從一道選擇題出發(fā)

■安徽省安慶市第一中學(xué) 洪汪寶

題目:已知P,Q是橢圓3x2+5y2=1上滿足∠P O Q=9 0°(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

這道選擇題以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景,條件簡(jiǎn)單,結(jié)論優(yōu)美,解法多樣,是一道考查同學(xué)們能力的好題。下面筆者從多個(gè)角度來(lái)解決此題,并在此基礎(chǔ)上對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行推廣探究,以此引導(dǎo)同學(xué)們開(kāi)展研究性學(xué)習(xí),以培養(yǎng)邏輯推理能力和創(chuàng)新意識(shí),促進(jìn)思維能力和思維質(zhì)量的提高。

一、解法研究

解法1:取特殊點(diǎn)P顯然有=3+5=8,故選B。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于一道選擇題,倡導(dǎo)“小題小做”,取特殊點(diǎn),用特例法來(lái)解簡(jiǎn)單易行。但在取特殊點(diǎn)時(shí)要注意取滿足條件的點(diǎn)。

解法2:當(dāng)O P,O Q中有一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時(shí),顯然有

當(dāng)O P,O Q的斜率都存在且均不為0時(shí),不妨設(shè)O P:y=k x,則

點(diǎn)評(píng):聯(lián)立方程得方程組是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的常規(guī)解法,不過(guò)在設(shè)直線方程時(shí)要注意考慮斜率是否存在,以保證解題的嚴(yán)密性。

點(diǎn)評(píng):利用垂直關(guān)系并借助三角函數(shù)表示出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),既避免了解法1的片面性,又避免了解法2的分類討論,實(shí)現(xiàn)了長(zhǎng)度與角度的統(tǒng)一。

解完了本題,很自然的一個(gè)想法就是:本題的結(jié)論能進(jìn)一步推廣嗎?是否還有其他更一般的結(jié)論呢?

二、推廣探究

結(jié)論1:已知P,Q是橢圓＞b＞0)上滿足∠P O Q=9 0°(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

證明:設(shè)|O P|=r1,|O Q|=r2,則P(r1c o sθ,r1s i nθ), 不 妨 取即

Q(-r2s i nθ,r2c o sθ),將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入

結(jié)論2:已知P,Q是橢圓＞b＞0)上滿足∠P O Q=9 0°(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則R t△P O Q的斜邊P Q上的高為定值,其值為

證明:設(shè)R t△P O Q的斜邊P Q上的高為h,由結(jié)論1的證明知:

結(jié)論3:已知P,Q是橢圓＞b＞0)上滿足∠P O Q=9 0°(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則R t△P O Q的斜邊P Q長(zhǎng)的最大值為最小值為

證明:由結(jié)論1的證明知:

當(dāng)s i n2θ=0時(shí),|P Q|2最大,此時(shí)

當(dāng)s i n 2θ=±1時(shí),|P Q|2最小,此時(shí)結(jié)論4:已知P,Q是橢圓＞b＞0)上滿足∠P O Q=9 0°(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則R t△P O Q面積的最大值為

證明:結(jié)合結(jié)論2與結(jié)論3可知R t△P O Q面積的最大值為,R t△P O Q面積的最小值為結(jié)論5:過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線A B,C D分別交橢圓于點(diǎn)A,B,C,D,則四邊形A C B D面積的最

證明:根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知SACBD=4S△AOC,根據(jù)結(jié)論4知A C B D面積的最大值最小值為

結(jié)論6:過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線A B,C D分別交橢圓于點(diǎn)A,B,C,D,則

證明:根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和結(jié)論1知