(兩者構成P副),進而實現(xiàn)動平臺在笛卡爾空間的三維平動。六自由度柔順對接機構在3-PSS并聯(lián)機器人的驅動下實現(xiàn)與箭體的對接和隨動。關于3-PSS并聯(lián)平臺的具體運動特性分析可參考文獻[21,23]。

1:定平臺(基座);2:液壓缸(1,2,3);3:滑桿;4:連接塊;5:球鉸鏈;6:連桿;7:動平臺;8:負載(柔順對接機構);9:直線軸承圖1 并聯(lián)式加注機器人結構示意圖

1.2 3-PSS機構躍度反解建模

由于每組支鏈中兩根連桿的運動規(guī)律相同,參考文獻[23]可知,在對3-PSS并聯(lián)機構進行運動學分析時,可將系統(tǒng)簡化成如圖2所示的單連桿等效模型。連桿兩端通過T副(虎克鉸)與P副(滑動副)和動平臺相連,其與原機構具有相同的自由度。

圖2 3-PSS平臺等效機構示意圖

如圖2所示,在動平臺和基座中心點分別建立固定參考坐標系o-xyz和動平臺連體參考坐標系o′-x′y′z′。

假設1并聯(lián)機器人在笛卡爾空間的期望軌跡滿足xd(t)∈C3,yd(t)∈C3,zd(t)∈C3且有界。

1.2.1 位置反解建模 定義動平臺中心點o′在固定坐標系中的位矢為r,則有

r=Ai-Bi+qi·e3+L·ni

(1)

式中:qi和e3=[0,0,1]T分別為液壓桿的伸縮量和伸縮方向單位矢量;L和ni分別為等效連桿長度及其單位方向矢量。由式(1)整理可得

(2)

1.2.2 速度反解建模 由式(1)可得

ni=1/L·[r-(Ai-Bi)-qi·e3]

(3)

將式(1)兩端關于時間求導,得o′的速度為

(4)

式中wi為支鏈i的角速度。

對式(4)兩端左點乘ni,有

(5)

整理可得驅動器i的速度為

(6)

式中

對式(4)兩端左叉乘ni,有

(7)

(8)

等效連桿i的質心速度可以表示為

(9)

將式(16)代入式(9)整理得

(10)

1.2.3 加速度反解建模 將式(4)兩端關于時間求導,得o′的加速度為

(11)

對式(11)兩端左點乘ni,有

(12)

整理可得驅動器i的加速度為

(13)

式中

對式(11)兩端左叉乘ni,有

ni×[L·wi×(wi×ni)]

(14)

(15)

1.2.4 躍度反解建模 將式(11)兩端關于時間求導,得

(16)

對式(16)兩端左點乘ni,有

(17)

整理可得驅動器i的躍度為

(18)

式中

基于式(2)(6)(13)和(18),可實現(xiàn)系統(tǒng)在笛卡爾空間和關節(jié)空間的期望軌跡映射。

1.3 液壓驅動器建模

關節(jié)液壓驅動器示意圖如圖3所示。根據(jù)文獻[23],3-PSS并聯(lián)機構基于笛卡爾空間的動力學方程可以描述為下述形式

(19)

式中:τ為液壓缸的驅動力向量;J為系統(tǒng)的雅克比矩陣;χ為動平臺中心點的空間位置矢量;M、C、G、D分別為系統(tǒng)在笛卡爾坐標系下的慣性矩陣、離心和哥氏力矩陣、重力項和系統(tǒng)干擾與建模誤差項。

圖3 關節(jié)液壓驅動器示意圖

參考文獻[24],可以將動力學方程(19)改寫成基于關節(jié)空間坐標系下的形式

(20)

動力學模型(20)有如下性質[2,25]。

性質1矩陣M′(q)為對稱正定矩陣,同時存在常數(shù)μmax>μmin>0、cH>0和cG>0,使得下面各式成立

(21)

式中I為3階單位矩陣。

假設2建模誤差項D′(q)有界,同時其一階導數(shù)存在且有界。

結合性質1和假設2,可知存在非負常數(shù)β1、β2和β3,使得下述不等式成立[2,25]

(22)

將式(20)分解為一組受有界擾動關節(jié)子系統(tǒng)的集合,可得各驅動器輸出力的動力學平衡方程為[26]

(23)

結合式(22)和(23),可知存在非負常數(shù)βi1、βi2和βi3,使得下式成立

(24)

注1考慮到液壓驅動器的輸出q是有界的,同時結合假設2可知,關節(jié)輸出驅動力τim有界,同時其一階導數(shù)存在且有界。

考慮到液壓驅動器的動態(tài)特性,同時結合式(23),各驅動器的動力學方程可以建模為[27]

(25)

式中:Pi1和Pi2是液壓缸兩腔壓力;A1和A2為兩腔的有效作用面積;Bi為液壓缸的理想摩擦系數(shù);dfi為液壓缸的建模誤差項。

忽略液壓缸的外泄漏,則液壓缸兩腔的壓力動態(tài)方程為[27]

(26)

式中:Vi1=Vi01+A1qi、Vi2=Vi02-A2qi分別表示液壓缸兩腔的有效容積,其中Vi01和Vi02分別為兩腔的初始容積;βe為油液彈性模量;Cit為內泄漏系數(shù);Qi1和Qi2分別為液壓缸的兩腔流量;PiL=Pi1-Pi2為液壓缸兩腔壓差;pid1和pid2分別為液壓缸兩腔的壓力動態(tài)建模誤差。Qi1和Qi2可分別定義為[27]

(27)

式中:ku為伺服閥總的流量增益;Ps為油源壓力;Pr為回油壓力;s(ui)定義為

(28)

(29)

式中

fi1=kuβe(Ai1Ri1/Vi1+Ai2Ri2/Vi2);bi=Bi/mi

di2(xi,t)=-(τim+dfi)/mi

di3(xi,t)=βeAi1pid1/Vi1-βeAi2pid2/Vi2

為便于控制器設計,做如下假設。

假設3液壓系統(tǒng)在一般工況下工作,即各液壓缸的兩腔壓力滿足0

假設4關節(jié)不匹配不確定性dfi(t)與關節(jié)匹配不確定性di3(t)有界,同時其一階導數(shù)存在且有界,即有

|dfi(t)|≤δim;|di3(t)|≤βi5

(30)

式中δim和βi5均為已知有界非負常數(shù)。

結合式(24)(29)和(30),可以得到

(31)

控制器設計目標:對于給定的笛卡爾空間理想期望軌跡rd,通過躍度模型得到各關節(jié)的期望軌跡qid,進而設計有界的控制輸入ui,使得各驅動器的輸出qi盡可能地跟蹤qid,從而實現(xiàn)系統(tǒng)在笛卡爾空間的軌跡輸出r對rd的高精度跟蹤。

2 控制器設計

2.1 關節(jié)擴張狀態(tài)觀測器設計

(32)

(33)

基于式(32)和(33),針對擾動xie1和xie2可分別設計如下擴張狀態(tài)觀測器

(34)

(35)

(36)

引理1[12]由于si1(t)和si2(t)均有界,因此所有的狀態(tài)估計均有界,同時存在常數(shù)σij>0和有限時間T1>0,使得

(37)

式中c為正常數(shù)。

注2通過調節(jié)觀測器參數(shù)ωie1和ωie2,可以使觀測誤差在有限時間內趨于足夠小的值。

(38)

由式(38)和引理1,可得關節(jié)擾動觀測誤差具有如下特性

(39)

至此,基于關節(jié)擾動估計(34)和(35),原關節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)方程(29)可以改寫為如下動力學解耦形式

(40)

2.2 基于ESO的關節(jié)分散魯棒控制器設計

步驟1定義誤差變量

(41)

將zi2進行微分,同時結合式(40),可得

(42)

設計αi2為xi3的虛擬控制量,其結構形式如下

(43)

式中:αi2a為基于模型的前饋補償項;αi2s為魯棒控制項;ki2s1>0為設計常數(shù)。

定義虛擬控制輸入αi2與xi3之間的偏差為zi3=xi3-αi2,同時將式(43)代入式(42),可得

(44)

設計αi2s2滿足如下條件

(45)

式中εi2>0為可任意小的設計參數(shù)。

(46)

式中ki2s2>0為非線性控制增益。

步驟2對zi3關于時間微分,同時結合式(40)和(43),有

(47)

(48)

(49)

式中:uia為基于模型的前饋補償律;uis為魯棒控制律;ki3s1>0為設計常數(shù)。

將控制器式(49)代入式(47),可得

(50)

設計uis2滿足如下條件

(51)

式中εi3>0為可任意小的設計參數(shù)。

(52)

式中ki3s2>0為非線性控制增益。

2.3 主要結果

定理1選擇合適的參數(shù)ki1、ki2和ki3,使得如下矩陣Λi為正定陣

(53)

則控制器式(49)滿足閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號均有界,且定義如下的Lyapunov函數(shù)

(54)

滿足如下的不等式

(55)

式中:ξi=εi2+εi3;μi=2λmin(Λi)min{1,1/mi,1},λmin(Λi)表示矩陣Λi的最小特征值。

證明對式(54)兩端求導,可以得到

(56)

則由對比原理[28]可以得出

(57)

3 實驗分析

3.1 實驗建立

為了驗證本文所提出的控制策略的有效性,建立如圖4所示的實驗平臺,其中液壓驅動器主要包括以下幾個部分:行程為400 mm的單出桿液壓缸;型號為Atos DLHZO-TEB-SN-NP-040-L71的比例伺服閥,其在7 MPa壓差下的額定流量為40 L/min;型號為MTS R系列高精度磁致伸縮位移傳感器,精度為±25 μm;型號為MEAS M5200-C00002-250BG的壓力傳感器,精度為0.1 MPa。控制系統(tǒng)硬件采用基于Matlab/xPC技術的方案,其中AD采集和DA輸出均采用16位NI PCI-6229板卡(32路輸入4路輸出)。控制系統(tǒng)采樣時間為1 ms。

圖4 液壓驅動型并聯(lián)式加注機器人實驗平臺

關節(jié)液壓驅動器主要系統(tǒng)參數(shù)的名義值為:mi=3 kg,Ai1=1.26×10-3m2,Ai2=6.4×10-4m2,Vi01=1.2×10-4m3,Vi02=2.96×10-4m3,Ps=10 MPa,Pr=0.08 MPa,Bi=45 N·s/m,βe=2×108Pa,Cit=9×10-12m5/(N·s),ku=3.6×10-8m4/(s·V·N1/2)。

為了驗證本文所設計控制器的有效性,選取以下3種控制策略進行試驗對比。

(1)基于干擾估計的分散魯棒控制器(DRCESO)。控制器參數(shù)設計為ki1=800,ki2=500,ki3=300;擾動觀測器參數(shù)選為ωie1=45,ωie2=35。

(2)關節(jié)直接魯棒控制器(DRC)。相比DRCESO,DRC控制器中不包含關節(jié)擾動補償項。控制器參數(shù)為ki1=800,ki2=500,ki3=300,ωie1=0,ωie2=0。

(3)速度前饋PID控制器(VFPID)。控制器參數(shù)設計為kip=1 200,kii=600,kid=2,速度前饋增益為kiv=10 V·s/m。

此外,為了更好地衡量不同控制器的性能,定義如下兩個關于跟蹤誤差的指標來評價各控制器的有效性。

(1)為了評價控制器跟蹤精度性能,定義跟蹤誤差最大絕對值指標

(58)

式中N是所記錄的采樣信號數(shù)。

(2)為了度量跟蹤誤差的平均水平,定義平均跟蹤誤差指標

(59)

3.2 實驗結果對比

假設動平臺中心點在笛卡爾空間的期望軌跡為

(60)

分別針對上述3種控制策略展開實驗。圖5、圖6分別是系統(tǒng)在笛卡爾空間和關節(jié)空間中的理想期望軌跡曲線。圖7～圖12分別顯示了3種控制算法在笛卡爾空間和關節(jié)空間對給定曲線的軌跡跟蹤誤差。在最后兩個運動跟蹤周期(46～50 s)中,各控制器在各軸向上的軌跡跟蹤性能如表1所示。

圖5 笛卡爾空間期望軌跡

圖7 DRCESO工作空間跟蹤誤差

圖8 DRCESO關節(jié)空間跟蹤誤差

圖9 DRC工作空間跟蹤誤差

圖10 DRC關節(jié)空間跟蹤誤差

圖11 VFPID工作空間跟蹤誤差

圖12 VFPID關節(jié)空間跟蹤誤差

評估對象指標控制器DRCESODRCVFPIDx軸Me1.4412.9452.263μ0.7931.4661.102y軸Me0.4210.7270.496μ0.2310.2980.247z軸Me0.3080.4780.313μ0.1450.2280.158驅動器1Me0.8651.4121.373μ0.4010.6850.654驅動器2Me0.1940.4060.298μ0.0910.1720.146驅動器3Me0.8231.4681.255μ0.3710.6780.619

由實驗結果可知,DRCESO控制器無論在關節(jié)空間還是笛卡爾空間都取得了最優(yōu)的軌跡跟蹤控制精度。這是由于DRCESO控制器引入了干擾觀測器,實現(xiàn)了對關節(jié)中存在的擾動進行精確的估計和補償,從而有效地減小了外部時變擾動對關節(jié)控制的影響。值得注意的是,VFPID控制器的性能優(yōu)于DRC控制器,這是因為VFPID控制器采用了較高的反饋增益,同時速度前饋的引入也使得控制器中包含了一部分模型信息。同時,從關節(jié)空間和笛卡爾空間的軌跡跟蹤誤差對比可以發(fā)現(xiàn),并聯(lián)機器人在關節(jié)空間和笛卡爾空間存在非線性的控制誤差放大作用。另外,y軸和z軸的跟蹤誤差表明,并聯(lián)機器人在空間各自由度之間存在強耦合關系。

為了更好地驗證觀測器的性能,本文通過ADAMS軟件計算各液壓驅動器所受外干擾(不匹配不確定性)的名義值,并將其與ESO的觀測結果進行對比,結果如圖13所示。很明顯,ESO擾動觀測結果與名義值趨勢大體一致,但是觀測值與名義值之間有一定差值。這是由于關節(jié)不匹配不確定性中不僅包含外干擾,同時還存在系統(tǒng)建模誤差與其他未建模擾動,這從一個側面驗證了本文ESO觀測器的有效性。圖14顯示了ESO對系統(tǒng)匹配不確定性的干擾估計情況。

圖13 三液壓缸不匹配不確定性估計

圖14 三液壓缸匹配不確定性估計

圖15 DRCESO控制器控制輸入電壓

當采用DRCESO控制器時,3個液壓驅動器的控制輸入電壓和油缸的兩腔油壓情況分別如圖15和16所示。易見,無論是控制輸入電壓還是油缸的兩腔油壓都處于有界且合理的范圍之內。

圖16 DRCESO控制器三缸兩腔油壓

4 結 論

本文針對一種液壓驅動型并聯(lián)式加注機器人的空間軌跡跟蹤控制問題,提出了一種基于并聯(lián)機器人躍度模型和關節(jié)擾動估計的分散魯棒控制策略。通過躍度反解模型實現(xiàn)了并聯(lián)機器人基于笛卡爾空間和關節(jié)空間的高階連續(xù)期望軌跡映射,可有效避免傳統(tǒng)方法在期望軌跡生成過程中可能產生的失真現(xiàn)象。同時,將各關節(jié)間的耦合交聯(lián)項處理為各驅動器的外部干擾,并將其與關節(jié)建模誤差統(tǒng)一視為不匹配不確定性,進而將系統(tǒng)分解為一組受有界擾動的關節(jié)子系統(tǒng)的集合。通過在關節(jié)設計兩個線性擴張狀態(tài)觀測器,實現(xiàn)了對關節(jié)匹配與不匹配不確定性的同步精確估計和補償,可使控制器不通過高增益反饋而達到處理關節(jié)強干擾的目的。實驗研究表明,本文所設計的擾動觀測器能準確估計出系統(tǒng)中存在的匹配與不匹配不確定性,同時控制器擁有良好的軌跡跟蹤性能和較強的抗干擾能力。另外,該方案無需系統(tǒng)完整的動力學模型,控制器結構簡單可靠,具有很好的工程應用前景。