例談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

■重慶市鐵路中學(xué)校 何成寶

導(dǎo)數(shù)是一個(gè)重要的解題工具,有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題,若用導(dǎo)數(shù)方法解決,往往能優(yōu)化解題思維,簡(jiǎn)化解題過(guò)程。下面結(jié)合具體實(shí)例,談?wù)剬?dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用,僅供參考。

一、證明不等式

因?yàn)閤＞0,所以f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

又f(0)=0-l n1=0,故f(x)＞f(0)=0,即x-l n(1+x)＞0,x＞l n(1+x)。

點(diǎn)評(píng):一般地,欲證f(x)＞g(x),x∈(a,b),可等價(jià)轉(zhuǎn)化為F(x)=f(x)-g(x)。若F′(x)＞0,則F(x)在(a,b)上是增函數(shù),如果F(a)≥0,由增函數(shù)的定義知,當(dāng)x∈(a,b)時(shí),有F(x)＞F(a)≥0,即f(x)＞g(x)。

二、求函數(shù)的最值

例2 設(shè)f(x)=x3+6x2-1 5x-8,試求f(x)在[0,3]上的最大值與最小值。

解析:f(x)=x3+6x2-1 5x-8,則f′(x)=3x2+1 2x-1 5=3(x-1)(x+5)。

令f′(x)=0,則x=1或x=-5。f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,3]上單調(diào)遞增,且f(0)=-8,f(1)=-1 6,f(3)=2 8,故f(x)的最大值為2 8,最小值為-1 6。

點(diǎn)評(píng):閉區(qū)間上函數(shù)f(x)的最大值、最小值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得,具體解決辦法是先由導(dǎo)數(shù)確定閉區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn),然后求出各極值點(diǎn)、端點(diǎn)處函數(shù)值,這些值中的最大值就是f(x)的最大值;最小值就是f(x)的最小值。但是要特別注意,所求極值點(diǎn),在題中的閉區(qū)間內(nèi)才有效。

三、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3 確定函數(shù)f(x)=x3-3x在什么區(qū)間上是增函數(shù),在什么區(qū)間上是減函數(shù)。

解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)令f′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)和(1+∞)。令f′(x)＜0,得-1＜x＜1,故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-1,1)。

點(diǎn)評(píng):求函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間,只需求不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0的解。在最后寫單調(diào)區(qū)間時(shí),要特別注意對(duì)不等式的解的各段連續(xù)區(qū)間只能用“和”或“,”隔開,千萬(wàn)不能用“∪”連接。

四、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例4 用總長(zhǎng)1 4.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出最大值。

解析:設(shè)容器的底面短邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為x+0.5,高為=3.2-2x。由3.2-2x＞0和x＞0,得0＜x＜1.6。

設(shè)容器的容積為y,則有:

y=x(x+0.5)(3.2-2x)。

整理可得y=-2x3+2.2x2+1.6x。

故y′=-6x2+4.4x+1.6。令y′=0解得(舍去)。在定義域(0 1.6)內(nèi)只有在x=1處使y′=0。又由題意若x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近1.6)時(shí),y值很小(接近0),因此,當(dāng)x=1時(shí),y取得最大值1.8,這時(shí)高為1.2 m,最大容積為1.8 m3。

點(diǎn)評(píng):在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,通過(guò)適當(dāng)選取變?cè)?建立數(shù)學(xué)模型后,往往會(huì)遇到求函數(shù)最值問(wèn)題,這類題目可考慮用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。