基于解析雅克比矩陣的E-Ex廣域電磁法一維并行約束反演

索光運， 李帝銓， 胡艷芳

(中南大學 地球科學與信息物理學院，長沙 410083)

0 引言

廣域電磁法采用電磁場單分量進行測量并定義具有全區特性的廣域視電阻率，其主要優點是可以用較小的收發距獲得很大的有效勘探測深度，裝備輕便，野外工作效率高，在油氣、礦產勘探中有著廣泛的應用前景[1-2]。目前，投入實際應用的主要是E-Ex形式的廣域電磁法，其采用電性源供電，并測量與電性源平行的電場分量。

關于電磁法正反演的研究現在正由1D向2D、3D轉變[3-6]，但在野外實測數據的反演解釋工作中，由于計算時間精度的限制，使用最多的是1D反演技術。Routh[7]進行了CSAMT一維全資料反演，反演結果要比做過近場校正后的MT方法要好；王若等[8]聯合使用網格參數法和剝皮法進行了不做校正的CSAMT一維全資料反演，該方法能較好地再現模型的層狀結構，并對噪聲有一定的壓制效果；李帝銓等[9]利用遺傳算法完成了CSAMT的最小構造反演，該方法具有不用考慮近場校正、初始模型依賴小、反演結果更真實等優點；湯井田等[10]實現了基于頻點的最小構造反演，使得初始模型的建立更加簡單、靈活；周俊杰等[11]提出用Bostick半定量結果作為一維反演的初始模型，結合多種先驗信息優化層參數并控制反演過程的迭代方向，反演結果更加貼近真實模型；余云春[12]采用最小二乘法實現了廣域電磁法的一維反演，不過其方法對初值依賴性較大。

除了少數幾種完全非線性反演方法以外，在多數反演方法的計算過程中都需要計算雅可比矩陣。在一維反演中，傳統上習慣使用擾動法來計算雅克比矩陣，即給單個自變量一個微小的擾動，再次正演獲得擾動后的電磁響應，從而計算擾動前后的一階差分來近似代替雅克比矩陣。如果對于N層模型同時進行電阻率和厚度兩個參數的反演，則一次反演迭代，就需要進行2N-1次正演。當層數較多時，計算時間將會大大增加。而使用解析法時，雅克比矩陣將直接由公式給出[13]，其計算時間大致與1次～2次正演相同。

筆者使用探測深度和等對數域剖分的方式來剖分層厚，先使用MT反演來建立初始模型，再采用MATLAB自帶的最優化工具箱來進行反演最優化計算，并且使用了解析法來計算雅克比矩陣，替代原函數中的擾動法，從而大大加快了反演的計算速度。另外，還使用了parfor循環來對反演過程進行并行計算。對于實際工區資料，分別進行了無約束和井震約束時的反演計算，并將兩種方法的結果進行了對比。

1 解析法求靈敏度矩陣

1.1 E-Ex廣域視電阻率對層參數的偏導數

E-Ex廣域視電阻率是將所測得的|Ex|看作是均勻半空間的電場響應，通過迭代法或逆樣條插值法求解出的該均勻半空間的電阻率。其對層參數的偏導數可由式(1)與式(2)給出。

(1)

(2)

其中，式(2)是兩個復數表達式的乘積。在實際計算時，由于計算誤差的存在，其乘積往往并不是實數，此時無論是取乘積的實部或者模，計算結果都與真實值存在一定差別。因此，這里采用式(1)來計算E-Ex廣域視電阻率對層參數的偏導數。計算時要注意一點，復變函數的模的導數并不等于該函數的導數的模。

(3)

正確的表達式應該是

(4)

1.2 E-Ex廣域視電阻率對|Ex|的偏導數

關于均勻半空間表面電偶極子的電場響應，當采用不同的電流源(正諧或負諧)時，其表達式有所不同。這里采用文獻[14]中的表達式：

(5)

(6)

Ex=Ercosφ-Eφsinφ

(7)

其中:k2=iωμ/ρ。對Ex廣域視電阻率求關于|Ex|的偏導數，有

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

將式(9)～式(11)代入到式(8)中，便可以計算出廣域視電阻率對|Ex|的偏導數。

1.3 |Ex|對層參數的偏導數

對于N層水平層狀介質中的電場響應，仍然采用文獻[14]中的公式：

(12)

(13)

其中，

(14)

空間頻率特性函數R*和R的迭代格式可寫成

(15)

(16)

式中：I為諧變電流的幅值；ω為諧變電流的圓頻率；μ為磁導率；φ為電偶極源中點到接收點的連線和電偶極源的夾角；k為波數；m為空間頻率；ρl和hl分別是第l層的電阻率和厚度，l=1、2、…、N。

因此，|Ex|對層參數的偏導數可表示為

(17)

(18)

這樣問題變成了如何計算Er和Eφ關于層參數的偏導數值。

假設有

再對式(12)和式(13)稍作變量代換并求偏導，可以得到

(19)

(20)

分別對A、B、C求關于層參數的偏導，由于n1和k1里面含有ρ1，在計算對ρ1的偏導時，與計算對其他層參數的偏導不同，需要單獨進行。

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

計算R*和R分別關于地層電阻率和厚度的偏導數的公式和推導過程可以參考文獻[13]。需要注意，文獻[13]中的(26)式可能是印刷錯誤，正確表達式應該為

(27)

這樣|Ex|對層參數的偏導數已計算完成。

1.4 算例驗證

為了驗證解析法計算雅克比矩陣的正確性，將根據上面公式所編制的程序的計算結果與使用擾動法的計算結果進行了對比。

采用三層模型，由淺入深電阻率分別為100 Ω·m、1 000 Ω·m、100 Ω·m，前兩層的厚度都是300 m，第三層為均勻半空間。電偶極子長度為1 000 m，供電電流20 A，收發距6.4 km，接收點相對于發射偶極的角度為90°。頻率范圍為0.25 Hz ～8 192 Hz，按2的整指數冪變化，共16個頻點。擾動法的擾動量為1e-3乘以當前值。圖1是兩種方法的計算結果。由圖1可以看到，由兩種方法計算出的偏導數值完全重合，從而驗證了所推導的解析法公式的準確性，也為下一步廣域電磁法的快速反演打下了基礎。

2 E-Ex廣域電磁法一維約束反演

2.1 建立初始無約束模型

實際地層的層數很多，同時進行電阻率和層厚的反演，既容易陷入局部極小值，也容易導致反演時間過長?？梢詫⒌貙悠史譃楹芏鄬?，每層的層厚都較小，只進行電阻率單參數反演。另外，考慮到分辨率隨深度增大成指數減小的特點，可以使用對數域剖分方法來剖分地層。首先，根據視電阻率曲線來確定最小、最大探測深度Dmin和Dmax。dmin、dmax可以是人為給出的最小、最大深度的參考值。然后再根據下式來剖分層厚h，其中，diff代表前向差分，logspace代表對數剖分。層數NL可以剖分的多一些，但是不能超過頻點數。

基里爾表示，BPC特別重視中國市場，BPC每年很大一部分氯化鉀出口量是針對中國市場。近幾年，國際市場和中國市場變得比較快，所以BPC必須每年做出相應的計劃調整?！敖衲晡覀兊哪繕耸?00萬噸。但這并不是最高的目標，去年按照中國鉀肥進口數據，從白俄羅斯的鉀肥進口量約有160萬噸。但是，2015年BPC在中國的銷售量高達240萬噸?！被餇栂壬a充說。BPC每年向100個多個國家出口鉀肥，今年的出口量超過了1050萬噸，其中中國和印度市場各占18%左右。

圖1 三層模型計算結果Fig.1 Results of 3-layered model(a)dρ/dρ1曲線;(b)dρ/dρ2曲線;(c)dρ/dρ3曲線;(d)dρ/dh1曲線;(e)dρ/dh2曲線

圖2 處理約束層時的幾種情況Fig.2 Conditions of constrained layer(a)單層-深部；( b)單層-淺部；(c)多層-深部；(d)多層-淺部

(28)

h=diff(logspace(Dmin,Dmax,NL))

(29)

2.2 建立初始約束模型

建立約束模型的過程與上面類似，只是在約束層如何處理上有所不同。針對不同問題，分為單層和多層兩種方法。單層是所剖分的約束層會作為完整的一層存在于最終的模型數據中，對于深度大、厚度小的層狀體(油氣)，建議使用此種方式。多層即按照給定的層數和最大深度，在對數域上計算好分界點埋深后確定分界點處的地層。此種方式，所剖分的地層在最終的模型數據中通常會占據多層，但也可能一層都沒有。對于埋深較小的塊狀體(金屬礦)，建議使用此種方式。幾種可能情況如圖2所示。

2.3 反演算法

由于廣域視電阻率和MT卡尼亞電阻率在曲線形式上的相似性[11]，可以在進行帶源反演之前先使用MT反演來建立一個更為合理的初始模型。

MATLAB工具箱中提供了lsqnonlin函數來求解非線性最小二乘優化問題[15]，其調用格式為X=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)。其中x0為初值，options為優化選項，這里選用Levenberg-Marquardt法來進行最優化計算。另外，ub和lb分別為自變量的上下限，反演時可以對地層電阻率的范圍進行約束。電磁法反演很容易受到多解性的影響，而根據先驗信息來對反演參數進行約束，可以有效地降低多解性，提高反演效果。

此外，現有的計算機都是多核多線程的，利用parfor循環能充分利用計算機的計算資源[16]，通過并行進一步縮短反演時間。

3 反演算例驗證

3.1 理論模型反演

選用四層KH模型來驗證反演算法的有效性，其電阻率由淺到深分別為100 Ω·m、1 000 Ω·m、100 Ω·m、1 000 Ω·m，前三層厚度為100 m、400 m、500 m。裝置參數與圖1基本相同，收發距變為12 km，頻率變為2-6:0.5:13，共計39個頻點。模型剖分了30層，最大迭代次數為30次。圖3為視電阻率擬合曲線和反演結果。

圖3 四層KH理論模型反演結果Fig.3 Inversion result of 4-layered KH model(a)視電阻率與反演擬合曲線;(b)理論與反演模型電阻率深度圖

圖4 JSB測線兩種反演方法效果對比Fig.4 Results of inversion(a)地震剖面；(b)自由模型反演剖面；(c)井震約束反演剖面

3.2 實測數據反演

為驗證本文算法對實際工區數據的反演效果，選取某地區實測資料，分別進行無約束自由反演和井震約束反演。根據已有地質資料，在埋深1 000 m～3 000 m范圍內，地層大致分為3層，分別是二疊系下統、奧陶上統+志留系中統、二疊系下統，巖性分別為多厚層灰巖和瀝青質灰巖、粉砂質頁巖和炭質頁巖、厚層灰巖，整體電阻率由淺入深呈高-低-高變化趨勢。并且測線范圍內，各地層基本成水平層狀分布，構造主體平緩。圖5上是地震剖面圖，可以看到垂向上地層分布較為明顯，與地質資料較為吻合。圖5中為無約束模型自由反演剖面圖。在1 000 m～3 000 m埋深范圍內，電阻率變化只是呈低-高變化趨勢，對于頁巖層和其上覆的高阻層反映均不明顯，橫向上也不能明顯地分辨地層的分界面。圖5下是根據已有的地震剖面和測井資料，進行了關于地層大致位置和電阻率范圍的約束建模反演的剖面結果。可以看到地層分層較為明顯，頁巖層和其上覆的高阻層在橫向上也較為連續。并且15 000～17 000處的電阻率抬升趨勢與地震資料中劃分的斷裂構造也較為吻合。此外，無約束自由反演的擬合誤差為4.95%，井震約束反演的擬合誤差為5.17%。在擬合誤差基本一致的情況下，結合了已有信息的約束反演，能更好反映出地下真實的地層分布。

在約束反演過程中，還分別統計了使用擾動法和解析法來計算雅克比矩陣時，整個反演過程所耗費的時間，如表1所示。本條測線共有測點342個，觀測資料中頻點數34，模型剖分層數也為34，最大迭代次數為30。并且在反演過程中使用了parfor并行循環，設置核數為4，計算機配置為4核Intel-i7處理器，主頻3.70 GHz，8 G內存。

表1 擾動法和解析法的計算時間對比

兩種方法的計算結果一致，只是運行時間有所不同。解析法的計算時間只有擾動法的1/35，計算效率有了大幅度提高。

4 結論與建議

1)對于層厚的劃分，采用探測深度和對數域剖分的方法，考慮了實測視電阻率和分辨率隨深度成指數降低的影響，使反演模型更加貼近真實的地層情況。

2)對于N層模型的單參數反演，使用擾動法，一次反演迭代就需要進行N次正演；而使用解析法時，其計算時間大致只與1次～2次正演相同。當層數和迭代次數較多時，解析法的計算速度將會遠遠高于擾動法。

3)通過parfor循環可以有效縮短反演計算時間，不過這只是基于處理器的并行運算，如果能實現基于GPU的并行計算，反演速度將會更快。

4)對于實際地電模型，由于充分考慮到已有的先驗信息，根據已有的測井或地震資料進行約束反演可以有效降低多解性，使反演結果更加接近真實的地層情況。不過，現有的約束反演方法中先驗約束對于反演結果的影響較大，如何平衡實測資料和先驗信息的權重，將會是下一步研究的重點。