基于多目標優化的磁浮軌道梁有限元模型修正

彭濤，田仲初，梁瀟, 2，成魁

?

基于多目標優化的磁浮軌道梁有限元模型修正

彭濤1，田仲初1，梁瀟1, 2，成魁1

(1. 長沙理工大學 土木工程學院，湖南 長沙 410114； 2.湖南磁浮交通發展股份有限公司，湖南 長沙 410014)

基于精細有限元建模與多目標優化算法，建立一種適用于具有復雜附屬結構的磁浮軌道梁有限元模型修正方法。以一座典型的磁浮連續軌道梁橋為研究對象，建立其精細初始有限元模型；在靈敏度分析的基礎上選擇待修正參數，利用模態頻率和振型等結構實測動力響應構造修正目標函數；采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)對多目標優化問題進行求解，得到其Pareto最優解集。研究結果表明：模型修正后結構的模態頻率和振型計算值與實測值吻合良好，修正后的有限元模型能夠精確全面地模擬實際結構，且能確保設計參數合理且具有明確物理意義。

中低速磁??；軌道梁；有限元模型修正；多目標優化

對橋梁結構進行健康監測、損傷識別、狀態評估、剩余壽命預測，以及進行車橋耦合振動、抗風、抗震等復雜動力分析，都需要一個可以精確、全面反應結構真實狀態的基準有限元模型作為基 礎[1?4]。但由于橋梁各種材料物理參數的離散性與隨機性，施工偏差造成的幾何參數誤差，有限元模型固有的階次誤差和不適當的簡化，模型邊界條件的失真模擬以及結構退化或損傷等原因，按照設計圖紙和規范建立的初始有限元模型與實際結構不可避免地存在偏差，不能直接作為結構的基準有限元模型，需要依靠有限元建模技術和模型修正等實現基準模型的構建[4]。近年來，有限元模型修正得到了業界更多的關注，已成為橋梁工程領域的研究熱點之一。REN等[5]提出了一種基于響應面的模型修正方法，并應用于洪塘大橋的模型修正。方志 等[4]基于靈敏度分析結合優化算法對一座斜拉橋模型進行模型修正，并對不同模式模型的計算精度和修正效果進行討論。鐘儒勉等[6]采用基于兩階段響應面法對灌河大橋的多尺度有限元模型進行修正。周林仁等[7]采用子結構方法對某斜拉橋模型進行模型修正。胡俊亮等[8]采用基于Kriging模型的方法對一連續梁拱橋進行模型修正。郁勝等[9]針對懸索橋的模型修正，提出一種基于徑向基函數響應面方法。駱勇鵬等[10]采用基于逐步回歸響應面法對一座鐵路鋼桁橋模型進行修正。SHAN等[2]提出一種結合子結構與響應面的有限元模型修正方法。混凝土梁橋作為一種在鐵路、公路、城市立交、磁浮和軌道交通等工程中應用最為廣泛的橋型，因受到跨越能力的制約，其規模通常小于大跨度拱橋、斜拉橋、懸索橋等橋型，在同樣的測點密度下，通過靜動力試驗獲得的實測數據樣本相對較少。因此，在對其進行模型修正時，為了獲得更好的修正效果，研究者在早期的單目標模型修正方法的基礎上提出了考慮多個目標的模型修正方法，其通常做法是對多個單目標進行加權求和組合成一個新目標函數，從而將其轉化成單目標優化問題求解。起初，研究者對單目標進行組合時，采用的是不變的權系數；隨后，何濤等[11?12]指出不變權系數的處理方法忽略了不同目標函數在修正優化迭代過程中精度和數量級的差異，為了彌補這個不足，提出了動態權重系數方法，并分別運用在混凝土梁橋、曲線連續梁橋的模型修正中。動態權重系數法雖然考慮了不同目標以及其子目標的重要性，但不同類目標的量綱不一致，不易作比較，且權重系數的取值方法目前還缺少相應的研究和理論支撐，其有效性和適用性有待進一步驗證，具體實施時每個目標及其分量都需計算權重，其過程較繁瑣。在上述研究成果基礎上，本文采用基于種群操作的多目標優化算法來求解考慮多個目標的模型修正問題，以長沙中低速磁浮交通中一座典型連續軌道梁橋為背景，形成一種適用于具有復雜附屬結構的磁浮軌道梁的有限元模型修正方法。

1 多目標優化理論

1.1 多目標優化問題的數學描述

最優化問題中，當優化問題的目標函數只有一個時稱之為單目標優化問題；目標函數有2個或大于2個，且需要被同時處理的優化問題就被稱之為多目標優化問題。在工程應用、生產管理以及國防建設等實際問題中的優化問題大多數是多目標優化問題，其數學描述如下[13]：

式中：為維決策向量；為目標向量；為目標函數個數；()定義了個由決策向量向目標向量的映射函數；f()是第個目標函數；g()為不等式約束；h()為等式約束；和為約束的個數；x?max和x?min為第維向量搜索的上下限。

圖1 雙目標優化問題的Pareto前沿

1.2 NSGA-Ⅱ多目標優化算法

目前，多目標優化算法分為傳統優化算法和智能優化算法兩大類。以單點搜索為特征的傳統優化算法的核心思想是將多目標函數轉化為單目標函數，采用常規單目標優化算法實現對復雜多目標優化問題的求解，包括加權法、約束法和線性規劃法等[13]。隨著各種智能算法和計算機技術的發展，科研人員開始采用多目標粒子群算法、模擬退火算法、進化算法和蟻群算法等[13]智能優化算法求解多目標優化問題，這些以種群操作為特征的多目標演化算法可同時搜索可能的解，從而在一次運行中就可以得到非劣解集，且對所求問題的Pareto陣面的形狀和連續性并不敏感，因此該類算法在求解實際的多目標優化問題時適用性更廣、功能更強大。其中，屬于進化算法范疇的帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(Non-dominated sorting genetic algorithm-II，NSGA-Ⅱ)是一種經典的多目標優化算法，該算法是Deb等[15]于2000年在NSGA算法的基礎上提出的，是目前為止最卓越的多目標優化算法之一，本文采用該算法求解模型修正的多目標優化問題。

NSGA-Ⅱ算法的基本思想為：首先，隨機產生規模為的初始種群，非支配排序后通過遺傳算法的選擇、交叉和變異3個基本操作得到第1代子代種群；其次，從第2代開始，將父代種群與子代種群合并，然后進行快速非支配排序，同時對每個非支配層中的個體進行擁擠度計算，根據非支配關系以及個體的擁擠度選取合適的個體組成新的父代種群；最后，通過遺傳算法的基本操作產生新的子代種群；依此類推，直到滿足程序結束條件[16]。NSGA-Ⅱ算法相對于NSGA算法具有以下優越 性[15]：1) 計算復雜度由原來的(3)降為(2)，其中為目標函數個數，為種群規模；2) 采用擁擠度和擁擠度比較算子，代替NSGA中需要人為指定共享參數的適應度共享策略，使準Pareto域中的個體能擴展到整個Pareto域，并均勻分布，保證了種群的多樣性；3) 引入精英策略，擴大采樣空間，避免優秀個體流失，改善了算法的魯棒性和收斂速度。

2 工程背景

長沙中低速磁浮工程是我國首條擁有完全自主知識產權的中低速磁浮線路，其全長18.55 km，連接長沙火車南站和黃花機場，全程采用高架橋梁敷設，軌道梁橋型均為混凝土簡支或連續梁。在磁浮車輛通過橋梁區段時，橋梁的動力特性對車輛的懸浮穩定性、動力響應以及乘車舒適性有顯著的影響，容易出現車橋耦合振動問題，因此需要建立一個精確、全面反應橋梁結構真實狀態的基準有限元模型作為基礎進行相關研究。

本文選取長沙中低速磁浮工程中一座典型的混凝土連續軌道梁橋為研究對象，其跨徑組合為25+35+25 m，由兩分離式箱梁組成，各箱梁上分置磁浮工程的兩線，兩線間距為4.4 m。單線軌道梁截面類型為單箱單室等高預應力混凝土箱梁，箱梁頂面寬1.3 m，底面寬1.4 m，中心梁高2.42 m。兩分離箱梁通過端橫梁、中支點橫梁、跨中橫梁連接，兩側箱梁對應各橫梁位置設置箱內橫隔板。箱梁及橫梁的材料均為C50混凝土，橫梁待箱梁施工完成后再后澆形成。軌道梁橋墩采用花瓶型獨柱墩，材料為C40混凝土。軌道梁立面如圖2所示，橫斷面如圖3所示，竣工照片如圖4所示。

單位：cm

單位：cm

圖4 軌道梁竣工照片

軌道梁上各類設施構造復雜，其中F軌是使磁浮車輛實現懸浮并給其提供導向及牽引力的基礎構件，是軌道結構最重要的部件。F軌通過H型鋼軌枕、承軌臺和連接件等形成軌道結構，把其承受的荷載傳遞到軌道梁上。除了軌道結構，軌道梁上還作用有檢修通道、電纜及其支架、接觸軌、漏纜、AP天線、安全護欄等附屬設施，磁浮軌道結構示意如圖5所示。

單位：mm

在橋梁施工及線路設施安裝完成后，對大橋進行全橋靜載試驗和模態測試，其中橋梁模態試驗是在環境激勵下進行，橋梁振動加速度信號由傳感器拾振并通過放大器放大再由采集儀采集，采樣頻率為100 Hz，采用中國地震局工程力學研究所研制的941B型拾振器，拾振器布設于橋面，其順橋向布置情況如圖2所示，橫橋向布置于兩側箱梁中心線上，全橋共布置36個測點，測試時采用膠泥將拾振器黏貼在混凝土表面。振動信號由結構模態分析軟件MaCras進行采集操作和處理，得到橋梁的前10階自振頻率和振型，測試結果如表2所示。

3 初始有限元模型的建立

磁浮連續軌道梁上部結構主體由2道縱梁和18道橫梁組成，屬于典型的梁格受力體系，但其軌道結構及其他附屬結構的構造較為復雜，F軌通過H型鋼軌枕、承軌臺和連接件與混凝土軌道梁形成組合受力結構，常規的基于空間梁單元的梁格法難以模擬主體結構與軌道等附屬結構之間的相互作用，針對磁浮軌道梁的結構特點，為了實現對其剛度、質量、荷載和邊界條件的精確模擬，盡量減少模型階次誤差和離散誤差，采用大型軟件ANSYS建立其精細有限元模型，具體單元選取及建模策略 如下。

為了全面和準確地模擬磁浮軌道梁的真實行為與工作狀態，軌道梁縱梁、橫梁采用三維實體單元Solid65建模；對于軌道結構，為了準確的模擬其剛度和質量，采用殼單元Shell63模擬F軌，采用三維梁單元Beam188模擬H型鋼軌枕，F軌、H型鋼軌枕和承軌臺之間的連接采用節點耦合方式模擬；同時，為了控制計算規模和減少計算時間，橋墩采用三維梁單元Beam188模擬，軌道梁與橋墩之間的連接采用彈簧單元模擬，其彈簧剛度初始值按照支座剛度的換算值取值，橋墩底部采用固結邊界條件；除軌道結構外的其他附屬設施剛度較小，不考慮其剛度，采用均布荷載模擬其自重，按設計圖紙確定荷載大小和施加位置。橋梁有限元模型的幾何參數按設計圖紙取值，材料參數按設計圖紙和相關規范取值，建立軌道梁的初始精細有限元模型如圖6所示。

圖6 軌道梁精細有限元模型

4 磁浮軌道梁橋有限元模型修正

4.1 修正參數的選取

為了提高模型修正時的計算效率，修正后的有限元模型能精準地模擬實際結構，修正參數的選取是模型修正的一個關鍵環節。磁浮軌道梁的主要設計參數包括：混凝土縱梁、混凝土橫梁、橋墩、F軌、H型鋼軌枕和承軌臺等構件的彈性模量與質量密度以及邊界條件參數。依據工程經驗先從這些參數中選出初始待修正參數，然后再對其進行靈敏度分析，選出最終的待修正參數。

對于混凝土縱梁、橋墩，由于混凝土材料的離散性較大以及模型中未考慮普通鋼筋的原因，將混凝土縱梁、橋墩的彈性模量與質量密度都作為初始的待修正參數。混凝土橫梁雖然與縱梁一樣采用C50混凝土，但考慮到混凝土橫梁施工是后澆的，其性狀可能與縱梁不完全一致，故將其彈性模量與質量密度也作為區別于縱梁的初始待修正參數。對于F軌、H型鋼軌枕和承軌臺，前二者屬于鋼結構，其材料彈性模量和密度較為穩定、離散性很小，且其剛度和重量相對于混凝土軌道梁均較小，承軌臺雖然是混凝土材料，但其尺寸和剛度都較小，三者的彈模和重度參數均不作為初始待修正參數。對于軌道梁與橋墩之間的支座，因其水平橫向剛度對結構的橫向振動頻率有一定影響，故分別把邊、中墩上支座的水平橫向剛度值作為初始待修正參數。

利用差分法計算各指標對各參數正則化后的相對靈敏度如下[9]：

式中：Δ可取p/100；p為待修正參數的初始值；S為各指標關于修正參數的靈敏度。結構響應向量是指模態頻率、振型等特征量及其組合。

上述初始修正參數的靈敏度分析結果如圖7所示，從圖中可以得出，橫梁的容重屬于靈敏度較小參數，除這個參數外其余7個參數均作為本次修正的待修正參數。為了確保修正參數具有明確的物理意義，修正后能貼近橋梁真實狀況，根據設計圖紙、相關規范及工程經驗對修正參數的取值進行了限定?？紤]到混凝土的彈性模量離散性較大，其變化范圍取為±30%；混凝土的容重變化范圍取為±20%；對于支座的橫向剛度初始值難以精確計算，可能存在一定偏差，采用±50%的變化范圍。最終選定的7個待修正參數及其初始值和變化范圍如表1所示。

圖7 參數靈敏度分析

表1 待修正參數

4.2 目標函數

由于基于多目標優化的有限元模型修正方法是同時對多個目標函數進行優化計算，且這些基于不同殘差的各目標函數之間相互獨立，因此不需要考慮不同目標函數的權重，可根據橋梁靜動力實測數據構造不同的目標函數。針對本橋模態測試和模型計算數據構造頻率和振型的目標函數如下：

4.3 模型修正過程

參數型有限元模型修正的本質是結構參數優化的問題，本文基于多目標優化的磁浮軌道梁有限元模型修正的本質是以構建的包含頻率和MAC的目標函數為優化目標，采用NSGA-Ⅱ算法進行多目標優化，尋求非劣解。模型修正具體實施是通過在數學軟件MATLAB和有限元分析軟件ANSYS中自編程序將NSGA-Ⅱ多目標優化算法和有限元分析結合起來實現優化求解。有限元建模和分析在有限元軟件ANSYS中完成，多目標優化過程在數學軟件MATLAB中實現，ANSYS的批處理啟動模式(Batch模式)與MATLAB的強大運算和集成功能使得二者可以有機結合。在Batch模式下，ANSYS在后臺啟動并運行指定的APDL命令文件，并輸出指定結果；ANSYS分析完成后，MATLAB程序再調用ANSYS的分析結果進行優化計算，模型中ANSYS的輸入、計算和輸出全部采用APDL語言編程完成。編制基于NSGA-Ⅱ算法的磁浮軌道梁橋有限元模型修正的程序系統，其流程如圖8所示。多目標標優化參數設置：種群規模為60，最大進化代數50，交叉概率0.9，變異概率0.1，初始種群如圖9所示。

4.4 模型修正結果

按設定的參數進行若干代優化計算后，得到磁浮軌道梁橋有限元模型修正非支配個體分布及其Pareto前沿如圖10所示，從圖中可以看出，Pareto解在前沿上的分布較為均勻、形態較好，保持了較好的多樣性，Pareto前沿曲線上的最凸點明顯，獲得了一個較好的協調最優解，該解對應的修正前后的頻率和MAC值比較見表2，修正參數與修正前的對比情況如表3所示。從表2可看出，修正后有限元模型的計算頻率與實測頻率更加吻合，頻率偏差最大對應振型為橫向6階彎曲，相差1.01%，其余各階頻率相差都在1%以內；修正后各階振型的MAC值也得到改善，均大于0.90，表明修正后各階計算振型和理論振型相關性較好。從頻率和MAC的修正結果來看，基于多目標優化的磁浮軌道梁橋有限元模型修正取得了較好的效果。

圖8 有限元模型修正流程圖

圖9 初始種群

圖10 Pareto最優解

從表3中可得，修正后軌道梁和橋墩材料的彈性模量比規范規定值均有一定幅度的提高，主要是因為混凝土材料彈性模量本身的離散性及混凝土內配有大量鋼筋的原因；軌道梁和橋墩材料的容重參數也比初始值有一定的提高，這主要是因為混凝土內配有大量鋼筋，折合容重比純混凝土有一定的提高；橫梁雖然與縱梁都采用C55混凝土，但橫梁是后澆施工，其材料彈性模量修正結果略大于規范值，但小于縱梁材料彈性模量值；邊墩和中墩支座橫向剛度值修正幅度都較大，分別達到38.29%和20.46%，可見，在初始有限元模型中，對模擬支座橫向約束的彈簧剛度初始值確定有一定的難度。綜上所述，修正后的設計參數均處于參數的可能取值范圍內，除支座剛度參數外沒有出現修正過大的參數，采用多目標優化算法的模型修正在取得較好修正效果的同時，確保了設計參數的物理意義。

表2 模型修正前后動力特性

表3 模型修正前后參數值

5 結論

1) 針對具有復雜附屬結構的磁浮軌道梁結構，采用實體、殼、梁單元等建立其精細初始有限元模型，該模型能精確模擬軌道梁與軌道結構之間的相互作用，減少了模型的階次和離散誤差，為高效的有限元模型修正奠定了基礎。

2) 采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算 法(NSGA-Ⅱ)對一座磁浮連續軌道梁橋有限元模型進行多目標優化修正，獲得分布較均勻的Pareto非劣解集，在此基礎上，利用最凸點法得到了Pareto解集中的協調最優解。

3) 基于多目標優化的有限元模型修正方法不但能避免現有的模型修正方法中將多個子目標函數組合轉化為單目標函數時人為確定權重系數給模型修正帶來的主觀性影響，而且模型修正效果也較為理想，修正后的有限元模型能夠精確全面地模擬實際結構，且能確保設計參數合理且具有明確物理意義，可作為該橋的基準有限元模型。

[1] ZONG Z, LIN X, NIU J. Finite element model validation of bridge based on structural health monitoring-Part I: Response surface-based finite element model updating[J]. Journal of Traffic & Transportation Engineering, 2015, 2(4): 258?278.

[2] SHAN Deshan, LI Qiao, Inamullah Khan, et al. A novel finite element model updating method based on substructure and response surface model[J]. Engineering Structures, 2015, 103:147?156.

[3] 宗周紅, 夏樟華. 聯合模態柔度和靜力位移的橋梁有限元模型修正方法[J]. 中國公路學報, 2008, 21(6): 43?49. ZONG Zhouhong, XIA Zhanghua. Finite element model updating method of bridge combined modal flexibility and static displacement[J]. China Journal of Highway and Transport, 2008, 21(6): 43?49.

[4] 方志, 張國剛, 唐盛華, 等. 混凝土斜拉橋動力有限元建模與模型修正[J]. 中國公路學報, 2013, 26(3): 77?85. FANG Zhi, ZHANG Guogang, TANG Shenghua, et al. Finite element modeling and model updating of concrete cable-stayed bridge[J]. China Journal of Highway and Transport, 2013, 26(3): 77?85.

[5] REN W X, CHEN H B. Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method[J]. Engineering Structures, 2010, 32(8): 2455? 2465.

[6] 鐘儒勉, 樊星辰, 黃學漾, 等. 基于兩階段響應面方法的結合梁斜拉橋多尺度有限元模型修正[J]. 東南大學學報(自然科學版), 2013, 43(5): 993?999. ZHONG Rumian, FAN Xingchen, HUANG Xueyang, et al. Multi-scale finite element model updating of composite cable-stayed bridge based on two-phase response surface methods[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2013, 43(5): 993?999.

[7] 周林仁, 歐進萍. 斜拉橋結構模型修正的子結構方法[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(19): 52?58. ZHOU Linren, OU Jinping. A substructure method for structural model upating of long span cable stayed bridges[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(19): 52?58.

[8] 胡俊亮, 顏全勝, 鄭恒斌, 等. 基于Kriging模型的鋼管混凝土連續梁拱橋有限元模型修正[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(14): 33?39. HU Junliang, YAN Quansheng, ZHENG Hengbin, et al. CFST arch/continuous beam bridge FEM model updating based on Kriging model[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(14): 33?39.

[9] 郁勝, 周林仁, 歐進萍. 基于徑向基函數響應面方法的超大跨懸索橋有限元模型修正[J]. 鐵道科學與工程學報, 2014, 11(1): 1?9. YU Sheng, ZHOU Linren, OU Jingping. Finite element model updating of large suspension bridge based on radial basis function response surface[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2014, 11(1): 1?9.

[10] 駱勇鵬, 黃方林, 廖明皓, 等. 基于逐步回歸分析的既有鐵路鋼桁橋有限元模型修正[J]. 鐵道科學與工程學報, 2015, 12(5): 1111?1115. LUO Yongpeng, HUANG Fanglin, LIAO Minghao, et al. Existing railway steel truss bridge finite element model updating based on stepwise regression[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2015, 12(5): 1111?1115.

[11] 何濤, 張巍, 吳植安. 基于動靜載試驗數據的預應力混凝土梁模型修正方法試驗研究[J]. 公路交通科技, 2015, 32(12): 75?80. HE Tao, ZHANG Wei, WU Zhian. Experimental research on model updating method of prestressed concrete girder based on dynamic and static loading test data[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2015, 32(12): 75?80.

[12] 鄔曉光, 劉英, 馮宇, 等. 基于動態系數的靜動力有限元模型修正研究[J]. 鐵道科學與工程學報, 2017, 14(3): 543?551. WU Xiaoguang, LIU Ying, FENG Yu, et al. Research on static and dynamics finite element model updating method based on dynamic coefficient[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2017, 14(3): 543?551.

[13] 肖曉偉, 肖迪, 林錦國, 等. 多目標優化問題的研究概述[J]. 計算機應用研究, 2011, 28(3): 805?808. XIAO Xiaowei, XIAO Di, LIN Jinguo, et al. Overview on multi-objective optimization problem research[J]. Application Research of Computers, 2011, 28(3): 805? 808.

[14] Kalyanmoy Deb, Shivam Gupta. Understanding knee points in bicriteria problems and their implications as preferred solution principles[J]. Engineering Optimization, 2011, 43(11): 1175?1204.

[15] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182?197.

[16] 盧小亭. 多目標優化遺傳算法選擇方法的研究與改進[D]. 淮南: 安徽理工大學, 2008. LU Xiaoting. The research and improvement on selection method of multi-objective optimization genetic algorithms[D]. Huainan: Anhui University of Science & Technology, 2008.

Research on finite element model updating of maglev track beam based on multi-objective optimization

PENGTao1, TIAN Zhongchu1, LIANG Xiao1, 2, CHENG Kui1

(1. School of Civil Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China; 2. Hunan Maglev Transportation Development Co., Ltd, Changsha 410014, China)

Based on the fine finite element modeling and multi-objective optimization algorithm, a method for finite element model updating was proposed to get the baseline finite element model of maglev track beams with complex auxiliary structures. Taking a typical maglev continuous track beam bridge as the research object, a fine initial finite element model was established. Based on sensitivity analysis, we choose the parameters to be corrected, and used the measured dynamic responses of modal frequencies and mode shapes to construct the modified objective function. The multi-objective optimization problem was solved by NSGA-II algorithm. Thus, the Pareto optimal set of multi-objective optimization problem with finite element model updating was obtained. The results show that the modal frequency and the calculated value of the model are in good agreement with the measured values. The modified finite element model can accurately and comprehensively simulate the actual structure, and it can ensure that the design parameters are reasonable and have clear physical meaning.

medium and low speed maglev; track beam; FEM updating; multi-objective optimization

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.01.024

U448.21；TU311.4

A

1672 ? 7029(2019)01 ? 0176 ? 09

2018?04?28

國家自然科學基金資助項目(51478049)；湖南省科技重大專項資助項目(2015GK1001)；長沙理工大學土木工程優勢特色重點學科資助項目(11ZDXK07)；長沙理工大學橋梁工程開放基金資助項目(11KA04)

田仲初(1963?)，男，湖南慈利人，教授，博士，從事橋梁結構分析與施工控制、健康監測方面的研究；E?mail：382525361@qq.com

(編輯 陽麗霞)