圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題破解策略

■四川省巴中中學(xué) 肖 斌(特級(jí)教師)

圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題是歷年高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一,無(wú)論是選擇題、填空題,還是解答題,通常都以綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、思維含量高備受命題者青睞,多處于把關(guān)題的位置。下面探究其破解策略,希望同學(xué)們用心領(lǐng)會(huì)、從中受益。

一、利用圓錐曲線的定義和平面幾何性質(zhì)求最值（或范圍）

例1 (1)(2 0 1 8年重慶八中月考試題)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△P A F的周長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí),△P A F的面積為_(kāi)___。

(2)(廣東惠州市2 0 1 8屆模擬題)已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是( )。

解析:(1)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,則|A F|+|P F|+|A P|=a+(2a-|P F1|)+|A P|=3a+|A P|-|P F1|≤3a+|A F1|=3a+a=4a,當(dāng)且僅當(dāng)A,F1,P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),此時(shí)

(2)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),半徑r=1。

由拋物線的定義知,點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于它到其焦點(diǎn)F的距離,所求距離之和等于|P Q|+|P F|≥|Q F|≥|C F|-r,當(dāng)且僅當(dāng)圓心C與焦點(diǎn)F的連線與拋物線相交于點(diǎn)P、與圓相交于Q時(shí)取得最小值。所求最小值為故選A。

感悟:解圓錐曲線中折線段的最值問(wèn)題,一般是先通過(guò)圓錐曲線的定義和圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)性將折線中的和或差變?yōu)橹本€段,然后利用“兩點(diǎn)間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“三角形任意兩邊之差小于第三邊”等找到取得最值的臨界條件,并求出最值。

練一練1:(2 0 1 5年新課標(biāo)高考全國(guó)Ⅰ卷)已知F是雙曲線的右焦點(diǎn),P是雙曲線C左支上一點(diǎn),當(dāng)△A P F的周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為_(kāi)___。

答案:1 2 6

二、構(gòu)建目標(biāo)二次函數(shù)，利用配方法求最值（或范圍）

例2 (2 0 1 8年江西南昌一模理數(shù)第1 6題)已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)。設(shè)直線l是拋物線C_的切線,且l∥MN,P為直線l上一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)___。

解析:設(shè)直線l的方程為y=x+b,代入拋物線方程,得x2-4x-4b=0。

因?yàn)橹本€l與拋物線相切,所以Δ=1 6+1 6b=0,解得b=-1。直線l:y=x-1。

由拋物線的方程知F的坐標(biāo)為(0,1),故直線MN的方程為y=x+1。

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由x2-4x-4=0。

所以x1+x2=4,x1x2=-4。

因此,y1+y2=6,y1y2=1。

答案:5

三、構(gòu)建目標(biāo)分式函數(shù)，利用分離常數(shù)法求最值（或范圍）

例3 (福建泉州市2 0 1 8屆3月質(zhì)檢理數(shù)第2 0題)過(guò)圓C:x2+y2=4上的點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足記點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為E。

(1)求軌跡E的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與軌跡E交于A,B兩點(diǎn),與圓C交于S,T兩點(diǎn),求|A B|·|S T|的取值范圍。

解析:(1)設(shè)M(x0,y0),N(x0,0),P(x,y)。

因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)P的軌跡E的方程為x

(2)①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k x+1,A(x1,y1),B(x2,y2)。

(4k2+3)x2+8k x-8=0。

因?yàn)辄c(diǎn)Q(0,1)在橢圓內(nèi)部,所以直線l與橢圓恒交于兩點(diǎn)。

由韋達(dá)定理得:

感悟:(1)用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,實(shí)質(zhì)上是圓到橢圓的伸縮變換。(2)先判斷斜率是否存在,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k x+1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式把兩條線段的長(zhǎng)度用斜率k表示,進(jìn)一步相乘,轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性求出最值(或范圍);當(dāng)斜率不存在時(shí),也可算出。

練一練3:(2 0 1 6年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第2 0題)設(shè)圓x2+y2+2x-1 5=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,直線l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作A C的平行線交A D于點(diǎn)E。

(1)證明:|E A|+|E B|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程。

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交曲線C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與直線l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

答案:(1)|E A|+|E B|=4。

四、利用基本不等式求最值（或范圍）

例4(四川資陽(yáng)市2 0 1 8屆模擬題)已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率

(1)求橢圓C的方程。

(2)過(guò)點(diǎn)P作兩條直線l1,l2與圓(x-1)2+y2=r2相切且分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)。①求證:直線MN的斜率為定值;② 求△MON面積的最大值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))。

解析:(1)因?yàn)?設(shè)橢圓的半焦距為c,所以a=2c。

所以橢圓C的方程為又c2+b2=a2,解得a=2,b=3。

(2)① 顯然兩直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2。設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)。

由于直線l1,l2與圓(x-1)2+y2=相切,則有k1=-k2。

故△MON面積的最大值為3。

感悟:在得到△MON的面積S的表達(dá)式后,通過(guò)平方、系數(shù)配湊,巧妙應(yīng)用均值不等式解題。類(lèi)似或更難的變形在高考試卷和各地模擬考試中比比皆是,同學(xué)們務(wù)必要加強(qiáng)基本不等式應(yīng)用技巧的訓(xùn)練。

練一練4:(2 0 1 7年全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)第1 0題)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與拋物線C交于D、E兩點(diǎn),則|A B|+|D E|的最小值為( )。

A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0

答案:A

例5 (2 0 1 8年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)第2 0題)

五、利用點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求最值（或范圍）

(2)由題意得F(1,0)。

設(shè)P(x3,y3),依題意得:

(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)。

由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m＜0。

練一練5:(2 0 1 5年高考浙江卷理數(shù)第1 9題)已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)求△A O B面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。

解析:可利用橢圓的參數(shù)方程,即借助三角函數(shù)求最值。

六、利用參數(shù)思想或切線法求最值（或范圍）

感悟:曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題,通常處理的方法有兩個(gè),即借助曲線的參數(shù)形式(即三角換元)或曲線的切線法(即判別式法)均可處理,同學(xué)們可嘗試解題。

練一練6:(2 0 1 4年福建高考題)設(shè)P,Q分別為圓:1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是( )。

答案:D

七、利用題目中明顯或隱含的幾何不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)的最值（或范圍）

(1)求橢圓的方程。

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H,若B F⊥HF,且∠MO A≤∠MA O,求直線l的斜率的取值范圍。

由(1)知,F(1,0),設(shè) H(0,yH),有

感悟:第二問(wèn)巧妙利用了平面幾何性質(zhì):“三角形中,大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊”,即先將“角的不等關(guān)系”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“邊的不等關(guān)系”,進(jìn)而用兩點(diǎn)間距離公式實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化。

練一練7:(2 0 1 6年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù)第2 0題)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,A是橢圓E的左頂點(diǎn),斜率為k(k＞0)的直線交橢圓E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在橢圓

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍。

(2)k的取值范圍是32,2（）。