零吸引符號子帶自適應濾波算法*

郭 瑩，關思秀

（沈陽工業大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110870）

0 引 言

自適應濾波算法在各領域有著廣泛應用，如回聲消除、系統辨識、自適應信道均衡和信號預測 等[1-3]。傳統的LMS算法操作簡單易實現[4]，RLS算法收斂速度快，但其計算復雜度較高[5]。若輸入信號是強相關性的有色信號或語音信號，這兩種算法的收斂速度將明顯變慢。子帶自適應濾波技術能夠有效解決此問題[6]。子帶自適應濾波器通過濾波器組分割輸入信號從而降低輸入信號的相關性，在各個子帶中獨立進行算法，可以加快自適應濾波器的收斂速度[7]。在傳統的子帶自適應濾波器結構中，濾波器的輸出端存在混疊分量，使其具有較高的穩態誤差。為了解決傳統子帶自適應濾波器中存在的混疊分量問題，Lee和Gan提出了歸一化子帶自適應濾波器結構，如圖1所示，并推導出歸一化子帶自適應濾波算法的更新方程[8]。目前，大多數算法都將背景噪聲假設為高斯噪聲，而現實生活中卻廣泛存在非高斯沖擊噪聲，如雷電、報警器、電動機等。基于l2范數的子帶自適應濾波算法的性能被這些沖擊噪聲破壞[9]，如歸一化子帶自適應濾波算法和比例歸一化子帶自適應濾波算法[10]。考慮到符號類自適應算法可以降低算法復雜度和對沖擊噪聲有較強的穩健性，文獻[11]提出了符號子帶自適應濾波（Sign Subband Adaptive Filter，SSAF）。需要說明的是，以上算法均并未考慮系統的稀疏特性[12]（大部分系數為零）。

本文將零吸引因子加入符號子帶自適應濾波算法，使其在稀疏系統、背景噪聲為非高斯沖擊噪聲下，具有較快的收斂速度和較低的穩態誤差。最后，仿真證明了該算法的有效性。

圖1 子帶自適應濾波器結構

1 傳統算法分析

1.1 歸一化子帶自適應濾波算法

最小擾動原理指的是，自適應濾波器更新后輸出要滿足一定的約束，一次到下一次迭代，自適應濾波器的系數應當以最小方式變化。Lee和Gan基于最小擾動原理，推導了歸一化子帶自適應濾波器的更新方程[12]。歸一化子帶自適應濾波器的結構如圖1所示。結構中，Hi(n)和Gi(n)分別為分析濾波器和綜合濾波器，其中i=0,1,…,N-1，這里N為常數。x(n)和d(n)經Hi(n)分割后分別產生各自的子帶信號xi(n)和di(n)，然后將di(n)和yi(n)進行N倍抽取得到di,D(k)和yi,D(k)。這里，n表示抽取前時刻，k表示經過抽取后時刻。于是，第i個子帶輸出為：

這里，w(k)為自適應濾波器在n=kN時刻的權系數向量，長度為L，且：

由圖1可以看出，每個子帶中擁有獨立的自適應回路，利用誤差信號ei,D(k)更新子帶自適應濾波器的加權誤差，最終最小化誤差信號ei,D(k)。第i個子帶誤差信號為：

受約束的最優化模型見式（4），基于最小擾動原理推導NSAF算法為：

利用拉格朗日乘子法，式（4）可寫成如下的代價函數：

其中，λi是拉格朗日乘子。為了求得式（2）的最優值，令可得：

將式（7）代入di,D(k)=wT(k+1)xi(k)，得：

其 中，λ=[λ0,λ1,…,λN-1]T是 拉 格 朗 日 乘 子 向量，X(k)=[x0(k),x1(k),…,xN-1(k)]是輸入信號矩陣，eD(k)=[e0,D(k),e1,D(k),…,eN-1,D(k)]T是誤差向量。式（7）的矩陣形式為：

根據余弦調制濾波器組的正交性，有：

其中diag(·)表示對角矩陣。

得到歸一化子帶自適應濾波算法的更新公式為：

其中，μ為步長參數；δ為正則化參數，用來解決數值計算這一難題。

1.2 符號子帶自適應濾波算法

該算法的推導是基于最小擾動原理的受約束最優化問題，結構與圖1相同。符號子帶自適應濾波算法對脈沖干擾具有較強的魯棒性。

這里可得第i個子帶輸出為：

w(k)為自適應濾波器在n=kN時刻的權系數向量，其長度為L，且有：

定義第i個子帶誤差信號和第i個子帶后驗誤差信號分別為：

則子帶誤差向量和子帶后驗誤差向量可分別記為：

其中：

符號子帶自適應濾波算法的受約束最優化問題為：

其中，μ為正的步長參數。

代價函數為：

其中，λ為拉格朗日乘子。對式（17）求w(k+1)的導數，得：

其中，sgn(·)表示符號運算，且有：

將式（25）帶入式（21），得：

使用對角化，假設：

式（26）可簡化為：

將式（28）帶入式（25），得：

由于后驗誤差向量在k時刻無法求得，因此用子帶誤差向量替代，得到權系數更新方程為：

為了克服數值計算困難，將正則化參數δ引入式（30），得：

2 新算法的提出

稀疏信道廣泛存在于日常生活，如水下通信信道、通信系統回聲信道和無線通信中多徑信道等。所謂稀疏特性指的是這些信號和系統中大部分元素取值為零或接近于零，僅有少數元素是非零[13]。結合零吸引因子，使稀疏系統中多數較小元素加快收斂，即零吸引符號子帶自適應濾波算法（Zero Attractor Sign Subband Adaptive Filter，ZASSAF）。該算法可以在稀疏系統中抵御非高斯噪聲的影響，后文將分析和仿真證明其有效性。

本文將零吸引因子引入SSAF算法。所謂零吸引因子，可以理解為在每次迭代時“吸引”濾波器權系數向零矢量靠近，得到的ZASSAF算法的更新公式：

為提高對稀疏系統的辨識性能，在SSAF算法迭代過程基礎上向權系數不斷添加一個指向零矢量的修正量，使得在稀疏系統中占主要地位的零系數加速收斂。其中，sgn(·)是一個符號函數。假設符號函數中的變權系數n＞0，將會減去一個小的正值υ；當某項權系數n＜0，該系數將會增加一個小的正值υ。當未知系統稀疏時，零系數或者較小系數占主要地位，它們的快速收斂將提高整個系統的收斂性能。υ的選取將直接影響算法的收斂性能。具體地，υ太小，向零矢量靠近慢；υ太大，υsgn[w(k)]項帶來負面影響，增大了穩態誤差。因此，選擇合適的υ值對算法具有重要意義[14]。在稀疏系統辨識問題中，ZASSAF比SSSAF具有更好的收斂性能。

3 實驗結果

3.1 實驗條件

3.2 性能指標及參數設置

仿真實驗在等效步長條件下進行，選取均方偏差（Mean Square Deviation，MSD）收斂曲線作為評價實驗結果的好壞。所有均方偏差曲線為20次獨立實驗取平均的結果，單位為分貝（dB）。

3.3 仿真結果及分析

本文實驗是在公平原則下進行的。將各算法應用的到系統辨識系統中并進行MATLAB仿真實驗，且為了避免偶然性，每個仿真都是30次獨立實驗的平均結果。

3.3.1 NLMS算法與NSAF算法性能比較

高斯噪聲條件下，非稀疏信道信道為圖2（b），輸入信號由零均值高斯白噪聲通過一階AR系統產生。比較分析NLMS算法與NSAF算法的性能，仿真結果如圖3所示。

圖2 仿真中用的信道

表2 參數設置

當輸入信號為有色信號時，NLMS算法與NSAF子帶數為2、4、8時進行對比。可以看出，NLMS算法收斂速度變慢，NSAF算法具有更快的收斂速度。此外，隨著子帶數目的增加，收斂速度相對變快，但是隨著子帶數目的增多，計算復雜度增高。實驗仿真子帶數為4。

圖3 NLMS算法與NSAF算法在高斯噪聲條件下性能比較

3.3.2 輸入信號為有色信號，各算法在稀疏信道、高斯噪聲條件下的性能比較

稀疏信道信道為圖2（a）、高斯噪聲條件下，比 較NSAF算 法、PNSAF算 法、IPNSAF算 法、MPNSAF算法、SSAF算法和ZASSAF算法的性能，仿真結果如圖4所示。

圖4 各類算法在稀疏系統中高斯噪聲條件下下性能比較

由圖4可以看出，SSAF算法和ZASSAF算法同樣適用于高斯噪聲條件下；ZASSAF算法比SSAF算法收斂速度快，且降低了穩態誤差。

3.3.3 輸入信號為有色信號，各類算法在稀疏信道、非高斯噪聲條件下的性能比較

非高斯噪聲條件下，稀疏信道信道為圖2（a）。非高斯噪聲具有較強的脈沖性，嚴重影響了基于l2范數優化準則的自適應濾波算法的性能，如PNSAF算法、IPNSAF算法和MPNSAF算法。而SSAF、ZASSAF對脈沖噪聲具有良好的抑制作用，仿真結果如圖5所示。

圖5 各個算法在稀疏系統中非高斯噪聲條件下性能比較

由圖5可以看出，NSAF算法在稀疏信道非高斯噪聲條件下無法收斂；ZASSAF算法則同時兼顧稀疏系統和非高斯噪聲干擾仍迅速收斂。

3.3.4 輸入信號為語音信號，算法在稀疏信道中，背景噪聲為高斯噪聲和非高斯噪聲的性能比較

輸入信號為語音信號，稀疏信道為圖2（a）。圖6為存在高斯噪聲條件下的收斂曲線，圖7為存在非高斯噪聲條件下的收斂曲線。可以看出，不同背景噪聲下，算法均具有較好的收斂性能，且在非高斯沖擊噪聲下ZASSAF算法具有更低的穩態 誤差。

圖6 高斯噪聲條件各算法收斂曲線

圖7 非高斯噪聲條件各個算法在不同系統的跟蹤性能

4 結 語

本文提出的零吸引符號子帶自適應濾波算法（ZASSAF）是針對稀疏系統和非高斯噪聲干擾對算法性能的破壞提出的。仿真實驗表明，加入零吸引的SSAF算法可以適用于現實生活普遍存在的稀疏系統，且具有較快的收斂速度和較低的穩態誤差。非高斯噪聲的干擾和稀疏信道的普遍存在，使得該類算法的研究十分必要。實驗結果表明，本文算法對稀疏系統有較好的適應能力，且對非高斯噪聲的抑制能力、收斂速度、穩態性能均優于符號子帶自適應濾波算法。