布魯納學科結構理論對小學平面圖形面積教學的啟示

王立新

關于小學平面圖形面積教學，我對北師大版教材從教材內容、課標要求、教學方法、直觀模型四個維度進行了梳理，發現：分別在三、五、六年級分三個年段完成由直邊到曲邊的平面圖形面積教學。特別是在三年級第二學期學生解決長正方形面積之后，要經過一年的時間，到五年級第二學期再來研究其他平面圖形的面積問題。這樣的內容安排給教學帶來一個問題：教師應該樹立怎樣的系統教學理念，使學生減少由于時間問題造成的認知斷層，從而幫助學生建立有系統、有層次的認知結構，更好地提升學生的數學素養呢？

我閱讀了關于布魯納學科理論方面的研究，發現了布魯納學科結構理論。布魯納認為“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構”。學科的基本結構是指學科的基本概念和原理之間的那種具有內在聯系并起普遍作用的知識。在各個學科或各個課題的學習中，兒童的認知一般都要經歷“行為把握—圖像把握—符號把握”這樣一個發現學習的過程，由簡單到復雜，螺旋上升。布魯納提倡將學科的基本結構放在編寫教材和設計課程的中心地位。布魯納的結構主義教學觀和發現法教學模式是其教學思想的核心。

我們必須以辯證的態度審視學科結構主義理論和發現法教學模式的優缺點。我認為，教學結構化應該包括兩個維度：教材維度——把相同內容、相同結構、體現相同思想方法的零散的教學內容進行整合（內容、方法），即教材路徑；學生維度——關注學生認知結構，即學習路徑。平面圖形面積教學有效性學習的途徑之一，即將教材的教學路徑和學生的學習路徑努力做到有效融合。為此，教材的梳理和學情的分析必不可少。

一、教材梳理與學情分析

1.梳理基于教材的教學路徑

小學生學習平面圖形一般通過兩個維度，一是形狀，二是大小（周長和面積）。

就圖形的形狀而言，教材編排上，從低段、中段到高段，經歷了從整體到局部再到整體的過程。一上整體認識立體圖形，一下通過將立體圖形的面“留在紙上”的活動，從整體上認識平面圖形的形狀。四上認識線段，四下通過觀察、畫一畫、折一折、量一量等操作活動進一步探索三角形三邊及內角的關系，六上認識圓，六下學習圓柱、圓錐，又回到了體——經歷了從立體到平面再到立體的過程。

就圖形的大小而言，三上學習長方形、正方形的周長，三下學習長方形、正方形的面積，五下利用轉化的思想，推導平行四邊形的面積公式，同時通過兩個形狀完全相同的三角形拼成平行四邊形的過程，用舊知解決三角形面積的新問題，梯形面積公式的推導亦是如此。學生在中段學習長正方形面積時，借助面積單位的產生，通過數面積單位的個數，解決了長方形、正方形的面積問題。到了高段，學生開始學習平行四邊形、三角形、梯形面積，甚至到了六年級，學生學習圓面積時，更多地注重了數學方法轉化的運用，而對于學生已經積累的數面積單位的經驗運用得不夠，學習過程中思維跳躍性顯著。如何利用學生已經建立的數面積單位的結構化意識幫助學生突破難點，自主構建轉化的數學方法，值得研究。

我梳理了北師大版教材，五年級下學期利用5課時完成平面圖形的面積教學，即比較圖形的面積、認識高、平行四邊形的面積、三角形面積、梯形面積。教材呈現出的教學路徑為：整體感知轉化思想（數方格、重疊、平移、旋轉、割補）——集中學習數學關鍵元素：底和高——三次轉化思想的應用（平行四邊形、三角形、梯形）?？吹浇滩奶峁┑穆窂?，我想到兩個問題：（1）學生從已具備的長方形、正方形面積的知識經驗到探究平行四邊形的面積，支撐他行走的依據是什么？（2）測量面積大小的方法核心有兩個。一是確定面積單位，二是數面積單位的個數。這也是探索平面圖形面積的一種結構化。學生在經歷學習長方形、正方形面積以后是否已具備這種結構化？我認為：學生是否具備這種結構化是進一步學習其他平面圖形的基礎。帶著這樣的一種思考，我進行了學生調研。

2.梳理基于調研的學習路徑

分別選取海淀區第二實驗小學四、五年級各一個班的學生進行調研。調研題目——四年級：長正方形面積的計算方法，你知道這樣計算的道理嗎？五年級：（1）長正方形面積的計算方法，你知道這樣計算的道理嗎？（2）你打算怎樣計算平行四邊形的面積？請寫出計算過程。

五年級比四年級多了一個題目，主要是想了解四年級、五年級的學生針對面積測量的結構化是否存在差異，這種結構化的缺失帶給五年級學生探究平行四邊形面積的障礙是什么。通過調研數據，可以看出學生探究平面圖形面積的學習路徑：學生在中段學習長方形、正方形面積之后，進入高段進一步學習平面圖形的面積時，近80%的學生具有轉化的思想，原因主要是長方形和平行四邊形的特征類似，而且長方形面積的計算方法學生是知道的。而學生學習本內容的難點在于：（1）將平行四邊形轉化成怎樣的長方形更合理（分割法、添補法、割補法）。（2）學生關注不到轉化前后兩個圖形之間的關系。（3）還有的學生采用鄰邊相乘的辦法解決平行四邊形的面積問題，學生缺少面積度量的本質思考。

二、尋找教材路徑與學習路徑的結合點

通過教材梳理和學情調研不難發現，教材提供的路徑與學習路徑的結合點，就是如何借助80%的學生已建立的轉化思想，在學生已具備的長方形、正方形面積經驗的基礎上，構建適合學生學習的平面圖形面積問題的基本結構，正如布魯納所談的那樣，一個能夠統領平面圖形面積問題解決的基本規律，能夠讓學生通過發現學習法做到融會貫通。為此，我對5課時的教學內容進行了結構化處理。以長方形與平行四邊形類比學習為切入點，將平行四邊形、三角形、梯形面積問題解決中涉及相同的過程和方法進行結構化，在學生已建立長方形、正方形面積經驗的基礎上，自主建構利用轉化法以舊帶新解決平面圖形面積的思維結構。將原來的5課時整合為3課時：1.以長方形與平行四邊形類比學習為切入點，整體感悟利用轉化法解決平面圖形面積問題的策略；2.三角形面積問題解決；3.梯形面積問題解決。

三、設計結合教材及學情的教學結構

教學結構分為四個部分。

一是回顧長正方形面積的計算方法，突出面積單位的作用。

二是創設現實生活情境：平行四邊形的停車位如何計算面積？學生利用平行四邊形與長方形的相同特征，選取平行四邊形進行研究。主要體現三種方法：1.使用面積單位度量。2.鄰邊相乘。3.通過分割、添補、割補法制造長方形。

三是針對方法深入探討：1.使用面積單位度量，存在局限性。2.鄰邊相乘，通過直觀模型驗證這種方法是錯誤的，同時進一步與轉化方法進行對比，鞏固轉化方法。3.針對學生制造出的三種不同的長方形，引導學生思考制造出的哪種長方形更合理，同時關注轉化前后圖形之間的關系。

四是轉化方法的進一步應用。同學之間交流轉化思想帶來的進一步啟示，學生會受到啟發，聯想到正多邊形面積、圓面積是不是也可以通過轉化成已學習過的圖形進行解決等。

四、體現平面圖形面積結構化的教學設計

教學目標：①度量是解決平面圖形面積大小最本質的方法，通過經歷數面積單位個數的活動，幫助學生建立結構化的數學意識。②合理把握平面圖形面積知識的整體框架，并能系統地設計教學過程，通過分類、質疑、探究等活動，滲透轉化的數學思想方法，提高學生數學思維能力、學習能力及問題解決能力。③站在學生的立場上設計教學活動及學生評價，調動學生學習熱情，激發學生學習動力，培養團隊意識，進而發展學生的數學核心素養。

教學過程如下。

1.回顧長方形面積計算方法及算理

以邊長分別為3厘米、5厘米的長方形為例。小結：5×3=15（平方厘米）就是表示有15個1平方厘米的面積單位。設計意圖：度量是計算平面圖形面積大小最本質的方法，單位是度量的標準，因此，回顧長方形面積的計算方法及算理是結構化教學的開始，也是解決平面圖形面積的歸宿。

2.創設情境

出示生活中平行四邊形車位，要計算平行四邊形的面積，你想怎樣研究？把思考過程記錄下來。

3.以組為單位匯報

匯總學生解決方案：數方格；鄰邊相乘；轉化。

借助面積單位解決問題，重點討論不滿一格如何處理。

利用鄰邊相乘，同學間進行質疑，利用直觀學具證明，將平行四邊形拉成長方形過程中長方形面積比平行四邊形面積多一條兒。

轉化成長方形。第一種：分割。第二種：添補。第三種：割補。

同學間充分討論：為什么要轉化成長方形？轉化成怎樣的長方形更合理？結論：平行四邊形與長方形特征相似；長方形面積計算方法同學們已經掌握，可以以舊帶新。第一、第二種轉化不徹底，分別有新的圖形（三角形）面積不能解決。第三種最簡潔、最徹底。

4.每組都經歷轉化過程（動手剪一剪，貼一貼）

思考：經歷轉化過程，我們應該關注什么？（平行四邊形的底相當于長方形的長；平行四邊形的高相當于長方形的寬；關注一下平行四邊形的高，在平行四邊形中找高；平行四邊形的面積等于長方形的面積）另外，教師出示平行四邊形另外一組對應的底和高。設計意圖：通過深入探究，利用直觀手段使學生認識到鄰邊相乘的錯誤想法，通過討論轉化成怎樣的長方形更合理，引導學生關注轉化前后兩個圖形之間的關系，感悟平面圖形面積問題解決的策略。在學生已建立長方形、正方形面積經驗的基礎上，自主建構利用轉化法以舊帶新解決平面圖形面積的思維結構。

5.轉化方法的應用

小結：轉化的數學方法給了你什么啟發？學生談到，想通過轉化法解決更多平面圖形的面積，如圓、正多邊形等。設計意圖：通過平面圖形面積教學的結構化設計，使學生真正掌握了統領平面圖形問題解決策略的基本結構，這樣就能更好地理解數學本質。

如果教師能夠合理把握好數學知識的整體框架，并能結構化地設計教學過程，最終學生得到的不僅是數學“知識鏈”，更多的是數學思維能力、學習能力的提升，進而發展數學核心素養，思維走向自主建構的結構化，為終身發展奠定堅實的基礎。

參考文獻

[1]余文森.布魯納結構主義教學理論評析[J].外國教育研究，1992（3）.

[2]龔孟偉. 布魯納學科結構理論述評及對語文課程和教學設計之啟示[J].寧波大學學報（教育科學版），2013（5）.

（作者單位：北京市海淀區第二實驗小學）

責任編輯：肖佳曉

xiaojx@zgjszz.cn