基于有限元極限上限法的含軟弱夾層邊坡穩定性分析

皮曉清，李亮，唐高朋，張銳，趙煉恒

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基于有限元極限上限法的含軟弱夾層邊坡穩定性分析

皮曉清，李亮，唐高朋，張銳，趙煉恒

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

由于軟弱夾層的存在通常會使得邊坡更易發生失穩破壞，通過引入考慮強度折減法的有限元極限分析上限法，構建含軟弱夾層邊坡穩定性分析的非線性規劃模型，并采用可行弧內點算法與網格自適應方法進行優化求解，獲得不同軟弱夾層的厚度、傾角、深度以及軟弱夾層與周圍土體的相對強度影響下的邊坡安全系數及破壞模式。研究結果表明：軟弱夾層的厚度、傾角、深度以及相對強度對邊坡安全系數及滑裂面位置的影響顯著；但當軟弱夾層的深度和相對強度增大到一定值時，邊坡穩定性不再受其影響。本文結果與已有文獻的結果吻合較好。

邊坡穩定性分析；軟弱夾層；極限分析上限法；安全系數

軟弱夾層是巖體中的不連續面，由于其物理力學性質差，不論厚薄，都會給工程建設帶來一系列問題，常成為地下洞室、邊坡穩定、壩基和壩肩抗滑穩定等的控制性弱面[1]。邊坡中的軟弱夾層也是造成實際滑坡的主要因素之一[2?5]。因此，對含軟弱夾層邊坡的變形機理、破壞特征及穩定性展開研究具有重要的現實意義。目前含軟弱夾層邊坡穩定性分析方法主要有：極限平衡法[4?5]，彈?塑性有限元法[4, 6]和極限分析法[8?13]等。其中極限分析方法，由于其明確的物理意義和嚴格的解答范圍[7]，在邊坡穩定性分析方面得到了廣泛的應用[2?13]。它的引入為含軟弱夾層邊坡穩定性分析提供了較為嚴密的理論依據，傳統極限分析方法采用組合機構來構建軟弱夾層邊坡破壞模型，這往往需要對組合破壞模式進行假定[9?10]，由于含軟弱夾層邊坡破壞的復雜性，常造成破壞模型的假定不完全符合實際情況。有限元極限分析方法可以彌補上述方法的不足。其優勢在于，極限分析方法的引入為邊坡穩定性分析提供了嚴密的理論基礎；采用有限元的形式，便于控制計算域內強度參數及外部荷載的分布形式，使得非均質材料，復雜荷載條件和幾何構造下的邊坡穩定問題研究更加簡便[14]。對于含軟弱夾層邊坡，劉小麗等[8]提出一種用于含軟弱夾層邊坡降雨入滲穩定性極限分析上限法；黃茂松等[9]采用極限分析上限法，基于轉動?平動組合破壞機構，進行含軟弱夾層邊坡的穩定性分析；湯祖平等[13]提出改進的轉動?平動組合破壞機構和便于工程應用的直線滑動破壞機構進行穩定性研究。上述文獻均是研究簡單含單一軟弱薄夾層穩定性上限分析，但是在破壞模式中假設軟弱薄層為一條直線，沒有考慮軟弱夾層厚度的影響。另外對含軟弱夾層邊坡穩定性分析時也未考慮軟弱夾層的傾角、其與土體相對強度以及厚度的對邊坡穩定性的影響。基于以上原因，本文在文獻[15]的基礎上引入強度折減技術，以獲得通用的安全系數來對含軟弱夾層邊坡穩定性進行評估分析，對比以往的經典案例，來驗證其有效性和適用性。進一步以含單一軟弱夾層邊坡為例，探討軟弱夾層的厚度，傾角及其與土體相對強度與深度變化對邊坡安全系數及滑裂面位置的影響規律。以期拓展該方法在含軟弱夾層邊坡穩定性分析領域的應用。

1 含軟弱夾層邊坡穩定的上限法數學模型構建簡介

邊坡穩定的上限法數學規劃模型是通過有限元上限分析法將尋找機動相容速度場問題轉化為相應數學規劃問題，并通過計算機自動搜索復雜條件下的速度場。其基本思路為：引入速度間斷線對邊坡進行三角形單元離散，以單元節點位移速度為未知量，根據上限定理相關的約束條件和待優化的邊坡穩定目標函數，可建立相應的邊坡穩定的上限法數學規劃模型。最后，采用適當的數學規劃算法進行求解，獲得目標函數的最優解答。由于篇幅限制，相關網格劃分、優化計算和程序實現部分內容可參考文獻[15?19]，以下僅對含軟弱夾層邊坡模型構建，強度折減技術的引入進行說明。

1.1 含軟弱夾層邊坡數值模型的構建

本文采用含單一軟弱夾層邊坡的模型，其計算網格劃分以及邊界條件，如圖1所示。

圖1 有限元上限法計算網格和邊界條件

其中：和分別代表水平和豎直方向，邊界約束條件是：左右兩側以及下側邊界在水平和豎直方向速度均為0，其余臨空面均為自由界面。含軟弱夾層邊坡各區域土體為均質各向同性理想彈塑性材料，服從Mohr-Coulomb屈服準則。對不同網格計算區域賦予不同的強度參數來表征土體和軟弱夾層特性。特別地，對于平面應變問題，摩爾庫倫破壞準則難以滿足連續光滑的要求，因此，本文采用雙曲線型近似摩爾庫倫破壞準則，詳見文獻[20]。

1.2 強度折減技術的引入

已有的有限元極限分析法中往往是通過對土體內重力荷載或者外荷載進行優化獲得荷載因子 (超載系數0)來體現邊坡的安全儲備，未能給出通用的安全系數(F)。基于此，本文在已有研究基礎上，引入強度折減技術實現對土體強度參數的折減，以獲得邊坡極限狀態下的安全系數，其求解思路類似于參考文獻[14]和[18]。其流程圖如圖2所示。

圖2 安全系數計算流程圖

首先設置一個初始安全系數s0=1，用折減后的剪切強度參數c0和φ0替代初始的和，然后進行優化求解獲得UB0以及對應的超載系數0=UB0/，其中，UB0為優化后的土體自重，為土體實際自重。倘若01.0，令Δs=?(可根據實際情況進行調整，一般設置為0.1)，反之則令Δs=；此時得到更新的s1=s0+Δs，再進行折減得新的折減后剪切強度參數c1和φ1替代原有c0和φ0，然后進行優化求解獲得UB1以及對應的超載系數1=UB1/。倘若(0?1)(1?1)＞0，則令01，s0=s1，重復計算。直至(0?1)(1?1)＜0，此時，最終的安全系數s可通過線性插值獲得為：s=s0+(s1?s0) (0?1)/(0?1)。

2 含軟弱夾層邊坡對比計算與分析

圖3為含軟弱夾層邊坡，其計算范圍和邊界條件與文獻[9]完全相同，其中各土層材料的強度參數如表1給示。

單位：m

表1 各土層土體材料參數

經優化求解得使邊坡的安全系數s為1.267，將獲得的計算結果導入tecplot360分別得邊坡處于極限狀態時的自適應網格分布圖，能量耗散分布圖以及速度場分布圖，如圖4~6所示。

圖4 含軟弱夾層邊坡網格自適應分布圖

圖5 含軟弱夾層邊坡能量耗散分布圖

圖6 含軟弱夾層邊坡速度場分布圖

由圖4~6可知，本方法獲得的網格加密區與速度場及塑性能耗變化較大的區域保持一致。由圖6可知，邊坡的滑動面貫穿邊坡的軟弱夾層，并與軟弱夾層下方土體相切，從離坡趾不遠處地面滑出。不同方法下的安全系數研究結果對比如表2所示，不同方法下獲得的滑裂面對比如圖7所示。

表2 不同方法下邊坡安全系數Fs對比

圖7 臨界滑裂面對比圖

由表2可以看出，本文所得到的安全系數與其他3種方法得到的計算結果較為接近，最大相對誤差不超過2.3%，因此運用本文方法來分析含軟弱夾層邊坡穩定性是有效的。由圖7看出，本文方法獲得的滑動面與有限元獲得滑動面十分接近，且均穿過軟弱夾層，而黃茂松等[9]獲得的滑裂面與軟弱夾層相切，未能通過軟弱夾層。然而，以上3種方法獲得的安全系數幾乎一致，原因可能在于，本算例中的軟弱夾層土體的厚度較小，貫穿或相切對邊坡的穩定性微小。

青海省海西州德令哈市民族學校的索衛華對海西地區民族中學學生數學學習中導致數學基礎較差的社會環境、家庭教育、教師的知識面及傳授方法等智力和非智力因素進行了剖析．中央民族大學蘇傲雪對全國31所內地新疆高中班學校的932名教師和1?873名學生進行了問卷調查和測試，對影響內地新疆班學生數學學業成績的因素作了統計分析．云南曲靖師范學院孫雪梅綜合應用調查測試、作業分析、口頭報告和比較研究方法，從表征視角調查了七年級彝族學生數學學習現狀，發現七年級彝族學生在解決數學問題上的數學表征水平發展不均衡，而七年級彝族學生與同年級漢族及其他少數民族學生沒有顯著差異．

3 含軟弱夾層邊坡穩定性參數分析

為進一步揭示含軟弱夾層土體邊坡的失穩破壞機制及穩定性特征，本節以單層軟弱夾層邊坡為例，探討軟弱夾層的厚度、傾角、其與土體相對強度以及深度變化對邊坡安全系數及滑裂面位置的影響規律，揭示其失穩破壞機制及穩定性特征。結合已有研究成果[4]，其模型的邊界條件設置如圖8所示。

其中，為邊坡的坡角，為邊坡的高度，為軟弱夾層的傾角，軟弱夾層的厚度。左邊界高度為，右邊界高度為2，左邊界至坡腳的距離為1.5，坡頂至右邊界的距離為2.5，軟弱夾層上界面至左邊界的距離為0.5。

圖8 計算模型與參數

3.1 軟弱夾層厚度對邊坡穩定性的影響

令模型坡高=10 m，邊坡的角度=45°，軟弱夾層的傾角=5°，軟弱夾層上界面深度/=0.5，軟弱夾層的厚度/=0.05~0.4，土體強度參數1=20 kPa，1=20°，軟弱夾層與土體的相對強度2/1=2/1=0.25，其中土體自重均為=20 kN/m3。經計算求解可得不同軟弱夾層的厚度下邊坡安全系數及其相應的能量耗散圖如圖9~10所示。

圖9 軟弱夾層厚度對邊坡安全系數Fs的影響

由圖9可以看出，邊坡的安全系數隨著軟弱夾層厚度的增大而減小。從圖10可以看出，隨著軟弱夾層厚度逐漸增大，破壞的范圍逐漸增大，滑裂面逐漸變深向邊坡軟弱夾層下界面擴展，且滑裂面始終貫穿軟弱夾層上界面與下界面相切，其剪出口位置往坡趾外移動，坡面處剪切帶逐漸消失。因此，軟弱夾層厚度是有必要考慮的，僅假設為無厚度的直線在一定程度上會夸大邊坡的穩定性。

圖10 不同軟弱夾層厚度下的邊坡能量耗散圖

3.2 軟弱夾層傾角對邊坡穩定性的影響

在3.1節基礎上，令/=0.1，其中取值為0°~10°。經計算求解可得不同軟弱夾層傾角情況下的邊坡安全系數及其相應塑性區能量耗散圖如圖11~12所示。

由圖11可看出，隨著軟弱夾層傾角的增加，安全系數顯著減小。由圖12可看出，隨著軟弱夾層傾角的增加，滑裂面的剪出口向坡趾移動，滑動面逐漸變淺向臨空面收縮，坡面處剪切帶逐漸 消失。

3.3 夾層與土體相對強度對邊坡穩定的影響

令/=0.1，=5°，/=0.5，土體強度參數1=20 kPa，1=20°，軟弱夾層與土體的相對強度2/1= 0.15~0.7，2/1=0.15~0.7，2/1和2/1取相同的值，其中土體自重均為=20 kN/m3。經優化計算，整理得到不同軟弱夾層與土體的相對強度下邊坡的安全系數與能量耗散圖如圖13~14所示。

圖11 軟弱夾層傾角θ對邊坡安全系數Fs的影響

圖12 不同軟弱夾層傾角θ值下的邊坡能量耗散圖

圖13 軟弱夾層與土體的相對強度對邊坡安全系數Fs的影響

由圖13可以看出，邊坡的安全系數隨著軟弱夾層與土體的相對強度增加而增加，當軟弱夾層與土體的相對強度超過0.45時，結果保持不變s= 1.28。同樣的，由其對應塑性區能量耗散圖(圖14(a)~14(g))，可以看出隨著軟弱夾層與土體的相對強度的逐漸增大，滑裂面區域逐漸減小，坡面處剪切帶逐漸出現再消失，滑裂面與軟弱夾層相切，剪出口逐漸向坡趾移動；當軟弱夾層與土體的相對強度超過0.45后，剪出口位于坡趾，滑裂面僅發生在過坡趾的上層土體且不再發生變化，如圖14(h)~ 14(l)。說明此時軟弱夾層不再影響邊坡的穩定性。

3.4 軟弱夾層深度對邊坡穩定性的影響

令/=0.1，=5°，其中/=0.2~0.5。巖體強度參數1=20 kPa，1=20°，考慮2種軟弱夾層與土體的相對強度2/1=2/1=0.25和2/1=2/1=0.5，其中土體自重均為=20 kN/m3。經計算求解可得軟弱夾層深度下邊坡安全系數及其相應的能量耗散圖如圖15~16所示。

圖14 不同軟弱夾層與土體的相對強度下邊坡能量耗散圖

圖15 軟弱夾層深度對邊坡安全系數Fs的影響

由圖15可以看出，對于2種軟弱夾層與土體的相對強度情況，邊坡的安全系數均隨著軟弱夾層深度增大先增加后保持不變s=1.28，在達到定值之前，軟弱夾層與土體的相對強度越高安全系數越大且在深度較小時就達到定值。同樣的，由圖16可以得知，隨著軟弱夾層深度增加，滑裂區域逐漸加深增大，滑裂面與軟弱夾層相切，剪出口逐漸向坡趾反方向移動；當軟弱夾層深度/超過0.7 (2/1=2/1=0.25時)或0.5(2/1=2/1=0.5時)后，剪出口位于坡趾，滑裂面僅發生在過坡趾的上層土體且 不再發生變化如圖，14(f)~14(h)和圖14(d)~14(h)。說明此時軟弱夾層不再影響邊坡的穩定性。

特別地，對于含軟弱夾層邊坡穩定性分析，由本文方法獲得的破壞模式具有不同形式，包括文獻[13]中的改進轉動?平動組合破壞機構(如圖16(b))和直線滑動破壞機構(如圖16(d))，以及文獻[9?10]中的轉動?平動組合破壞(如圖16(j))，另外也包含有其他一些破壞模式(如圖16(a)，16(c)和16(f))。這是因為含軟弱夾層邊坡破壞具有復雜性，會造成破壞模型的假定不完全符合實際情況，這證明了本文方式不需要提前假定破壞模式所帶來的優勢，使得模擬的結果更加符合工程實際。

圖16 不同軟弱夾層深度下的邊坡能量耗散圖

4 結論

1) 將強度折減技術引入有限元極限上限法中，獲得了含軟弱夾層邊坡安全系數的上限解。通過經典算例的驗證和對比，本文獲得計算結果和已有研究成果非常接近甚至更優，表明該方法所得的結果和規律具較高的可靠性。另外通過破壞模式形式的對比可知，本文方法獲得的破壞模式更加符合工程實際。

2) 隨著軟弱夾層厚度逐漸增大，邊坡的安全系數減小，破壞的范圍逐漸增大，滑裂面逐漸變深向邊坡軟弱夾層下界面擴展，且滑裂面始終貫穿軟弱夾層上界面與下界面相切，其剪出口位置往坡趾外移動，坡面處剪切帶逐漸消失。

3) 軟弱夾層傾角對邊坡的穩定性影響顯著。隨著軟弱夾層傾角的增加，安全系數顯著減小，滑裂面的剪出口向坡趾移動，滑動面逐漸變淺向臨空面收縮，坡面處剪切帶逐漸消失。

4) 當軟弱夾層強度相對較小時，邊坡的安全系數隨著軟弱夾層與土體的相對強度增加而增加，滑裂面區域逐漸減小，坡面處剪切帶逐漸出現再消失，滑裂面與軟弱夾層相切，剪出口逐漸向坡趾移動；當軟弱夾層與土體的相對強度超過0.45時，安全系數不再變化，此時邊坡破壞僅發生在過坡趾的上層土體，表現為簡單均質邊坡破壞且不再發生變化。說明此時軟弱夾層不再影響邊坡的穩定性。

5) 軟弱夾層深度對邊坡的穩定性影響與軟弱夾層與土體的相對強度相關。邊坡的安全系數隨著軟弱夾層深度增大先增加后保持不變，且軟弱夾層與土體的相對強度越高，安全系數達到定值時的軟弱夾層深度越小。同時，隨著軟弱夾層深度增加，滑裂區域逐漸加深增大，剪出口逐漸向坡趾反方向移動；當軟弱夾層深度/超過0.7(2/1=2/1= 0.25時)或0.5(2/1=2/1=0.5時)后，剪出口位于坡趾，滑裂面僅發生在過坡趾的上層土體且不再發生變化。說明此時軟弱夾層不再影響邊坡的穩定性。

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Stability analysis for soil slopes with weak interlayers using the finite element upper bound limit analysis

PI Xiaoqing, LI Liang, TANG Gaopeng, ZHANG Rui, ZHAO Lianheng

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

The existence of weak interlayers usually makes the slope more prone to instability. Based on this, by introducing the finite element upper bound limit analysis method considering the strength reduction technique, the nonlinear programming model for the stability analysis of slopes with a weak interlayer was constructed. And a feasible arc interior point algorithm, combined with adaptive mesh method, was adopted for optimization. The upper-bound solutions of safety factors and failure modes of slopes with different weak interlayer thicknesses, angles and depths and strength ratios of the weak interlayer and soil were obtained. The results show that the thickness, angle, depth and relative strength of the weak interlayer have significant influence on the safety factor of slope and the critical sliding surface, but when the depth and relative strength of the weak interlayer are increased to a certain value, the stability of the slope is no longer affected by it. The results in this paper are in good agreement with those in the literature.

slope stability analysis; weak interlayer; upper bound limit analysis; safety factor

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.02.010

TU435

A

1672 ? 7029(2019)02 ? 0351 ? 08

2018?03?12

國家自然科學基金資助項目(51478477)；中南大學中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(2017zzts746)

唐高朋(1989?)，男，湖南邵陽人，博士研究生，從事道路與鐵道工程方面的研究與應用工作；E?mail：381588836@qq.com

(編輯 涂鵬)