基于冗余聯動的六軸聯動數控機床加工軌跡誤差優化

張鵬翔 周 凱 李學崑

(清華大學機械工程系， 北京 100084)

0 引言

六軸聯動數控機床是一種具有3個平動聯動軸和3個旋轉聯動軸的多軸聯動數控機床。與五軸聯動數控機床相比，該類機床增加了一個旋轉聯動軸。因此，六軸聯動主要應用于刀具不繞自身軸線旋轉的加工設備，如電火花加工機床和焊接加工設備[1-2]；或者用于齒輪加工等制造設備[3-8]。在刀具旋轉時，六軸聯動的特點是所增加的旋轉聯動軸可認為是冗余聯動或者冗余自由度。該特點能保證設備滿足運動關系的前提下，實現額外的約束功能[9-11]。

加工軌跡誤差主要由于刀具相對于工件的實際運動與理論運動不一致所產生。迄今，針對該誤差的優化研究，均需結合機床運動學模型，如在數控系統中，根據該模型對聯動軸的運動量進行實時修正[12]，該類方法能夠根據聯動軸的實際位置響應對加工軌跡誤差進行在線修正。因此，誤差優化效果最優，但必須在數控系統的實時算法層面實現。當機床采用第三方數控系統時，該類方法無法應用。或者，在計算聯動軸的運動量時，根據模型優化刀具中心點運動軌跡誤差[13-14]，或者優化刀具軸線矢量轉動誤差[15-16]，此類方法主要在刀具中心點運動軌跡中插入新的刀具中心點，或者在刀具軸線轉動軌跡中插入新的刀具軸線矢量，從而實現加工軌跡誤差的優化。該類方法可用于機床的后置處理，具有較好的通用性，但由于所插入的刀具中心點或新的軸線矢量無法考慮到刀具與工件之間的接觸或方向關系，因此，該類方法并不能保證誤差優化具有很好的效果。

本文以用于拋光加工的六軸聯動數控機床為研究對象，通過建立其運動學模型，研究其冗余聯動特點。建立加工軌跡誤差與聯動軸運動之間相互關聯的數學模型，提出以冗余聯動軸優化加工軌跡誤差的方法。在該機床上應用所提出的加工軌跡優化算法進行對比實驗，對實驗中的加工軌跡誤差和拋光后工件表面粗糙度進行分析，以驗證本文所提出優化方法的有效性。

1 六軸聯動機床運動學模型與冗余聯動

機床運動學模型的主要作用為將刀具相對工件的運動映射成聯動軸的運動，即將工件靜止時，刀具相對于工件的運動軌跡轉換成機床聯動軸的運動軌跡。當工件靜止時，刀具運動軌跡可以用刀具中心點p和刀具軸線矢量u描述，其中p和u分別表示為

(1)

式中px、py、pz——刀具中心點p在X、Y和Z方向上的分量

ux、uy、uz——刀具軸線矢量u在X、Y和Z方向上的分量

本文所研究的六軸聯動數控機床應用于衛浴產品的拋光加工，刀具為拋光輪，其結構圖如圖1所示，具有X、Y和Z3個平動聯動軸，A、B和C3個旋轉聯動軸，其中B、C軸位于工件處。在圖1中，機床的B軸和C軸處于可360°旋轉的轉盤上，為了上下料方便，此時，B軸處于-90°，使得此時的C軸軸線和A軸軸線平行。為了描述該機床聯動軸的運動，建立機床坐標系如圖2所示，其中OmXmYmZm為機床坐標系，OwXwYwZw為工件回轉坐標系，OtXtYtZt為拋光輪平動坐標系，拋光輪中心點p與Ot重合，OtlXtlYtlZtl為拋光輪擺動坐標系。為了研究方便，設機床坐標系與工件回轉坐標系相重合，則rm為零矢量。機床的初始狀態為各個聯動軸的運動量為0時對應的狀態。矢量rn為該狀態下拋光輪擺動坐標系原點在拋光輪平動坐標系下的坐標，以齊次坐標表示為

rn=(nx,ny,nz,1)

式中nx、ny、nz——矢量rn在X、Y和Z方向上分量

圖1 六軸聯動數控機床裝配圖Fig.1 Assembly drawing of six-axis linkage CNC machine tool

圖2 六軸聯動數控機床坐標系示意圖Fig.2 Diagram of coordinate systems of six-axis linkage CNC machine tool

由圖1和圖2關于機床聯動軸和坐標系的描述，能夠建立聯動軸運動與拋光輪中心點p和拋光輪軸線矢量u之間的數學模型。因此，本文研究的六軸聯動數控機床運動學模型可表示為

[p1]T=R(-θC)R(-θB)T(s+rn)·
R(θA)T(-rn)[0 0 0 1]T

(2)

[u0]T=R(-θC)R(-θB)T(s+rn)·
R(θA)T(-rn)[0 0 1 0]T

(3)

其中

s=(sx,sy,sz,1)

式中θA——A軸轉動角θB——B軸轉動角

θC——C軸轉動角sz——Z軸運動量

T——平移運動齊次坐標變換矩陣

R——旋轉運動齊次坐標變換矩陣

sx——X軸運動量sy——Y軸運動量

將式(3)展開可得

(4)

由于拋光輪軸線矢量u為單位矢量，式(4)只有兩個獨立方程，同時具有3個未知數(3個旋轉聯動軸的運動量)，因此，式(4)為冗余方程組。對于給定的拋光輪軸線矢量，式(4)的解，即A、B、C軸的運動量理論上有無窮多組。

如圖1所示，由于機床的C軸通過夾具與工件直接連接，C軸的轉動可以直接驅動工件轉動，而不依賴于其他旋轉聯動軸，將C軸視為冗余聯動軸，即C軸的運動量設為已知，則其余5個聯動軸的運動量為

(5)

(6)

由式(5)、(6)可知，需先以附加約束條件確定C軸的運動量，進而計算出其他5個聯動軸的運動量。因此，本文研究的六軸聯動數控機床為冗余系統，聯動軸的運動在滿足拋光輪中心點位置和拋光輪軸線矢量方向的前提下，可以實現額外的附加功能。本文所研究的附加功能為加工軌跡誤差的最小化。

2 加工軌跡誤差

2.1 接觸點軌跡

在本文研究的六軸聯動數控機床中，加工軌跡為拋光輪與工件的相對運動軌跡，即拋光輪上與工件相接觸的點在工件表面上的運動軌跡。當拋光輪相對于工件出現轉動時，無法僅以其中心點的運動軌跡來準確描述加工軌跡，需同時考慮拋光輪相對于工件的轉動。拋光輪與工件的接觸關系如圖3所示。

圖3 拋光輪與工件接觸點示意圖Fig.3 Diagram of contact point between polish wheel and workpiece

在圖3中，p為拋光輪中心點，u為拋光輪軸線矢量，c為拋光輪與工件的接觸點，S為工件表面。為了研究方便，設拋光輪轉速為0，加工軌跡可轉換為拋光輪上與工件相接觸點的運動軌跡，即點c的運動軌跡。

定義在某個加工軌跡段中，起始點處拋光輪中心點坐標為p1，拋光輪軸線矢量為u1，對應X、Y、Z、A、B和C軸的運動量為sx1、sy1、sz1、θA1、θB1、θC1；結束點處拋光輪中心點坐標為p2，拋光輪軸線矢量為u2，對應X、Y、Z、A、B和C軸的運動量為sx2、sy2、sz2、θA2、θB2、θC2。

由剛體運動規律可知，接觸點c的運動可分解為：跟隨拋光輪中心點p的平移和相對于該中心點的定點轉動。則接觸點c的運動軌跡可表示為

c=p+Ruax(θax)pc

(7)

式中pc——拋光輪中心點p至接觸點c的矢量

θax——接觸點繞拋光輪中心點的轉動角

下標uax表示接觸點c繞拋光輪中心點p的轉動軸線。

轉動軸線uax由拋光輪軸線確定，可表示為

uax=u1×u2

(8)

因此，接觸點運動軌跡，即加工軌跡，由拋光輪中心點的平動軌跡和接觸點繞該中心點的轉動軌跡合成而得。

2.2 拋光輪中心點軌跡誤差

在本文所研究的六軸聯動數控機床中，拋光輪中心點的理論運動軌跡pr(t)可以用直線段擬合，表示為

pr(t)=
(tpx2+(1-t)px1,tpy2+(1-t)py1,tpz2+(1-t)pz1,1)

(9)

式中t——在[0,1]之間的無量綱自變量

px1、py1、pz1——p1在X、Y和Z方向上的分量

px2、py2、pz2——p2的X、Y和Z方向上的分量

數控系統一般采用線性插補控制聯動軸的運動，因此機床各個聯動軸的運動軌跡為

(10)

由于拋光輪相對于工件的運動是由機床聯動軸的運動合成而得，因此拋光輪中心點實際運動軌跡p(t)為

[p(t) 1]T=R(-θC(t))R(-θB(t))T(s(t)+n)·

R(θA(t))T(-n)[0 0 0 1]T

(11)

由式(11)可知，拋光輪中心點的實際運動軌跡為曲線。結合式(10)，拋光輪中心點的理論運動軌跡與實際運動軌跡的誤差εp(t)為

εp(t)=|p(t)-pr(t)|

(12)

由拋光輪中心點平動誤差所導致的接觸點運動誤差同樣可由式(12)表示。

2.3 拋光輪軸線轉動軌跡誤差

為了研究方便，設拋光輪中心點靜止，則此時接觸點的運動由拋光輪軸線轉動引起。一般而言，在設計拋光輪運動軌跡時，希望拋光輪軸線在u1處以恒定角速度轉動至u2處，該轉動軌跡ur(t)可表示為

ur(t)=ξ1(t)u1+ξ2(t)u2

(13)

式中ξ1(t)、ξ2(t)——與u1、u2和t有關的函數

因此，拋光輪軸線的理論轉動軌跡，即ur(t)的轉動軌跡為在u1和u2所組成的平面內，從u1至u2且半徑為1的圓弧，圓心為中心點p，重新表示為

(14)

式中θ——軸線矢量u1和u2的夾角

由機床運動模型式(3)和聯動軸運動軌跡關系式(10)可知，拋光輪軸線的實際轉動同樣由旋轉聯動軸的運動合成而來，即為

(15)

由式(15)可知，拋光輪軸線的實際轉動軌跡為在半徑為1的球面上的曲線，且起始點為u1，結束點為u2，球心為中心點p。

可知拋光輪軸線的理論轉動軌跡和實際轉動軌跡兩者之間存在夾角誤差θr(t)，可表示為

θr(t)=arccos(u(t)ur(t))

(16)

因此，由于拋光輪軸線轉動夾角誤差導致的接觸點運動誤差εu(t)為

(17)

由式(17)可知，當軸線夾角誤差越大，所引起的接觸點運動軌跡誤差也越大。

2.4 接觸點軌跡誤差

由2.2節和2.3節可知，由于接觸點相對于拋光輪中心點的平動和轉動相互正交，接觸點運動的平動誤差和轉動誤差也相互正交。結合式(12)、(17)，接觸點實際運動軌跡誤差ε(t)為

(18)

由于本文所研究的六軸聯動數控機床具有冗余聯動特點，由式(5)、(6)可知，接觸點軌跡誤差同時與冗余旋轉聯動軸C軸的運動量有關，則其可表示為

(19)

3 加工軌跡誤差優化

由第2節可知，加工軌跡誤差，即接觸點運動軌跡誤差，是由拋光輪中心點平動軌跡誤差和拋光輪軸線轉動軌跡誤差所引起的。因此，需要對這兩個誤差進行優化，從而實現接觸點軌跡誤差的優化。

由式(19)可知，本文所研究的六軸聯動數控機床具有冗余聯動特點，通過冗余旋轉聯動軸C軸的運動，可以實現拋光輪中心點平動誤差和拋光輪軸線轉動誤差的最優，從而達到加工軌跡誤差的優化。

3.1 拋光輪中心點運動軌跡誤差優化

為了研究拋光輪中心點平動軌跡誤差εp(t)的優化，根據式(12)，將該誤差在X、Y和Z方向上分解，可表示為

(20)

式中εpx(t)、εpy(t)、εpz(t)——誤差εp(t)在X、Y、Z方向上的分量

將式(20)中的三角函數在t為0處以泰勒級數展開，可表示為

(21)

因此，在該段拋光輪中心點軌跡段內，當A、B、C3個旋轉軸的變化量越小，結合式(21)，則機床X、Y、Z聯動軸運動量越接近中心點的理想運動軌跡在對應方向上的分量，即為

(22)

進一步根據機床運動學模型式(2)，可以得到A、B、C3個旋轉軸的變化量與拋光輪中心點軌跡誤差的X、Y、Z方向分量之間的關系為

(23)

由式(23)可知，在該段軌跡內，當A、B、C軸的運動量越小時，拋光輪中心點運動軌跡誤差也越小，即有如下關系

(24)

由于A、B、C3個旋轉聯動軸相互正交，因此式(24)可轉換為

(25)

式(25)表明，當C軸的轉動使得A、B軸及自身的運動量最小，可使得拋光輪中心點軌跡誤差最小。

3.2 拋光輪軸線轉動軌跡誤差優化

如式(17)所示，當實際軸線矢量與理論軸線矢量之間的夾角誤差越小，由此引起的接觸點軌跡誤差也越小。因此，可以通過C軸的轉動，使得式(16)中的夾角誤差最小，從而優化其引起的接觸點軌跡誤差。根據本文機床的冗余聯動特點，兩個軸線矢量的夾角誤差大小同時與C軸的運動有關，由式(17)可以定義二元函數

(26)

式中g(θC(t),t)——拋光輪實際軸線與理論軸線的點積

由于式(26)在t為0和1時取值為0，因此存在t0符合如下關系

(27)

結合式(16)可知，在θC固定時，夾角誤差在t0時為最大值。此時，拋光輪軸線矢量實際值為

(28)

由于式(28)在式(27)的條件下，只有θC(t0)為變量。因此，有如下條件

(29)

式(29)中，由于3個旋轉聯動軸的運動量只和初始和結束狀態有關，可重新表示為

(30)

結合式(17)，當3個旋轉聯動軸的運動量均為最小時，由拋光輪軸線轉動誤差所導致的接觸點運動誤差為最小，即為

(31)

式(31)表明，當C軸的轉角使得A、B軸及自身的運動量最小時，可使得拋光輪軸線轉動軌跡誤差及其導致的接觸點運動軌跡誤差最小。

3.3 接觸點軌跡誤差優化

由3.1、3.2節研究結果可知，關于拋光輪中心點運動軌跡誤差和拋光輪軸線矢量轉動誤差的優化條件完全相同，因此，該優化條件可以優化接觸點運動軌跡誤差，則該條件下對應的C軸運動可表示為

(32)

式中f(θC2)——C軸優化接觸點軌跡誤差的函數

式(32)中，起始點處3個旋轉聯動軸的運動量為已知，即θA1、θB1和θC1已知。因此，在該式中，結束點處C軸的轉角使得在對應加工軌跡段內A、B、C軸的變化量最小，可以使得接觸點的運動軌跡誤差最小，即加工軌跡誤差為最小。

式(32)的邊界條件為該式所得到的各聯動軸運動量需處于表1的行程范圍之內，否則無法進行實際加工。如聯動軸運動量出現超程，則重新計算，取符合所有聯動軸行程限制且式(32)最小的一組聯動軸運動量。本文所研究的機床各聯動軸的實際行程如表1所示，同時rn為(0,80 mm,0,1)。

表1 機床聯動軸行程Tab.1 Strokes of linkage axes of machine tool

由表1可知，C軸沒有行程限制，即能實現-180°～180°的旋轉，如果θC2直接在該區間內取值計算，則計算比較繁瑣。因此，引入一種尋優算法以減小計算量。當一個加工軌跡段內，拋光輪軸線u1和u2平行時，由機床運動學模型式(2)、(3)可知，3個旋轉聯動軸均保持靜止，機床以XYZ3軸聯動進行加工，此時加工軌跡誤差為0。由于C軸的轉動可以改變u1和u2之間的夾角，可使得兩者之間的夾角最小，即存在θC2p，有如下條件成立

max(Rot(θC2p)u2u1)

(33)

由式(33)可以進一步計算θC2p，可表示為

θC2p=90°-φ

(34)

(35)

式中φ——與u1和u2有關的角，取為-90°～90°

由于式(33)的C軸轉動無法改變拋光輪軸線矢量在Z方向上的分量，該情況下加工軌跡誤差大于式(32)所對應的誤差。因此，接觸點軌跡誤差最小對應的C軸角θCop區間表示為

θCop∈[θC1-|θC2p|,θC1+|θC2p|]

(36)

在實際計算中，可在式(36)對應的區間中，C軸以數控系統旋轉軸分辨率0.001°為變化量，尋找滿足表1前提下，符合式(32)的6個聯動軸運動量，從而減小該優化方法的計算量。

4 拋光加工實驗

為了驗證所提出的加工軌跡誤差優化算法有效性，在六軸聯動數控機床(圖1)上進行加工實驗。拋光加工主要是為了降低工件表面粗糙度，拋光輪與工件為半剛性或者柔性接觸，即拋光輪的變形產生與工件之間的接觸壓力。因此，當加工軌跡出現誤差時，接觸壓力同時也出現誤差[17-18]。由于在其他條件(如加工軌跡等)不變時，工件表面的拋光去除率由接觸壓力決定。當加工軌跡誤差使得接觸壓力出現變化時，導致出現欠拋現象，從而影響工件拋光后的表面粗糙度和粗糙度均勻一致性[19-20]。因此，可以用工件拋光后的表面粗糙度和均勻一致性衡量加工軌跡誤差。測試工件如圖4所示。

圖4 加工工件示意圖Fig.4 Diagram of processing workpiece

如圖4所示，在初始狀態時，工件的X軸與機床的X軸平行，Z軸與機床的Z軸平行。由于工件的表面由曲面組成，且在加工時為了保證拋光輪軸線與拋光路徑的切線相平行，機床需要五軸聯動才能實現加工。為了比較加工軌跡誤差，實驗采用了XYZAB五軸聯動和XYZABC六軸聯動分別對工件進行加工，且拋光路徑完全相同，拋光輪轉速均為1 000 r/min，拋光輪中心點沿工件表面的運動速率均為3 000 mm/min，拋光輪直徑為300 mm，厚度為25 mm。因此，這2種聯動情況下，拋光質量的差別源于加工軌跡誤差。其中，在五軸聯動時，C軸保持靜止，且轉角為0°；在六軸聯動時，C軸的運動量由式(32)和表1確定。

為了驗證優化算法的可行性，選取工件的其中一段加工軌跡進行詳細計算和仿真說明。該軌跡的起始點處拋光輪中心點坐標為(-6.226 853 292 mm, 14.675 038 069 mm, 25.876 051 55 mm)，拋光輪軸線單位矢量為(0.944 281 36, 0.324 139 00, 0.057 154 45)；結束點處拋光輪中心點坐標(4.005 985 873 mm, 17.138 363 010 mm, 30.219 558 04 mm)，拋光輪軸線單位矢量為(0.999 327 03, 0.036 123 61, 0.006 369 57)。

在XYZAB五軸聯動情況下，起始點處各個聯動軸的運動量為：(-26.205 mm，10.356 mm，-30.583 mm，-18.913°，-86.536°，0°)。

結束點處各個聯動軸運動量為：(-30.193 mm，17.086 mm，1.309 mm，-2.070°，-89.635°，0°)。

在六軸聯動情況下，C軸的運動由式(33)確定，起始點處各個聯動軸運動量為：(-26.205 mm，10.356 mm，-30.583 mm，-18.913°，-86.536°，0°)。

結束點處各個聯動軸運動量為：(-30.210 mm，16.202 mm，-12.923 mm，-10.494°，-89.630°，8.424°)。

此時，式(34)對應的θC2p為16.875°，式(32)得到的θC2屬于式(36)對應的區間之內，符合實際情況，同時式(32)的計算量得到簡化。

由各個聯動軸在上述兩種不同聯動方式的運動量可知，結合式(33)，五軸聯動下AB軸的變化量之和大于六軸聯動下ABC軸的變化量之和。由表1可知，兩種聯動方式下各聯動軸的運動量均處于對應的行程之內，即均可以實現加工。

根據式(2)、(3)，由Matlab軟件分別繪制出在五軸聯動和六軸聯動情況下，該段加工軌跡下的拋光輪中心點實際運動軌跡和拋光輪軸線矢量實際轉動軌跡，分別如圖5、6所示。

圖5 拋光輪中心點運動軌跡Fig.5 Trajectory of polish wheel center point

圖6 拋光輪軸線矢量轉動軌跡Fig.6 Trajectory of polish wheel axis vector

由于圖5和圖6均為三維曲線，為了直觀表示在五軸聯動和六軸聯動情況下拋光輪中心點平動軌跡誤差，根據式(12)，繪制出該誤差的變化曲線，如圖7所示。

同樣，根據式(17)，繪制出在五軸聯動和六軸聯動情況下，拋光輪軸線理論轉動軌跡與實際轉動軌跡之間夾角誤差的余弦值，如圖8所示。

圖7 拋光輪中心平動軌跡誤差Fig.7 Trajectory errors of polish wheel center point

圖8 拋光輪軸線轉動軌跡誤差Fig.8 Trajectory error of polish wheel axis vector

如圖5、7所示，以拋光輪中心點理論運動軌跡作為參考，五軸聯動下實際運動軌跡的最大誤差為0.864 mm；六軸聯動下實際運動軌跡的最大誤差為0.189 mm，即誤差更小。同樣，如圖6、8所示，以拋光輪軸線矢量理論轉動軌跡作為參考，六軸聯動下拋光輪軸線轉動夾角誤差明顯小于五軸聯動情況。結合式(18)可知，五軸聯動下實際轉動軌跡的角度最大誤差為0.049 7°，對應接觸點軌跡誤差為0.131 mm；六軸聯動下實際轉動軌跡角度最大誤差為0.013 9°，對應接觸點軌跡誤差為0.037 mm，即誤差更小。因此，結合式(20)可知，機床在六軸聯動下的實際加工軌跡誤差比五軸聯動下的實際加工軌跡誤差更小。

圖4所示的工件其他部分加工同樣按照式(33)產生機床各個聯動軸的運動量，從而實現加工軌跡誤差的優化，其實際加工過程如圖9所示。

圖9 六軸聯動數控機床實際加工過程Fig.9 Polishing process of six-axis linkage CNC machine tool

工件在機床中分別以五軸聯動和六軸聯動對工件進行拋光加工，通過白光干涉儀分別測量工件同一處兩種聯動模式下的表面拋光效果，結果如圖10所示。圖10a為五軸聯動的拋光結果，工件的表面粗糙度為1 303.594 nm；圖10b為六軸聯動的拋光結果，其表面粗糙度為909.270 nm。圖10a的表面粗糙度更大，且存在多處欠拋現象(黑色條紋)，即表面粗糙度一致性更差。由于兩種聯動模式下理論加工軌跡和其他拋光條件均相同，可見，通過對加工軌跡誤差的優化，降低了工件的拋光表面粗糙度，同時得到了均勻一致性更好的拋光表面。該優化方法可以應用于實際拋光加工。

圖10 兩種聯動模式的拋光加工結果Fig.10 Polishing results of two linkage modes

5 結論

(1)建立了具有3個平動聯動軸和3個旋轉聯動軸的六軸聯動數控機床運動學模型，研究了其冗余聯動特點。

(2)在研究機床加工軌跡誤差產生機理的基礎上，提出了以冗余旋轉聯動軸的運動優化刀具中心點運動和刀具軸線轉動的方法，降低了加工軌跡誤差，提高了拋光加工質量。