2-1 熱點題型分析與總結

■山東省利津縣第一中學 胡 彬

選修2-1的內容是高考重點考查的知識模塊,它包括高考試卷的兩個必考大題(圓錐曲線與立體幾何),涉及2或3個選擇、填空題,總的分值有3 5分左右。可見,選修2-1的重要性。但是,這么多的知識內容,如何把握其重點呢?其中一個非常重要的工作就是要熟悉與認識其重點考查的題型。

一、簡易邏輯篇

熱點題型一、對充分條件與必要條件的考查

充分條件和必要條件,幾乎是每年高考必考內容,且此考點命題范圍廣泛,形式靈活多樣,因此在解答時要特別細心。解決此考點有關問題的關鍵是要分清條件和結論,然后判斷是由條件推出結論,還是由結論推出條件,從而得出條件和結論的關系。

例1已知a,b,c,d為實數,且c＞d,則“a＞b”是“a-c＞b-d”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析:解答這道題的前提是要求同學們能牢固掌握不等式的運算性質。同學們只要對不等式的運算性質熟練應用,就會對這道題做出正確判斷。

一方面,令a=2,b=1,c=3,d=-5,但a-c=-1＜b-d=3-(-5)=8。

另一方面,由a-c＞b-d,可得a＞b+(c-d)。

因為c＞d,所以c-d＞0,a＞b。

故“a＞b”是“a-c＞b-d”的必要而不充分條件。故選B。

評注:當我們想否定充分性或必要性時,最有效的手段就是舉出反例。該題在否定充分性時就是通過舉特例的方法解決的,這一方法不可忽視。

熱點題型二、對全稱命題與特稱命題否定的考查

對全稱命題與特稱命題的否定,先要弄清楚是全稱命題還是特稱命題(也稱存在性命題),再針對不同的形式加以否定。一般來說,全稱命題的否定變為特稱命題,特稱命題的否定變為全稱命題。

例2 命題“對任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )。

A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0

D.對任意的x∈R,x3-x2+1＞0

解析:本題是對全稱命題的否定,因此否定時既要對全稱量詞“任意”進行否定,又要對判斷詞“≤”進行否定,全稱量詞“任意”的否定為存在量詞“存在”,判斷詞“≤”的否定為“＞”。可能出現的錯誤是“顧此失彼”,忽略了細節。

一個命題的否定其實就是推翻原命題要推翻“對任意的x∈R,x3-x2+1≤0”,我們只要有一個x0,使0-x20+1＞0就足夠了,即存在x0∈R-+1＞0。故選C。

評注:許多同學對全稱命題的否定是一個特稱命題心存疑惑,實際上我們要肯定一個結論,這個結論必須對所包括的所有對象都適合,我們要否定一個結論只要有一個反例就足夠了。同時要注意命題的否定是我們推翻這個命題,故我們只否定它的結論,而否命題是命題之間的一種特定的關系,是對一個命題從形式上做的變化,故對否命題我們必須按照其定義,既要否定它的條件,也要否定它的結論。

二、圓錐曲線篇

高考中圓錐曲線的熱點題型主要集中在:離心率及范圍問題;最值問題;探索性問題以及直線與圓錐曲線的位置關系問題。

熱點題型三、求離心率問題

例3設雙曲線的半焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點。已知原點到直線l的距離,求雙曲線的離心率。

分析:依據原點到直線l的距離可建立a,b,c的關系式,從而獲得關于離心率的方程。

解:直線l的方程為,即b x+a y-a b=0。

評注:求雙曲線離心率的常見方法:一是依條件求出a、c,再計算e;二是依據條件提供的信息建立參數a、b、c的等式,進而轉化為離心率e的方程,再解出e的值。

熱點題型四、最值問題

分析:由橢圓的定義可知,|P F1|+|P F2|=2a。設|P F1|=x,則|P F2|=2ax,于是|P F1|·|P F2|=x(2a-x),再借助二次函數的性質研究最值。

解:設|P F1|=x,由橢圓的定義可知,|P F2|=2a-x。

所以|P F1|·|P F2|=x(2a-x)=-(x-a)2+a2。

又由橢圓的幾何性質可知,a-c≤x≤a+c。

所以當x=a時,|P F1|·|P F2|取得最大值a2。

當x=a+c或x=a-c時,|P F1|·|P F2|取得最小值a2-c2=b2。

所以|P F1|·|P F2|的最大值為a2,最小值為b2。

評注:求橢圓中某一表達式的最值,關鍵是通過橢圓的幾何性質建立起函數關系,使問題轉化為函數的最值問題。

熱點題型五、探索性問題

(1)過點A(2,1)的直線l與所給的雙曲線交于P1,P2兩點,求線段P1P2的中點P的軌跡方程。

(2)過點B(1,1)能否作直線m,使m與所給的雙曲線交于Q1,Q2兩點,且點B是線段Q1Q2的中點?若存在,請求出直線方程;若不存在,請說明理由。

分析:解決本題關鍵是第二問,即探尋過點B(1,1)的直線m是否存在。應當注意到B是線段(實際上就是雙曲線的一條弦)Q1Q2的中點,加上點B是已知的,故可用雙曲線的“中點弦公式”獲得直線m的斜率。所謂“中點弦公式”就是把弦的兩個端點坐標代入雙曲線方程獲得兩個方程,然后讓這兩個方程做差,所得到的關系式就是中點弦公式。

解:(1)設 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)。

(i i)當直線l的斜率k不存在時,則x=2,點P(2,0)也合符合上式。

綜合(i)(i i)可知,點P的軌跡方程為2x2-y2-4x+y=0。

(2)假設滿足題設條件的直線m存在,設Q1(x3,y3),Q2(x4,y4),把點Q1(x3,y3),Q2(x4,y4)代入雙曲線,可得:

令③-④可得:

2(x3-x4)(x3+x4)=(y3-y4)(y3+y4)。

因為x3+x4=2,y3+y4=2,所以,直線m的方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1。

評注:探索性試題常見的題型有兩類:第一類是給出問題對象的一些特殊關系,要求同學們探索出一般規律,并能論證所得規律的正確性;通常要求對已知關系進行觀察、比較、分析,然后概括出一般規律。第二類是只給出條件,要求同學們論證在此條件下,會不會出現某個結論,這類問題常以適合某種條件下的結論“存在”、“不存在”與“是否存在”等詞語表述。解決這類問題,一般要先對結論作出肯定存在的假設,然后由假設出發,結合已知條件進行推理論證,若推出相符的結論,則存在性也隨之解決;若推導出矛盾,則否定了存在性。

三、空間向量與立體幾何篇

熱點題型六、利用空間向量求線面角

例6 如圖1,l1、l2是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段。點A、B在直線l1上,點C在直線l2上,AM=MB=MN。

(1)證明A C⊥NB;

(2)若∠A C B=6 0°,求NB與平面A B C所成角的余弦值。

圖1

分析:直線與平面所成的角就是直線與其在平面內的射影所成的夾角,也可以是直線與平面的法向量所夾的銳角的余角,由此可建立平面直角坐標系來加以解決。

圖2

解:如圖2,建立空間直角坐標系M-x y z。令MN=1,

則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0)。

(1)因為MN是直線l1、l2的公垂線,且l1⊥l2,所以直線l2⊥平面A BN。直線l2平行于z軸,故可設C(0,1,m)。 于 是(1,-1,0)=1+(-1)+0=0,所以A C⊥NB。

又MC∩BH=H,所以HN⊥平面A B C,∠NBH為直線NB與平面A B C所成的角。

評注:利用向量求直線與平面所成的角,可以避免復雜的幾何作圖和論證過程。求線面角的問題,可以先找出角,再轉化成線線角的問題加以求解,也可以找出平面的一個法向量,求出直線的方向向量與法向量的夾角,其余角就是所求的直線與平面所成的角。但要注意,直線與平面所成的夾角的范圍是,而向量與向量所成的夾角的范圍是[0,π],所以要注意二者之間的聯系與區別。

圖3

熱點題型七、利用空間向量求二面角的平面角例7如圖3,已知A B C D是上底、下底長分別為2和6,高為的等腰梯形,將它沿對稱軸O O1折成直二面角,如圖4。

圖4

設平面O1A C的法向量為n,可用n·=0求解,只是解出x、y、z的關系后,對z的取值時要慎重,需先觀察

(1)證明:A C⊥B O1;

(2)求二面角OA C-O1的余弦值。

分析:題干給出一個直二面角和一條對稱軸O O1,易知O O1⊥

O B,O O1⊥O A,故有著明顯的建系條件;另外給出梯形的邊長、高,則各點坐標較易求得。用坐標法求解,可避開二面角的尋找、推理等麻煩,只需先求平面O1A C與平面O A C的法向量,再利用公式計算便可。第一問的作用在于證明O1B⊥平面O A C,也就是找到了一個法向量。二面角是銳角、直角,還是鈍角。

解:(1)由題設知O AO O1,O B⊥O O1,所以∠A O B是所折成的直二面角的平面角,O A⊥O B。故可以O為原點,分別以O A、O B、O O1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖5所示),則相關各點的坐標是:A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,3),O1(0,

圖5

故二面角O-A C-O1的余弦值

評注:在處理二面角問題時,常會遇到求二面角大小的問題,需先判斷二面角的大小。因為二面角有時為銳角、直角,有時也為鈍角,所以在計算之前,不妨先依題意判斷一下二面角的范圍,然后再根據向量的計算來求二面角的大小。用法向量方法處理二面角的問題時,將傳統求二面角問題時的三步“找—證—求”直接簡化成了一步“計算”。第二問中利用兩個平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值,這是求二面角大小的一種很好的方法,同學們在學習過程中應加以重視。