空間向量知識總結與復習

■江蘇省南京師范大學蘇州實驗學校 陳志同

一、基礎知識總結

(一)空間向量的線性運算

空間向量的線性運算包括加、減及數乘運算,選定空間不共面的向量作為基向量,并用它們表示出目標向量,這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求。解題時,可結合已知和所求,根據圖形,利用向量運算法則表示所需向量。

(二)空間向量的數量積

由a·b=|a||b|c o s〈a,b〉可知,利用該公式可求夾角、距離。還可由a·b=0來判定垂直問題,要注意數量積是一個數,其符號由〈a,b〉的范圍確定。

(三)空間向量與平行和垂直

空間圖形中的平行與垂直問題是立體幾何中最重要的問題之一,主要是運用直線的方向向量和平面的法向量解決。

利用空間向量解決空間中位置關系問題的常用方法有:

(1)線線平行。

證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量。

(2)線線垂直。

證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直,則a⊥b?a·b=0。

(3)線面平行。

用向量證明線面平行的方法主要有:

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;

②證明可在平面內找到一個向量與直線的方向向量是共線向量;

③利用共面向量定理,即證明可在平面內找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來。

(4)線面垂直。

用向量證明線面垂直的方法主要有:

①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;

②利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題。

(5)面面平行。

①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量);

②轉化為線面平行、線線平行問題。

(6)面面垂直。

①證明兩個平面的法向量互相垂直;

②轉化為線面垂直、線線垂直問題。

(四)空間向量與空間角

利用空間向量求空間角,一般有兩種方法:幾何法和向量法。利用向量法只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可。

(2)求線面角。

求直線與平面所成的角時,一種方法是先求出直線及此直線在平面內的投影直線的方向向量,通過數量積求出直線與平面所成的角;另一種方法是借助平面的法向量,先求出直線方向向量與平面法向量的夾角φ,即可求出直線與平面所成的角θ,其關系是s i nθ=|c o s φ|。

(3)求二面角。

基向量法:利用定義分別在兩個面內找到兩個夾角等于二面角的向量,將其用一組基底表示,再做向量運算。

坐標法:建立空間直角坐標系,求得兩個半平面的法向量n1,n2,利用c o s〈n1,n2〉=

二、熱點題型直擊

熱點題型一:運用空間向量基本定理解決求值問題

例1已知A B C D-A1B1C1D1是平行

(2)設M是底面A B C D的中心,N是側面B C C1B1對角線B C1上的點,且BN∶N C1=3∶1,設

六面體,如圖1。試求α,β,γ的值。

分析:(1)化簡該式,需要應用向量的加法和數乘法則,為此應在圖形中,取得向量)通過向量的運算法則,可表示出來。

解:(1)先在圖中標出為此可取A A1的中點E,

圖1

點評:空間向量基本定理揭示了向量間的線性關系,空間中任意三個不共面的向量a,b,c叫作空間向量的一組基底。利用空間向量的一組基底,可以把空間中的任何一個向量都用x a+y b+z c線性表示,且x,y,z的值是唯一確定的。如果一個平面和其中的兩個向量平行,則該平面內向量用基底表示時,另一個向量的系數必須為0。如果一個向量和其中的一個向量平行時,則這個向量用基底線性表示時,其他的兩個向量的系數也必須為0。這為向量的坐標表示奠定了基礎。

熱點題型二:利用空間向量證明垂直關系

例2 在正方體A B C D-A1B1C1D1中,E,F分別是B B1,C D的中點。

(1)證明:平面A E D⊥平面A1F D1;

(2)在A E上求一點M,使得A1M⊥平面A E D。

分析:證明面面垂直通常有兩種方法,一是利用面面垂直的判定定理,轉化為證明線面垂直、線線垂直的問題去證明,二是證明兩個平面的法向量互相垂直。

解:(1)建立如圖2所示的空間直角坐標系D-x y z,不妨設正方體的棱長為2,則

A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2)。

圖2

設平面A E D的法向量為(x1,y1,z1)·(2,0,0)=y1,z1)·(2,2,1)=0。故2x1=0,2x1+2y1+z1=0,令y1=1,得n1=(0,1,-2)。

同理可得平面A1F D1的法向量n2=(0,2,1)。

因為n1·n2=0,所以平面A E D⊥平面A1F D1。

點評:平面的法向量是指所在直線與平面垂直的向量,它在解決立體幾何問題中有著非常重要的應用。一個平面的法向量有無窮多個,一般來說,我們只需求出其中最簡單的一個即可。求法向量的方法一般是用待定系數法,即設出平面法向量的坐標,然后根據與平面內的兩個不共線的向量都垂直,即數量積為0,建立方程組進行求解。