聚焦2018年高考中圓錐曲線的離心率問題

■江蘇省無錫市第六高級中學 張 鋼

■江蘇省無錫市青山高級中學 張啟兆

圓錐曲線的離心率是近年高考的一個熱點,有關(guān)離心率的試題綜合性較強,靈活多變,能有效地考查考生的數(shù)學核心素養(yǎng)。這類問題的解法有講究,如果我們能掌握規(guī)律,抓住關(guān)鍵,就能輕松解決圓錐曲線的離心率的有關(guān)問題。那么,關(guān)鍵是什么呢?規(guī)律有哪些呢?下面以2 0 1 8年高考中的圓錐曲線的離心率問題為例,介紹圓錐曲線的離心率問題的解法(主要是抓住“一二三四五”),希望對同學們有所幫助。

一個關(guān)鍵:建立a、b、c(a、b、c中的2個或3個)的關(guān)系;

兩個入口:從“形”入手,從“數(shù)”入手;

三個方向:從定義的角度出發(fā),從方程的角度出發(fā),從幾何特征的角度出發(fā);

四種工具:平面幾何基礎(chǔ)知識,平面向量,三角函數(shù),參數(shù)方程;

五種思想:數(shù)形結(jié)合思想,方程思想,函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化思想,分類討論思想。

一、求離心率的值

根據(jù)題目給定的條件,合理建立含有a、b、c的等式即可求出e的值。

例1 (2 0 1 8年高考全國卷Ⅱ文第1 1題)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若P F1⊥P F2,且∠P F2F1=6 0°,則C的離心率為( )。

解:(以“形”入手,利用“定義”)

圖1

例2 (2 0 1 8年高考全國卷Ⅱ理第1 2題)已知F1,F2是橢圓C:的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率的直線上,△P F1F2為等腰三角形,∠F1F2P=1 2 0°,則C的離心率為( )。

解:(以“形”入手,利用圖形中隱含的條件建立方程)

圖2

如圖2所示,由題意知A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),∠F1F2P=1 2 0°,所以直線A P:y(x+a),直線立兩直線方程解得。由△P F1F2是頂角為1 2 0°的等腰三角形,得直線F1P的傾斜角是3 0°,則即,化簡得a=4c,則橢圓的離心率為故選D。

評注:注意圓錐曲線的離心率的問題中,常給出一些特殊多邊形,其中多含有圓錐曲線的某些特殊點或線段。從定義出發(fā),觀察圖形特征,尋求其中的聯(lián)系,找到a、c關(guān)系或建立有關(guān)a、b、c的齊次方程f(a,b,c)=0是求解的關(guān)鍵。

例3 (2 0 1 8年高考全國卷Ⅲ理第1 1題)設(shè)F1,F2是雙曲線b＞0)的左、右焦點,O是坐標原點。過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P。若|P F1|=C的離心率為( )。

解法1:(以“數(shù)”入手,結(jié)合“方程”)

圖3

評注:求圓錐曲線的離心率也可從代數(shù)角度入手,利用直線方程求交點、點線距離、斜率等方法,以向量和參數(shù)作為工具,找到曲線上點的坐標,再將其代入曲線方程,轉(zhuǎn)化為a、c的等量關(guān)系。

此外,本題還可以利用特殊化、余弦定理等方法求解,不一一列舉。

解法2:(以“形”入手,結(jié)合已知條件,利用勾股定理建立等量關(guān)系)

圖4

在R t△P O F2中,O P

過F1作F1M⊥l于M,由對稱性知,四邊形P F1MF2為平行四邊形,所以|MF2|=

在R t△MP F2中,PM2+P F22=MF22即4a2+b2=6a2,即2a2=b2。

評注:以“形”入手,利用圓錐曲線的性質(zhì),把已知條件中的等量關(guān)系“翻譯”成a、b c間的等量關(guān)系,也是求圓錐曲線的離心率值的通法之一。本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件,如雙曲線(a＞0,b＞0)的焦點(c,0)到漸近線的距離為b,要注意積累這些解題經(jīng)驗。

二、已知離心率的值求圓錐曲線方程

例4 (2 0 1 8年高考天津卷理第7題已知雙曲線(a＞0,b＞0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點。設(shè)A,B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( )。

解:(以“形”入手,結(jié)合已知條件,利用勾股定理建立等量關(guān)系)

圖5

評注:已知圓錐曲線的離心率,解題時就可以把a、b、c三個量統(tǒng)一成一個量,從而簡化計算。

三、求離心率的范圍(或最值)

求解此類題,關(guān)鍵是找到含有a、b、c的不等式,進而找到解決問題的突破口。

例5 (2 0 1 8年高考全國卷Ⅰ理第1 1題改編)設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,且P F1=4P F2,則此雙曲線離心率的最大值為____。

解:(從幾何特征的角度出發(fā)尋找不等關(guān)系)如圖6,設(shè)P F2=m(m＞0),由P F1=4P F2得P F1=4m,由雙曲線的定義得P F1-P F2=2a。

圖6

由平面幾何知識得P F1+P F2≥F1F2(當且僅當點P為雙曲線的右支與x軸的交點時取等號),所以5m≥2c,即所以此雙曲線離心率的

評注:求圓錐曲線的離心率的取值范圍或最值等問題,利用圓錐曲線的定義及平面幾何知識,建立a、c之間的不等關(guān)系是一種通法。本題以“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”為依據(jù),建立了a、c之間的不等關(guān)系。

例6 (2 0 1 8年高考北京卷理第1 4題改編)設(shè)雙曲線C的中心為點O,若有且只有一對相交于點O,所成的角為6 0°的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是___。

圖7

解:設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,如圖7。由雙曲線的基本性質(zhì)可知,直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對稱。分類討論:

(1)若直線A1B1和A2B2與x軸的夾角均為

3 0°,則雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于3 0°,且小于或等于6 0°,否則將會有二對相交于點O、所成的角為6 0°的直線A1B1和A2B2,不滿足題意。由作圖知雙曲線的一條漸近線的斜率

(2)若直線A1B1和A2B2與x軸的夾角均為6 0°,則將會有二對相交于點O、所成的角為6 0°的直線A1B1和A2B2,不滿足題意。

評注:以“形”入手,尋找不等關(guān)系,也是求圓錐曲線的離心率的取值范圍或最值的通法之一。本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件。本題的易錯點是誤認為就滿足條件了,從而錯求為