基于非線性泊松比修正的鄧肯?張E-ν模型及應用研究

毛國成，陳曉斌, 2，王晅, 3，李揚波

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基于非線性泊松比修正的鄧肯?張-模型及應用研究

毛國成1，陳曉斌1, 2，王晅1, 3，李揚波1

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075； 2. 重載鐵路工程結構教育部重點實驗室，湖南 長沙 410075； 3. 高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙 410075)

針對鄧肯-張模型在低應力狀態下粗顆粒土體變特性描述不足的問題，分析高速鐵路B組粗顆粒土填料大型三軸試驗得到軸向應變與橫向應變的變化特征，提出基于二次函數的非線性泊松比公式。將非線性泊松比代替鄧肯-張Eν模型切線泊松比，建立基于非線性泊松比修正的鄧肯-張模型。采用中點增量法和Abaqus二次開發平臺，編寫修正鄧肯-張模型的用戶子程序(UMAT)。通過粗粒土三軸試驗的數值模擬，對修正鄧肯-張模型程序的可行性進行應用研究。研究結果表明：基于非線性泊松比修正的鄧肯-張模型的軸向應變-體積應變計算結果與實驗實測結果一致，可真實反映粗粒土填料的軸向應變-體積應變趨勢。

粗粒土；高鐵路基填料；非線性泊松比；鄧肯-張模型

我國通行規范中使用的B組高速鐵路路基填料粒徑大于20 mm顆粒的質量超過了50%，屬于粗顆粒土范疇。由于其大顆粒材料占主要成分，受荷時顆粒間運動十分復雜，粗粒土填料往往伴隨著剪脹和剪縮現象[1?2]，其豎向應變與橫向變形之間的關系表現與細顆粒的黏性土差別較大，很有必要進行專門研究。近些年，許多學者對粗粒土變形特性開展了試驗研究和本構模型開發。例如在粗粒土物理性質研究方面，石熊等[3?4]對粗粒土的強度和變形特征進行試驗，研究了不同粗粒含量、不同圍壓對粗粒土強度和變形指標的影響。在本構模型方面，大多數都使用了一些適當簡化的彈塑性本構模型，也有一些復雜的彈塑性?黏彈塑性本構模型出現，比如孫海忠等[5]研究了顆粒破碎對硬化準則和剪脹性的影響，建立了考慮顆粒破碎的粗粒土臨界狀態彈塑性本構模型。KONG等[6]研究了粗粒土初始特性，提出了考慮顆粒破碎的雙曲面彈塑性模型。Kan等[7]基于高壓縮顆粒材料提出了邊界面模型。通常，復雜的本構模型具有較多的模型參數，并且模型參數的確定并不容易，所以在工程應用層面帶來了困難。于是，人們又開始重視適度簡化的本構模型的應用價值。其中鄧肯?張-模型由于參數少、物理意義明確，而且參數易通過試驗獲取，成為具有較高應用價值的本構模型之一。面對復雜的土體變形特性，針對鄧肯?張模型存在的不足，國內外許多學者對不同情況提出了修正鄧肯?張模型。2013年以來，部分代表性的修正模型見表1所示。由于粗粒土級配組成與細粒土具有明顯差別，許多研究[2?3]認為粗粒土的變形機理與特性也存在不同。當鄧肯?張本構模型運用到粗粒土填料時，石熊 等[3?4]發現鄧肯?張能較好模擬粗粒土強度特性，卻不能較好地反映粗粒土填料體變特性與泊松比的變化。徐晗等[8]認為鄧肯?張模型能較好地反映堆石壩粗粒土的加載應力路徑，而模擬卸載應力路徑時候有明顯差異，導致了變形描述誤差；石熊等[3?4]研究發現鄧肯?張-模型并不能很好地反映粗粒土的體變特性，指出縱向變形與橫向變形不遵循線性規律。文獻調查表明，鄧肯?張-模型具有較高工程應用價值，但是其不能精確描述粗顆粒土的縱向變形與橫向變形。高速鐵路路基填料屬于粗粒土范疇，為適應高速鐵路路基應力應變及體變計算分析的需要，有必要針對鐵路路基粗粒土填料本構關系進行進一步研究。針對鄧肯?張-模型在描述粗顆粒土的縱向變形與橫向變形的不足，本文基于大型三軸試驗，分析了鄧肯?張-模型的適應性。基于分析，提出能反映粗粒土填料軸向應變與側向應變的函數關系，推導出切線泊松比公式。以此對鄧肯?張-模型進行修正，通過試驗實例論證其可行性。接著，利用Fortran語言，在大型通用有限元軟件ABAQUS的二次開發平臺上實現了基于非線性泊松比修正的鄧肯?張-模型，并進行應用分析。研究成果寄希望有助于加深高速鐵路路基變形的理解和提高變形計算精度。

表1 近期部分修正的鄧肯-張模型

1 鄧肯?張模型νt適用性分析

為研究高速鐵路路基B組粗顆粒土路基填料強度、變形特性，采用大型三軸剪切儀試樣進行三軸剪切試驗。試驗方法、試驗材料描述及主要試驗成果見文獻[4]。

1.1 變形特性分析

B組高速鐵路路基填料系列試驗均表現出一致規律。為了分析其應變特性，選擇2個土樣的軸向應變?體積應變關系曲線。圖1為2個典型土樣的體積應變ε與軸向應變1之間的關系。

(a) 試樣1；(b) 試樣2

圖1顯示固結排水三軸剪切實驗中，B組高速鐵路路基粗顆粒土填料體積應變與軸向應變表現為非線性關系。實驗土樣1和土樣2均表現出了同樣的規律，實驗實測的體積應變隨著軸向應變明顯分為3個階段：首先體積應變隨著軸向應變增大而快速增加，然后體積應變隨著軸向應變增大的速率減小，最后到一定階段后趨于穩定，之后體積應變隨著軸向應變增大不再增加。

1.2 E-ν模型切線泊松比適用性分析

鄧肯?張-模型[14]屬于非線性彈性模型中的切線模型，該模型的模型參數t和t隨著應力水平的變化而變化。其中，鄧肯?張模型中切線泊松比ν以假定軸向應變1與側向應變?3存在雙曲線關系為前提推導得出，其泊松比(?3/1)線性隱式關系可以寫成：

式中：為材料初始泊松比；為?3/1與?3關系擬合直線的斜率。鄧肯?張-模型切線泊松比t的計算公式為：

式中：為應力水平。其計算公式為：

式中：為黏聚力；為內摩擦角；1?3為主應力差；3為圍壓；P為大氣壓強；R，，，，和為鄧肯?張模型材料參數。

基于試驗成果，將高速鐵路路基B組粗顆粒土填料的模型泊松比與實測泊松比進行對比，結果見圖2。

由圖2可見，2個B組填料的實驗結果表現出同樣的變化規律，實驗得到的泊松比與軸向應變之前存在明顯的非線性關系。具體表現為：在軸向應變較低時，泊松比試驗值快速增大；隨著軸向應變增加(2%~4%)，泊松比增加速度變緩慢；當隨著軸向應變增加到某一水平(比如大于2%)，泊松比增加速率趨于平緩。另外值得注意的是，在同一軸向應變水平下，隨著圍壓增大?3/1值變小。相比較而言，-模型切線泊松比的模型值隨著軸向應變關系是線性關系，表現為泊松比的模型值隨著軸向應變增加呈現線性增加。在同一軸向應變水平下，圍壓增加，會導致泊松比的模型值減小。

圖2中泊松比實驗值與模型值對比結果顯示擬合直線與試驗值相差甚遠，說明公式(2)不能真實反映粗粒土填料體變特性。由此說明，-模型中關于軸向應變1與側向應變?3的雙曲關系假定和-模型在路基B組粗顆粒土路基填料中會產生較大的誤差。鄧肯?張模型在反映粗粒土橫向變形與豎向變形關系上精度不足。產生誤差的原因在于：1) 粗粒土填料組成與黏土差別較大，粗粒土填料中顆粒大小差別大，黏土顆粒大小較均勻，使得建立于黏土試驗結果的鄧肯?張模型并不能很好的反映粗粒土填料特性；2) 由于粗粒土填料大顆粒在受力情況下咬合情況復雜，使得其體積變形機理異常發生；3) 部分粗粒土填料大顆粒的破碎，改變了細粒土常有的體積變形規律。

(a) 試樣1；(b) 試樣2

2 非線性泊松比修正的E-ν模型

2.1 非線性泊松比公式

針對上述問題，提出采用二次函數關系擬合軸向應變與側向應變，二次函數為：

基于試驗結果，采用提出的二次函數和最小二乘法，通過擬合2個B組填料的實驗結果得到了非線性泊松比公式的實驗參數，擬合結果見圖3所示。

圖3顯示所采用的二次函數高度擬合了2個B組填料的實驗結果，各圍壓下擬合系數均大于0.999，能較好地擬合試驗側向應變與軸向應變 關系。

通過擬合確定了二次函數的參數，從表2可知：參數，和值隨圍壓變化不大，取平均值。在公式(4)基礎上，通過側向應變3與軸向應變1的關系式，可得出修正-模型切線泊松比表達式：

將非線性泊松比函數替換傳統鄧肯?張模型的切線泊松比，建立了基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型，以此來更好地描述B組粗顆粒土填料的變形。由此可見修正鄧肯?張模型共有8個參數，包括：，，R，，，，和。

2.2 修正E-ν模型驗證

為了驗證基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型，選用已經發表的試驗成果來驗證案例(見文獻[14])。基于文獻[14]中承德中密砂的三軸試驗數據，首先確定修正的模型參數：=2.807，=0.012，=0.016。然后，將非線性泊松比修正的鄧肯?張模型理論值與試驗值進行對比，對比結果見圖4所示。

由圖4可看出：非線性泊松比修正的鄧肯?張模型體積應變和泊松比理論值與試驗值吻合，說明了非線性泊松比修正的模型合理性。該修正模型既能較好地描述中密砂粗粒土的體積應變，也能很好描述縱向應變和橫向應變的關系。

(a) 土樣1；(b) 土樣2；(c) 土樣3；(d) 土樣4

表2 非線性泊松比公式的實驗參數

(a) 體應變；(b) 泊松比

3 修正的E-ν模型應用分析

3.1 計算模型實現

利用ABAQUS二次開發平臺，采用FORTRAN語言編寫修正鄧肯?張模型實施程序。編程過程中，考慮本文推導非線性泊松比代替-模型切線泊松比，將應力修正為以壓為正。采用計算速度快、精度高的中點增量法進行應力積分，主要由UMAT子程序實現，其流程如圖5所示。

UMAT子程序主要計算步驟描述如下：

1) 根據增量步初始應力狀態，計算確定切線變形模量t，計算非線性泊松比νt，由此形成初始剛度矩陣[({0,0})]；

2) 傳入子程序的應變增量{?}計算出第一次試算應力增量{?1}=[({0,0})]{?}；

5) 更新應力分量{}={0}+{?}和應變分量{}={0}+{?}，賦值給雅克比矩陣DDSDDE。

圖5 UMAT開發流程圖

3.2 應用分析

修正鄧肯?張本構模型實現程序編寫完成后，用來模擬B組粗顆粒土填料大型三軸試驗，并將模擬計算結果與試驗實測結果進行對比分析。ABAQUS三維物理模型中，B組粗顆粒土填料大型三軸試驗土樣尺寸為：高度為600 mm，直徑為300 mm。計算單元采用三維應力八節點單元(C3D8)，模型網格共劃分為12 800實體單元，節點數為13 161，模型網格如圖6所示。

圖6 計算模型網格劃分

土體本構模型分別采用非線性泊松比修正的鄧肯?張-模型和鄧肯?張模型，數值計算模型參數見表3。計算模型中的邊界條件為：底面約束方向位移，固定底面中心點，方向位移。

加載方式為：位移加載，模擬100，200，300和400 kPa下的三軸加載。大型三軸試驗的數值模擬計算結果(鄧肯?張模型、非線性泊松比修正的鄧肯?張模型)與試驗實測結果進行對比分析，見圖7所示。

(a) 軸向應變?偏應力(鄧肯?張模型)；(b) 軸向應變?偏應力(修正鄧肯?張模型)；(c) 軸向應變?體積應變(鄧肯?張模型)；(d) 軸向應變?體積應變(修正鄧肯?張模型)

圖7(a)對比結果表明：修正的鄧肯?張和鄧肯?張模型軸向應變?偏應力計算結果均與試驗實測值高度吻合，鄧肯?張模型與修正鄧肯?張模型均能較好地反映粗粒土的偏應力?軸向應變變化特性。

圖7(b)結果顯示傳統的鄧肯?張模型軸向應變?體積應變計算結果與實驗實測結果距較大，表現為傳統的鄧肯?張模型體積應變計算結果隨著軸向應變增大而一直增大，而實驗實測的體積應變表現為體積應變計算結果隨著軸向應變增大到一定階段后趨于穩定，之后不再增加。基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型軸向應變?體積應變計算結果與實驗實測結果一致，真實反映了粗粒土填料的軸向應變?體積應變趨勢。主要原因在于非線性泊松比正確描述了軸向應變ε1與側向應變?ε3間的變化關系，因此修正鄧肯?張模型的預測結果與試驗值更接近。

4 結論

1) 基于B組填料體積應變?與軸向應變特征，提出其軸向應變與側向應變的二次關系，建立了非線性泊松比函數，并采用已有實驗成果論證了其合理性。

2) 將非線性泊松比函數替換傳統鄧肯?張模型的切線泊松比，建立了基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型。基于中點增量法，編寫了修正鄧肯?張模型的用戶子程序(UMAT)，使其在Abaqus平臺上得以實現。

3) 應用結果表明，改進模型能合理地描述粗顆粒土填料的體積應變特性，研究成果寄希望有助于加深高速鐵路路基變形的理解和提高變形計算 精度。

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Modified Duncan-Changconstitutive model using non-linear Poisson's ratio and its application analysis

MAO Guocheng1, CHEN Xiaobin1, 2, WANG Xuan1, 3, LI Yangbo1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. Ministry of Education Key Engineering Laboratory for Heavy-haul, Changsha 410075, China;3. National Engineering Laboratory for Construction Technology of High Speed Railway, Changsha 410075, China)

This study aims to modify the insufficiency on Duncan-Chang-model when it is used to predict the volumetric strain of coarse-grained soil under lower stress conditions. The characteristics of axial strain and transverse strain obtained from large-scale triaxial tests on coarse-grained soil filler of Group B in high-speed railway embankment were analyzed. A non-linear Poisson’s ratio formula was proposed based on quadratic function. The non-linear Poisson ratio was used to replace the Duncan--model tangent Poisson's ratio to establish a modified Duncan-Chang-constitutive model. A user subroutine (UMAT) for the modified Duncan-Chang-constitutive model was developed using the midpoint increment method. The user subroutine (UMAT) can be used in Abaqus. Finally, through the numerical simulation of the triaxial test of coarse-grained soil, the feasibility of modified Duncan-Chang-constitutive model is studied. The application results show that the calculated axial strain-volumetric strain of modified Duncan-Chang model is in good agreement with the experimental results, which truly reflects the axial strain-volume strain trend of coarse-grained soil filler.

coarse-grained soil; B group fillings; non-linear Poisson’s ratio; Duncan-Chang model

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.01.010

TU 443

A

1672 ? 7029(2019)01 ? 0071 ? 08

2018?01?13

國家自然科學基金資助項目(51678575)；中國鐵路總公司科技研究開發計劃項目(2016G003-B)

陳曉斌(1978?)，男，江西贛州人，教授，博士，從事交通巖土工程領域粗顆粒土工程性質研究；E?mail：chen_xiaobin@csu.edu.cn

(編輯 涂鵬)