例談導數的應用

■重慶市鐵路中學校 何成寶

導數是一個重要的解題工具,有很多數學問題,若用導數方法解決,往往能優化解題思維,簡化解題過程。下面結合具體實例,談談導數在解題中的應用,僅供參考。

一、證明不等式

因為x＞0,所以f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

又f(0)=0-l n1=0,故f(x)＞f(0)=0,即x-l n(1+x)＞0,x＞l n(1+x)。

點評:一般地,欲證f(x)＞g(x),x∈(a,b),可等價轉化為F(x)=f(x)-g(x)。若F′(x)＞0,則F(x)在(a,b)上是增函數,如果F(a)≥0,由增函數的定義知,當x∈(a,b)時,有F(x)＞F(a)≥0,即f(x)＞g(x)。

二、求函數的最值

例2 設f(x)=x3+6x2-1 5x-8,試求f(x)在[0,3]上的最大值與最小值。

解析:f(x)=x3+6x2-1 5x-8,則f′(x)=3x2+1 2x-1 5=3(x-1)(x+5)。

令f′(x)=0,則x=1或x=-5。f(x)在[0,1]上單調遞減,在[1,3]上單調遞增,且f(0)=-8,f(1)=-1 6,f(3)=2 8,故f(x)的最大值為2 8,最小值為-1 6。

點評:閉區間上函數f(x)的最大值、最小值只能在極值點或端點處取得,具體解決辦法是先由導數確定閉區間內的極值點,然后求出各極值點、端點處函數值,這些值中的最大值就是f(x)的最大值;最小值就是f(x)的最小值。但是要特別注意,所求極值點,在題中的閉區間內才有效。

三、求函數的單調區間

例3 確定函數f(x)=x3-3x在什么區間上是增函數,在什么區間上是減函數。

解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)令f′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,故f(x)的單調增區間為(-∞,-1)和(1+∞)。令f′(x)＜0,得-1＜x＜1,故f(x)的單調減區間為(-1,1)。

點評:求函數f(x)的單調增(或減)區間,只需求不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0的解。在最后寫單調區間時,要特別注意對不等式的解的各段連續區間只能用“和”或“,”隔開,千萬不能用“∪”連接。

四、解決實際應用問題

例4 用總長1 4.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大?并求出最大值。

解析:設容器的底面短邊長為x,則另一邊長為x+0.5,高為=3.2-2x。由3.2-2x＞0和x＞0,得0＜x＜1.6。

設容器的容積為y,則有:

y=x(x+0.5)(3.2-2x)。

整理可得y=-2x3+2.2x2+1.6x。

故y′=-6x2+4.4x+1.6。令y′=0解得(舍去)。在定義域(0 1.6)內只有在x=1處使y′=0。又由題意若x過小(接近0)或過大(接近1.6)時,y值很小(接近0),因此,當x=1時,y取得最大值1.8,這時高為1.2 m,最大容積為1.8 m3。

點評:在實際應用問題中,通過適當選取變元,建立數學模型后,往往會遇到求函數最值問題,這類題目可考慮用導數來解決。