*可折疊微板上的細(xì)胞牽張力的計(jì)算

王麗麗，陳維毅

(太原理工大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，太原 030024)

細(xì)胞牽張力(cell traction forces,CTFs)，即細(xì)胞收縮力，通過(guò)肌動(dòng)球蛋白的相互作用和肌動(dòng)蛋白的聚合作用產(chǎn)生的，方向指向細(xì)胞體的中心，在很多生物學(xué)過(guò)程中發(fā)揮重要作用，如細(xì)胞鋪展炎癥、傷口愈合、血管再生和腫瘤轉(zhuǎn)移等[1-2]，如圖1所示。CTFs的測(cè)量可追溯到20世紀(jì)80年代，HARRIS et al[3]將細(xì)胞接種在薄硅膠膜上，發(fā)現(xiàn)正在遷移的細(xì)胞使硅膠膜產(chǎn)生褶皺，通過(guò)分析褶皺的數(shù)量及長(zhǎng)短，發(fā)現(xiàn)小GTPase RhoA和鈣調(diào)蛋白信號(hào)途徑通過(guò)應(yīng)力纖維和局部FAs參與CTFs的調(diào)控[4-5]。然而，薄硅膠膜測(cè)量CTFs僅局限于高度收縮性的幾種細(xì)胞，而且由于薄膜發(fā)生非線性褶皺變形，導(dǎo)致力學(xué)分析比較困難。有學(xué)者改進(jìn)了上述測(cè)量方法，在非起皺硅膠彈性膜上包被微米級(jí)乳膠小球，細(xì)胞產(chǎn)生牽引力使微球的位置發(fā)生變化，但并不引起彈性薄膜起皺[6]。根據(jù)小球的位移變化估算牽張力的矢量，但小球的位移和牽張力之間的關(guān)系仍為非線性，依舊不能采用彈性理論進(jìn)行分析。DEMBO et al[7]將細(xì)胞培養(yǎng)在軟的凝膠或高分子聚合物彈性基底表面，基于小變形假設(shè)，采用線彈性連續(xù)介質(zhì)理論進(jìn)行分析計(jì)算CTFs場(chǎng)[8]。此方法的優(yōu)勢(shì)在于聚丙烯酰胺凝膠屬于線性彈性材料，外力消失后，形變可恢復(fù)[9]；不足之處在于所用的彈性基底本身會(huì)發(fā)生變形及熒光粒子位移的測(cè)量使此方法精確度受到一定限制，觀測(cè)數(shù)據(jù)的微小偏差可能導(dǎo)致解的離散。

圖1 細(xì)胞牽張力示意圖[2]Fig.1 Schematic diagram of cell traction force[2]

也有學(xué)者用水平式的微組裝懸臂梁和微柱力傳感器陣列技術(shù)[10-12]測(cè)定細(xì)胞牽張力(圖2).BENINGO et al[13]采用“夾心”的方法，結(jié)合細(xì)胞牽張力顯微鏡技術(shù)(traction force microscopy,TFM)檢測(cè)了細(xì)胞在三維微環(huán)境中所產(chǎn)生的牽張力。雖然采用上述測(cè)量CTFs技術(shù)部分實(shí)現(xiàn)了細(xì)胞在三維微環(huán)境中CTFs的估算，但受技術(shù)本身的缺陷影響，實(shí)現(xiàn)細(xì)胞在三維微環(huán)境中牽張力的測(cè)量需要提高和改進(jìn)。

圖2 微柱上細(xì)胞鋪展及牽張力產(chǎn)生機(jī)制示意圖[12]Fig.2 Schematic representation of cell spreading and force generation mechanism on micropillar[12]

在微制造領(lǐng)域，與立體平面印刷術(shù)和激光微加工技術(shù)相比，折紙折疊技術(shù)因其操作簡(jiǎn)單、省時(shí)等優(yōu)點(diǎn)，已被證實(shí)是制造三維微結(jié)構(gòu)非常有前景的方法[14]。最近采用折紙折疊技術(shù)制造出了載有細(xì)胞的納米尺度的微結(jié)構(gòu)[15]人工組織支架[16]和手術(shù)夾具[17]等，由于這些微結(jié)構(gòu)需要額外的激發(fā)因子所產(chǎn)生的表面張力或鉸鏈?zhǔn)湛s來(lái)實(shí)現(xiàn)折疊，而這些驅(qū)動(dòng)力的產(chǎn)生需要功能材料，如n(Cu)∶n(Cr)復(fù)合金屬或熱敏聚合物，若應(yīng)用到活細(xì)胞研究中，則需考慮其生物相容性。2012年日本東京大學(xué)研究人員建立了細(xì)胞折紙(cell origami)CTFs系統(tǒng)(圖3)，利用細(xì)胞牽張力將具有生物相容性的聚對(duì)二甲苯(Parylene)薄膜折疊[18]，并通過(guò)改變薄膜的二維形狀及排列，構(gòu)建了不同的三維空間結(jié)構(gòu)，并通過(guò)增加“鉸鏈結(jié)構(gòu)”來(lái)精準(zhǔn)控制折疊角度。

圖3 折疊角示意及實(shí)驗(yàn)圖[18]Fig.3 Schematic illustration of folding angle and experiment[18]

雖然上述材料在實(shí)現(xiàn)三維微結(jié)構(gòu)時(shí)不需要額外的激發(fā)因子，簡(jiǎn)單高效，且細(xì)胞折紙法獲得的細(xì)胞牽張力的精度約是DEMBO et al[7]方法的3倍，但他們只給出了一種測(cè)量CTFs的平臺(tái)，并沒(méi)有定量的力學(xué)分析依據(jù)和更加深入的應(yīng)用。因此本研究擬通過(guò)自折疊2D微板(self-fold flat microplates)建立測(cè)量CTFs細(xì)胞折紙的理論計(jì)算模型，通過(guò)改變微板2D形狀、尺寸和剛度等物理參數(shù)建立細(xì)胞折紙系統(tǒng)的折疊角度和彎矩的關(guān)系，并通過(guò)有限元方法驗(yàn)證公式的合理性。

1 彎矩與折疊角的關(guān)系表達(dá)式

本文首先將微板看成是只受彎矩影響的純彎曲梁(圖4)[19]，用橫截面m-m和n-n從梁中取長(zhǎng)度為dw的微段，設(shè)梁的軸線為x軸，橫截面的對(duì)稱軸(縱向?qū)ΨQ面)為y軸，中性軸(中性層與橫截面的交線)為z軸，彎曲后，截面m-m和n-n間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為dθ，從幾何、物理以及靜力學(xué)方面推導(dǎo)得出彎矩M(θ)和折疊角θ之間的關(guān)系表達(dá)式：

(1)

式中：M(θ)是CTFs所合成的合力矩；Iz是對(duì)轉(zhuǎn)軸z的慣性矩；E是微板的彈性模量；w是微板刻痕的寬度。根據(jù)幾何關(guān)系可知[18]：

(2)

式中：dm是刻痕處微板的厚度；θ是折疊角(圖3)；dh是鉸鏈厚度。得出微板彎曲時(shí)的彎矩M(θ)與其幾何尺寸的關(guān)系表達(dá)式：

(3)

圖4 微板彎曲示意圖Fig.4 Schematic illustration of microplates bending

2 細(xì)胞牽張力與折疊角的關(guān)系表達(dá)式

由于細(xì)胞牽引力對(duì)于許多生物學(xué)過(guò)程非常關(guān)鍵，決定著許多細(xì)胞功能，包括細(xì)胞遷移、細(xì)胞鋪展炎癥、信號(hào)轉(zhuǎn)導(dǎo)等。準(zhǔn)確測(cè)量細(xì)胞牽引力的大小以及分布對(duì)細(xì)胞生物學(xué)、組織工程等生物醫(yī)學(xué)研究有重要意義[20]，基于生物微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)制作的微懸臂梁陣列作為細(xì)胞牽張力合力公式為：

(4)

式中：R是圓柱體微懸臂梁的半徑；h是圓柱體的高；E是微柱的彈性模型；δ是微柱在牽張力作用下產(chǎn)生的撓度；θ是轉(zhuǎn)角。

根據(jù)式(3)中折疊角θ和彎矩M(θ)的關(guān)系表達(dá)式，可得出微板的折疊角θ與單位長(zhǎng)度細(xì)胞牽張力f的關(guān)系式，對(duì)細(xì)胞內(nèi)的微絲分布(如圖5所示)作如下假設(shè)：

1) 假設(shè)細(xì)胞內(nèi)微絲均勻分布；

2) 假設(shè)細(xì)胞內(nèi)微絲牽張力均勻分布。

圖5 細(xì)胞內(nèi)微絲分布示意圖Fig.5 Schematic illustration of the microfilament distribution

垂直于斜面的均布載荷的合力Fy大小為：

(5)

彎矩M(θ)的表達(dá)式為:

(6)

聯(lián)立式(1)和式(6)，可得單位長(zhǎng)度牽張力f與折疊角θ之間的關(guān)系表達(dá)式：

(7)

根據(jù)表1數(shù)據(jù)可得，微柱轉(zhuǎn)過(guò)角度θ時(shí)所需的牽張力合力：

(8)

同理，可得微板折疊角度θ時(shí)所需的牽張力合力：

(9)

通過(guò)對(duì)上式(8)和式(9)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)細(xì)胞牽張力與θ成正比，這也直接證明了式(7)的合理性。因?yàn)椴捎梦⒅鞲衅麝嚵屑夹g(shù)測(cè)定CTFs時(shí)受技術(shù)本身缺陷的影響，所以實(shí)現(xiàn)細(xì)胞在三維微環(huán)境中牽引力的測(cè)量需要提高和改進(jìn)，而利用微板折疊計(jì)算細(xì)胞牽張力時(shí)，只需通過(guò)改變微板的二維形狀及排列就可構(gòu)建了不同的三維空間結(jié)構(gòu)，真正實(shí)現(xiàn)了在三維環(huán)境中測(cè)量細(xì)胞牽張力。

表1 材料參數(shù)表Table 1 Properties of the materials

3 有限元模擬

為了進(jìn)一步驗(yàn)證式(1)和式(7)的合理性，本文采用有限元軟件ABAQUS進(jìn)行模擬，鑒于在計(jì)算折疊角θ時(shí)，微板的一端不動(dòng)，另一端折疊，建立的有限元模型如圖6所示，所用的材料參數(shù)見(jiàn)表1.

圖6 有限元模擬圖Fig.6 Schematic diagram of finite element simulation

應(yīng)用式(2)及表1的數(shù)據(jù)可得微板模型的最大折疊角為：

(10)

根據(jù)式(1)可得：

(11)

有限元計(jì)算時(shí)通過(guò)給定不同的彎矩值，可得到相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，見(jiàn)表2.

表2 彎矩M(θ)與轉(zhuǎn)角θ的模擬值Table 2 Simulation values of moment and angle

通過(guò)擬合有限元計(jì)算的結(jié)果，得到剛度k的值，如圖7所示。

圖7 剛度k值Fig.7 Value of stiffness k

有限元擬合得到的剛度k值與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，其誤差值e如式(12)所示。

(12)

4 結(jié)果與討論

根據(jù)材料力學(xué)純彎曲理論計(jì)算了微板折疊時(shí)折疊角和彎矩之間的關(guān)系，首先通過(guò)有限元驗(yàn)證了彎矩與折疊角的關(guān)系式的合理性；其次，通過(guò)與微柱力傳感器陣列技術(shù)測(cè)定細(xì)胞牽張力，對(duì)比驗(yàn)證了細(xì)胞牽張力與折疊角關(guān)系表達(dá)式的正確性。通過(guò)上述簡(jiǎn)要分析，可得在利用細(xì)胞收縮折疊微板時(shí)，可以將其看成一個(gè)純彎曲的折疊問(wèn)題，彎矩與折疊角成正比關(guān)系。同時(shí)也為下一步通過(guò)微板折疊角來(lái)計(jì)算細(xì)胞變形后的形狀以及細(xì)胞產(chǎn)生的牽張力的大小和方向提供了一定的理論依據(jù)。

本文的主要工作側(cè)重于理論研究，在利用細(xì)胞的收縮力折疊微板時(shí)，并沒(méi)有考察細(xì)胞的形狀及細(xì)胞產(chǎn)生的力的大小和方向，只是簡(jiǎn)單地假設(shè)細(xì)胞產(chǎn)生的合力合成的彎矩來(lái)計(jì)算折疊角，有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比，盡管誤差略大，但也可簡(jiǎn)要的表明計(jì)算模型的合理性。