圓錐曲線中定點問題的三種模型

■河南省濮陽市第一高級中學 趙 昊

定點問題是常見的題型,解決這類問題的關鍵就是引進參數表示直線方程、數量積、比例關系等,根據等式的恒成立尋找不受參數影響的量。解直線過定點問題的通法:設出直線方程y=k x+m,通過韋達定理和已知條件找出k和m的一次函數關系式,代入直線方程即可。技巧在于:設哪一條直線?如何轉化題目中的條件?圓錐曲線是一種很有趣的載體,自身存在很多性質與結論,如果同學們能夠熟記這些常見的結論,那么解題時必然會事半功倍。下面總結圓錐曲線中定點問題的三種常見模型。

模型一:“手電筒”模型

例1已知橢圓,若直線l:y=k x+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以A B為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標。

解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立方

因為以A B為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),所以kAD·kBD=-1,即

解得m1=-2k,m2=且滿足3+4k2-m2＞0。

當m=-2k時,l:y=k(x-2),直線過定點(2,0),與已知條件矛盾;

整理得7m2+1 6m k+4k2=0。

小結:橢圓有一些常見的結論,比如:過橢圓上任意一點P(x0,y0)作相互垂直的直線,交橢圓于點A、B,則弦A B必過定點

模型拓展:本題還可以拓展為“手電筒模型:只要任意一個限定A P與B P條件(如kAP·kBP=定值,kAP+kBP=定值),直線A B依然會過定點(因為三條直線形似手電筒,故稱為手電筒模型)。

模型二:切點弦恒過定點

例2有如下結論:圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)處的切線方程為x0y+y0y=r2。類比,也有結論:橢圓＞0)上一點P(x0,y0)處的切線方程為的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線,切點分別為點A、B。

(1)求證:直線A B恒過定點;

(2)當點M的縱坐標為1時,求△A B M的面積。

解析:(1)由題意,設A(x1,y1),B(x2,y2),結合性質可知,MA的方程為

小結:切點弦的性質雖然可以當結論用,但是在正式的考試過程中不能直接引用,需進行必要的說明。

模型三:相交弦過定點

例3 已知橢圓,若直線l:x=t(t＞2)與x軸交于點T,P為直線l上異于點T的任一點,A1(-2,0),A2(2,0),直線P A1、P A2分別與橢圓交于M、N點,試問直線MN是否通過橢圓的焦點,并證明你的結論。

小結:相交弦性質實質是切點弦過定點性質的拓展,但具體而言,相交弦過定點涉及坐標較多,計算量相對較大,解題過程中一定要注意細節,同時注意總結解這類題的通法。