兵馬未動，建系先行
——談如何建立空間直角坐標(biāo)系

■浙江省紹興市上虞區(qū)職教中心綜高部 章成堯

空間向量的引入為應(yīng)用代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法。而通過建立空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量坐標(biāo)運算來計算和證明立體幾何問題,用定量的計算代替定性的分析,從而可避免一些煩瑣的推理論證,大大簡化思維過程與運算。本文例析如何利用向量解題的關(guān)鍵步驟,即如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

一、直接建系

當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且相交于一點的三條直線時,可以利用這三條直線直接建系,一般地,豎起方向的直線為z軸,x,y,z軸逆時針方向設(shè)置。

例1如圖1,棱長為3的正方體的頂點A在平面α上,三條棱A B,A C,A D都在平面α的同側(cè),若頂點B,C到平面α的距離分別為1,2,則頂點D到平面α的距離是___。

圖1

分析:本題條件正規(guī),但位置不正規(guī)。涉及的知識雖然只有線面距離和線面角,但難以下手。出路何在?考慮到正方體這一模型的特殊性,直接建立“傾斜”的空間直角坐標(biāo)系,可達(dá)到柳暗花明又一村的效果。

解:以A為坐標(biāo)原點,射線A C為x軸的正半軸,射線A B為y軸的正半軸,射線A D為z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-x y z。則A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,0,0),D(0,0,3)。設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,1),則由題可知

點評:一般地,如果多面體的棱之間具有明顯的垂直關(guān)系(如正四棱柱等),則可以直接建立坐標(biāo)系。當(dāng)然,為計算方便,最好建立恰當(dāng)坐標(biāo)系,如避免出坐標(biāo)負(fù)值等。

二、通過平面幾何圖形畫出x或y軸來建系

許多立體幾何問題的建系不是一蹴而就的,如待建的x或y軸不明顯,此時就需要我們通過分析平面幾何圖形的特性(因為一般地,x或y軸落在同一個平面圖形中),挖掘平面圖形中的垂直關(guān)系,畫出相應(yīng)的、恰當(dāng)?shù)膞或y軸,達(dá)到建系的目的。

例2(2 0 1 8年浙江省高考試題)如圖2,已知多面體A B C A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面A B C,∠A B C=1 2 0°,A1A=4,C1C=1,A B=B C=B1B=2。

(Ⅰ)證明:A B1⊥ 平面A1B1C1;

(Ⅱ)求直線A C1與平面A B B1所成的角的正弦值。

分析:若以點A、B、C其中之一為坐標(biāo)原點,則x,y,z軸不能明確,其他點坐標(biāo)也不

能輕松表示。當(dāng)把A C的中點O作為坐標(biāo)原點時,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)容易確定三坐標(biāo)軸,有用點的坐標(biāo)也更易于操作了。

解:(Ⅰ)如圖3,以A C的中點O為原點,分別以射線O B,O C為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-x y z。

圖2

由題意知各點坐標(biāo)如下:

圖3

所以A B1⊥平面A1B1C1。

(Ⅱ)設(shè)直線A C1與平面A B B1所成的角為θ。

因此,直線A C1與平面A B B1所成的角的正弦值是

點評:將邏輯推理算法化是向量法的本質(zhì)。本題把證明線線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0的運算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,也凸顯了坐標(biāo)系選擇的重要性。

三、利用面面垂直畫出z軸來建系

在建系過程中,z軸是“頂梁柱”,是事關(guān)建系成敗的中流砥柱。因此,許多試題在命題時常從z軸入手,設(shè)置需要人為畫出z軸的試題。根據(jù)z軸的特征(垂直于底面)這一線面垂直關(guān)系,可以通過面面垂直來作,以達(dá)到建系的目的。

圖4

例3 (2 0 1 1年重慶高考試題)如圖4,在四面體A B C D中,平面A B C⊥平面A C D,A B⊥B C,A D=C D,∠C A D=3 0°。若二面角C-A B-D為6 0°,求異面直線A D與B C所成角的余弦值。

分析:搭房先“豎梁”,本題建系的突破口是如何作出z軸,可從“平面A B C⊥平面A C D”這一條件入手。

解:如圖5,過A C中點F作FM⊥A C,交A B于M,已知A D=C D,平面A B C⊥平面A C D,易知F C,F D,FM兩兩垂直,以F為原點,射線FM,F C,F D分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系F-x y z。

圖5

不妨設(shè)A D=2,由C D=A D,∠C A D=3 0°,易知點A,C,D的坐標(biāo)分別為A(0,D(0,0,1),則(0,3,1)。

顯然向量k=(0,0,1)是平面A B C的法向量。

已知二面角C-A B-D為6 0°,故可取平面A B D的單位法向量j=(l,m,n),使得

點評:面面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直,而這根線將是所建的坐標(biāo)系中的重要“豎梁”。

四、利用圖形的對稱性建系

圖形中沒有明顯交于一點的三條直線,但圖形中有一定對稱關(guān)系(如正三棱柱、正四棱柱等)時可利用圖形對稱性建立空間直角坐標(biāo)系解題。

圖6

例4如圖6,已知兩個正四棱錐P-A B C D與Q-A B C D的高都是2,A B=4。

(1)證明P Q⊥平面A B C D;

(2)求異面直線A Q與P B所成的角;

(3)求點P到平面Q A D的距離。

分析:解決問題(1)顯然是建系的關(guān)鍵,該幾何體具有明顯的對稱關(guān)系,而對稱關(guān)系同時蘊含著垂直關(guān)系,為建系提供“畫”點。

解:(1)連接A C、B D,設(shè)A C∩B D=O。

由于P-A B C D與Q-A B C D都是正四棱錐,所以P O⊥平面A B C D,Q O⊥平面A B C D。

從而P、O、Q三點在一條直線上,所以P Q⊥平面A B C D。

(2)由題設(shè)知,A B C D是正方形,所以A C⊥B D。

由(1)知,Q O⊥平面A B C D。

故可分別以直線C A、D B、Q P為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖7)。由題給條件,相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是P(0,0,2),A(2 2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2 2,0)。

點評:兩個正四棱錐高相等,故可利用其對稱性建立空間直角坐標(biāo)系。