求解圓錐曲線中的兩類弦長問題

■江蘇省響水中學 劉汝浩

例1 已知橢圓（a ＞ b＞0）,直線被橢圓C截得的弦長為2,且過橢圓C的右焦點且斜率為的直線l2與橢圓C相交于A,B兩點。(1)求橢圓的方程;(2)求弦A B的長度。

分析:第一問利用已知條件可求解,第二問把直線l2的方程代入橢圓方程,利用韋達定理和弦長公式可求解。

解:(1)由直線l1被橢圓C截得的弦長為,可得a2+b2=8。①

聯立①②得a2=6,b2=2。

(2)橢圓的右焦點為F(2,0),故直線l2的方程為

代入橢圓C的方程,化簡得:

由弦長公式,得:

點評:本題抓住直線l1的特點,簡便快捷地得出方程①,再根據e得到方程②,從而求出橢圓的方程。解決直線與圓錐曲線的弦長問題時,常用到韋達定理與弦長公式。

二、中點弦長問題

例2 過點P4,1（）作拋物線y2=8x的弦A B,點P恰好平分弦A B,求A B所在的直線方程及弦A B的長度。

分析:因為所求弦通過定點P,所以求弦A B所在的直線方程關鍵是求出斜率k,點P是弦的中點,可用作差或韋達定理求,然后套用弦長公式可求弦長。

解法1:設A(x1,y1),B(x2,y2)。

則y21=8x1,y22=8x2。

兩式相減,得:

整理得直線A B的方程為y-1=4(x-4),4x-y-1 5=0。

解法2:設A B所在的直線方程為y=k(x-4)+1。

設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理得

所以直線A B的方程為4x-y-1 5=0。

聯立直線A B的方程與拋物線方程,利用韋達定理與弦長公式,可求得|A B|=

點評:解決弦的中點有兩種常用方法:一是利用韋達定理及中點坐標公式來構造條件;二是利用端點在曲線上,坐標滿足方程,作差構造中點坐標和斜率的關系求解,然后可套用弦長公式求弦長。